Nochmal Expansion: Woher kommt die Energie?

Konzeptionell geht es hier um mehrere Dinge.

Woher kommt die Energieeinsparung? Nach modernem Verständnis ist Energie die Noether-Ladung der Zeittranslationssymmetrie, wie sie in Noethers erstem Theorem gefunden wurde. Aber in der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Metrik dynamisch, und so haben wir im Allgemeinen einfach keine Zeitübersetzungssymmetrie. Statische Raumzeiten tun dies, und es gibt auch eine Form der Energieerhaltung für Raumzeiten, die weit entfernt vom gravitativen System wieder zeittranslationssymmetrisch sind (z. B. ADM-Energie asymptotisch flacher Raumzeiten). Aber das sind die Ausnahmen, nicht die Regel.

Mit anderen Worten, in der Allgemeinen Relativitätstheorie haben wir keinen skalaren Begriff von "Energie", der global anwendbar ist. Leer wird es weder konserviert noch verletzt.

Aber wie sieht es vor Ort aus? In einem lokalen Trägheitssystem bleibt die Energie exakt erhalten, aber die Gravitationskräfte verschwinden exakt.

Eine Sache, die Sie im Kontext der Kosmologie tun können, ist, die Friedmann-Gleichungen als eine Art Analogon der Energieerhaltung zu betrachten, indem Sie ein Gleichgewicht zwischen den Termen herstellen, die die kosmische Expansion beschreiben, und der Energiedichte, dem Druck und der kosmologischen Konstante. Die Friedmann-Gleichungen stammen aus den Komponenten der Einstein-Feldgleichung, die den Einstein-Krümmungstensor und den Spannungs-Energie-Tensor verbinden:$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$. Nach dieser Interpretation gleicht die Einstein-Krümmung die Spannungsenergie der Materie in der Raumzeit immer genau aus. Aber dies ist nur eine Wiederholung eines dynamischen Gesetzes, also ist es nicht wirklich ein "Erhaltungs"-Gesetz.

Die Einstein-Feldgleichung selbst kann aus der Einstein-Hilbert-Aktion gefunden werden, und der Versuch, Noethers zweiten Theorem anzuwenden, zeigt einfach, dass die kovariante Ableitung des Spannungs-Energie-Tensors verschwindet:$\nabla_\nu T^{\mu\nu} = 0$, was analog ist zu$\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$des Elektromagnetismus: "Es gibt nirgendwo lokale Quellen oder Senken von [Spannungsenergie/Magnetfeld]." Das ist eigentlich trivial, weil die kovariante Ableitung der Einstein-Krümmung immer verschwindet (ein Satz der Geometrie, dem jede Physik fehlt), also sagte uns Noethers zweiter Satz nicht viel mehr, als wir sonst gewusst hätten.

Da die Ableitung eher kovariant als partiell ist, halten viele Menschen dies auch nicht für ein echtes Erhaltungsgesetz. Sicherlich gibt es keine Auskunft darüber, „wie viel“ Energie es in der Raumzeit gibt – das ist noch undefiniert.

Wir haben also folgende Probleme:

• Es gibt keine globale Energieeinsparung in der allgemeinen Relativitätstheorie, außer für sehr spezielle Raumzeiten, und die für Urknallmodelle verwendete FRW-Familie ist nicht qualifiziert.
• In einem lokalen Trägheitssystem ist die Energie genau erhalten, aber es gibt keine Gravitationskräfte. (Lokale Inertialsysteme existieren ohnehin nur als Annäherungen erster Ordnung.)
• Man kann die Einstein-Feldgleichung als Einstein-Krümmung interpretieren, die die Spannungsenergie der Materie genau ausgleicht, was auch durch die Interpretation der Friedmann-Gleichungen der Kosmologie als Gleichgewicht zwischen kosmischer Expansion und lokaler Energie, Druck und kosmologischer Konstante motiviert ist. Dies ist jedoch tatsächlich ein dynamisches Gesetz.
• Das Verschwinden der kovarianten Ableitung der Spannungsenergie kann als Analogon der lokalen Energieerhaltung ausgelegt werden, obwohl dies konzeptionell irreführend ist.

Nachtrag : Es ist bemerkenswert, dass es noch einen anderen Sinn gibt, in dem die Gesamtenergie eines räumlich endlichen Universums genau Null ist. Intuitiv kann man versuchen, den Inhalt innerhalb einer geschlossenen Oberfläche zu messen und diese Oberfläche dann zu erweitern, um zu versuchen, alles im Universum einzuschließen. Für ein geschlossenes Universum wird sich diese Oberfläche jedoch zu einem Punkt zusammenziehen und somit nichts einschließen (stellen Sie sich einen Kreis um den Nordpol der Erde vor und erweitern Sie ihn, um zu versuchen, die gesamte Erdoberfläche einzuschließen - sie zieht sich nur zu einem Punkt zusammen der Südpol).

Formaler kann man eine Folge von asymptotisch flachen Universen finden (für die wiederum die Energie tatsächlich definiert ist ), die sich einem räumlich endlichen Universum annähern. In der Grenze, in der die sich annähernden Universen "abschnüren" und sich von der asymptotisch flachen Region trennen (wodurch sie tatsächlich endlich werden), geht die ADM-Energie zu$0$.

Die völlig unbefriedigende Antwort lautet: Dunkle Energie . Es wird formal durch die kosmologische Konstante quantifiziert .

Es gibt viele Hypothesen über die Natur dieser Energie. Quantentheoretische Erklärungen werden als wahrscheinliche Kandidaten angesehen; Der Casimir-Effekt ist zumindest ein experimentell zugänglicher Weg, um die Existenz von Vakuumenergie zu zeigen .