Neutrino-Entkopplung und Einheiten

Korrektur von Tippfehlern und Klarstellungen

• In der Friedmann-Gleichung '$\rho$“ ist streng genommen$\rho_m$, die Massendichte. Daher muss die vorgestellte Friedman-Gleichung wie folgt geändert werden: $$\begin{equation} H = \sqrt{\frac{8\pi}{3}G\rho_m}=\sqrt{\frac{8\pi}{3}\frac{G\rho}{c^2}}, \end{equation}$$ um den unten angegebenen Ausdruck für die mit bezeichnete Energiedichte zu verwenden$\rho$.
• Im Ausdruck für die Energiedichte, die$c^5 \hbar^3$Faktor ist falsch. Energiedichte bedeutet Energie pro Volumeneinheit,$EL^{-3}$, Wo$E$Und$L$bezeichnen jeweils Energie- und Längeneinheiten. Seit$\left(k_{B}T\right)^{4}$hat Einheiten von$E^4$, Und$c\hbar$Einheiten hat$EL$, wir brauchen ein$(c\hbar)^3$Faktor, um die richtigen Abmessungen zu erhalten. Das heisst: $$\begin{equation} \rho = \frac{\pi^{2}}{30c^{3}\hbar^{3}} g\,\left(k_{B}T\right)^{4}, \end{equation}$$

• Die Anzahl der Freiheitsgrade für jeden Neutrino-Flavor ist$g_\nu=2$(Neutrino plus Antineutrino; siehe zum Beispiel Seite 45 von Dodelsons Modern Cosmology ), während ich der Klarheit halber nur darauf hinweise$g_{e^-}=g_{e^+}=2$, andeutend$g_e \equiv g_{e^-}+g_{e^+}=4$. Da das Universum zum Zeitpunkt der Neutrino-Entkopplung vermutlich von Photonen, Elektronen, Positronen und den drei bekannten Neutrino-Varianten bevölkert ist, die$g$Faktor, der in der Energiedichte erscheint$\rho$in der vorherigen Gleichung ist eigentlich eine gewichtete Summe der$g$Faktoren dieser Populationsarten, gegeben durch:

  $$\begin{equation} g = \sum_{\textrm{bosons } i}g_i + \frac{7}{8}\sum_{\textrm{fermions } j}g_j = g_\gamma +\frac{7}{8}(g_{e}+3\,g_{\nu}) = 2 + \frac{7}{8}(4+3\times2) = \frac{43}{4} \end{equation}$$ Für zusätzliche Klarheit siehe J. Bernstein, L. Brown und G. Feinberg , Rev. Mod. No. Phys. 61 (1989) 25.

• Der$g$In$n_\nu$ist eigentlich${3\over4} g_\nu$. Dies liegt daran, dass wir die Rate berechnen$\Gamma$von schwachen Thermalisierungsvorgängen, die im Wesentlichen durch die Wechselwirkung von Elektronen und Elektron-Neutrinos ablaufen, und damit$\Gamma$hängt von der vorhandenen Dichte dieser Art von Neutrinos ab. Es wird angenommen, dass die Myon- und Tau-Neutrinos entkoppelt sind (aber sie sind immer noch da und tragen zur Energiedichte bei). Außerdem sind Neutrinos Fermionen, was die Zahl erfordert$3\over4$Faktor.

• Abschließend der thermisch gemittelte Querschnitt$\langle \sigma|v|\rangle$hat Einheiten von Fläche mal Geschwindigkeit,$L^3 T^{-1}$(Wo$T$bezeichnet Zeiteinheiten). Da wir darauf bestehen, alle Faktoren herauszubringen$c$,$\hbar$, Und$k_B$, wir verändern uns$T\rightarrow k_B T$und das bemerken$G_F$Einheiten hat$EL^3$(siehe zum Beispiel Seite 313 von Griffiths' Introduction to Elementary Particles , 2. Aufl.), wir können auch ändern$G_{F}\rightarrow G_{F}/(c\hbar)^3$. Nun das Produkt$(k_B T)^2 \,(G_{F}/(c\hbar)^3)^2$hat Einheiten von$E^{-2}$. Wir multiplizieren dies mit$c^3\hbar^2$, die Einheiten hat$E^2L^3T^{-1}$(seit$\hbar$Einheiten hat$ET$), um den maßlich korrekten Ausdruck für den thermisch gemittelten Querschnitt zu erhalten: $$\begin{equation} \langle \sigma|v|\rangle = \bigg(\frac{G_{F}}{c^3\hbar^3}\bigg)^2\, (k_B T)^2 \, c^3\hbar^2 \end{equation}$$

Dinge zusammenfügen

Beharren auf der Beibehaltung der$c$,$\hbar$, Und$k_B$Faktoren,$\Gamma = H$Erträge, nach viel Sorgfalt mit allen Faktoren:

$$\begin{equation} (k_B T)^3 = \underbrace{\Bigg(\frac{\pi^3}{\zeta(3)}\sqrt{\frac{8\pi}{90}} \frac{\sqrt{g}}{\frac{3}{4}g_\nu} \Bigg )}_{\simeq \,29.8} \underbrace{\Bigg(\sqrt{\frac{G}{c\hbar}}\Bigg)}_{\equiv \,1/M_{Pl}} \,\frac{c^4 \hbar^6}{{G_F}^2} \simeq 29.8 \Bigg[ \big(M_{Pl} c^2\big) \, \bigg(\frac{G_{F}}{c^3\hbar^3}\bigg)^2 \Bigg]^{-1} \end{equation}$$

Oben haben wir die Planck-Masse eingeführt$M_{Pl}$. Wissend, dass$M_{Pl} c^2 \simeq 1.22\times 10^{19}\,\textrm{GeV}$Und$G_{F}/(c\hbar)^3\simeq 1.17\times 10^{-5} \,\textrm{GeV}^{-2}$, bekommt man:

$$\begin{equation} k_B T \simeq \left ( \frac{29.8}{1.67\times 10^{9} \,\textrm{GeV}^{-3} } \right )^{1/3} \simeq 2.6 \,\textrm{MeV} \end{equation}$$

Die (natürliche) Moral

Es ist sehr umständlich, das alles herumzutragen$c$,$\hbar$, Und$k_B$Faktoren (wie man anhand obiger Rechnung selbst sehen kann), weshalb man im Rahmen der Teilchenphysik und Kosmologie sehr gerne in den sogenannten natürlichen Einheiten arbeitet. In der Tat, unter all diesen Faktoren zu sein$1$, die erste Gleichung des vorigen Abschnitts liefert sofort das Ergebnis für die Neutrino-Freeze-Out/Entkopplungstemperatur in der Form, wie Sie es gefunden haben:

$$\begin{equation} T \,\simeq \,29.8 \,\left( \frac{\sqrt{G}}{{G_F}^2} \right) ^{1/3} \simeq 2.6\,\textrm{MeV} \end{equation}$$ Natürlich kann hier nur die Größenordnung aussagekräftig sein, da wir genommen haben $K=1$. Der $k_B$ist da aber gleich $1$in diesen natürlichen Einheiten, so schreibt man einfach $T$anstatt $k_B T$. Dieser und der letzte oben angegebene Ausdruck sind gleich, nur mit unterschiedlichen Einheiten geschrieben.