Optik des Auges - sehen wir Fourier-Transformationen?

Ich habe kürzlich etwas über Fourier-Optik gelernt, insbesondere darüber, dass eine dünne Linse die Fourier-Transformation eines Objekts auf einem Bildschirm erzeugen kann, der sich in der Brennebene befindet.

Erzeugt vor diesem Hintergrund die Linse eines menschlichen Auges eine Fourier-Transformation auf der Netzhaut?

Jede Hilfe geschätzt

Ja. Aber ich habe jetzt keine Zeit für eine vollständige Antwort. Kurz gesagt, eine Linse erzeugt die Fourier-Transformation des Feldes in der Eintrittspupille. Die Subtilität besteht darin, dass das Feld in der Pupille nicht unbedingt so aussieht wie das Objekt, das Sie abbilden. Tatsächlich sieht es der Fourier-Transformation des Objekts sehr ähnlich. Denken Sie jetzt darüber nach, wie die Fourier-Transformation der Fourier-Transformation des Objekts aussieht ...
@ColinK: Klassische Optik kann niemals eine Fourier-Transformation erzeugen, da dies das Hinzufügen von Phasen erfordert. Das Objektiv tut dies nicht.
@RonMaimon: was? Ich denke, Sie verwechseln klassische Optik und geometrische Optik. Die klassische Optik, das „Gegenteil“ der Quantenoptik, ist eine Optik, die ohne Photonen erklärt werden kann. Um Fourier-transformierende Linsen zu erklären, benötigen Sie insbesondere eine paraxiale Wellenoptik, die fest im klassischen Bereich liegt.
@ptomato: Ich verstehe --- mit "klassisch" meinte ich "geometrisch" wie in der klassischen Flugbahngrenze für Lichtwellen. Der Wellenaspekt spielt für normales Sehen keine Rolle --- Es gibt keine Fourier-Transformation, die daran beteiligt ist, Licht von etwas zu reflektieren und es auf eine Netzhaut zu fokussieren. Das einzige Mal, dass eine Fourier-Transformation stattfindet, ist, wenn Licht um ein kleines Objekt herum gebeugt wird, und dann bringt eine richtig platzierte Linse die Beugungswellen an bestimmten Stellen an verschiedenen Stellen auf einem Bildschirm. Das beschreibt der Wikipedia-Artikel. Ihre Aussage, dass das Linsenfeld eine FT des Bildes ist, ist falsch.
@RonMaimon, ich wollte nie andeuten, dass das Linsenbild eine Fourier-Transformation ist. Es ist nicht meine Aussage und ich stimme Ihnen zu, dass sie falsch ist. Ich werde eine Antwort schreiben, die erklärt, was ich meine.
@ptomato: Sie haben es nicht getan, aber Colin K sagt ausdrücklich, dass eine Linse eine Fourier-Transformation des Lichtfelds an der Linse zum Fokus durchführt. Dies ist falsch, es wird eine andere Transformation mit einem quadratischen Stück durchgeführt, das die Eigenschaft hat, dass das quadratische Stück eine Delta-Funktion auf der Bahn der geometrischen Optik für jede nennenswerte Entfernung reproduziert, die viel länger als die Wellenlänge ist. Sie berechnen eine Fourier-Transformation nur dort, wo Sie den quadratischen Teil aufheben, was auf geometrischen Pfaden auftritt, und entlang von Beugungsmustern, wo Sie den quadratischen Teil aufheben.
"und entlang von Beugungsmustern, wo Sie den quadratischen Teil aufheben" Nein. Alle Beleuchtungsmuster sind Beugungsmuster. Die quadratische Phase verschwindet zwischen konjugierten Ebenen.
@ColinK: Ja, wir alle wissen und wir sind uns alle einig, dass jede Beleuchtung ein Beugungsmuster ist. Dies ist für die Beantwortung der Frage nicht hilfreich, es ist eine zu allgemeine Tatsache. Das Beugungsmuster, das Sie im Fall des Auges auf der Netzhaut sehen, ist ein triviales Beugungsmuster, es ist das Beugungsmuster der Öffnung zum Auge, das wie sin(x)/x aussieht – große mittlere Beule mit sekundären Ringen herum auf einer winzigen, winzigen Skala. Das ist die Point-Spread-Funktion für das Auge. Die Position, an der dies für ein einfallendes Lichtblatt erscheint, befindet sich entlang des geometrischen Optikpfads.
Das "quadratische Phasenstück verschwindet zwischen konjugierten Ebenen" ist nur eine andere Art zu sagen, dass die Linse die Ebene auf einen Nahpunkt konzentriert. Dies funktioniert für Licht, das in einem kleinen Winkel einfällt – es wird auf einen anderen Punkt fokussiert. Die Phasenauslöschung tritt normalerweise auf, wenn eine Ebene auf einen Punkt geradeaus fokussiert wird, aber wenn es bei f ein Beugungsgitter mit großen Merkmalen gibt, so dass das Beugungsmuster einen kleinen Winkel hat, wird jede der ausgehenden gebeugten Wellen fokussiert die Linse in einen anderen Punkt, als käme sie aus der Unendlichkeit.
@ColinK: Ich sollte sagen, dass die "Sünde (x) / x" nur ein qualitatives Bild ist, bevor Sie auch auf diese Aussage als falsch springen. Dies ist für eine 1d-Öffnung und das Auge ist eine 2d-Öffnung. Die Aussage, die ich über das "quadratische Phasenstück, das auf einem geraden Weg weggeht" gemacht habe, ist nur die Aussage, dass, wenn Sie eine Phasenfolge entlang einer geraden Linie addieren, sie in Phase addiert werden, aber nicht entlang einer Biegebahn. Sie addieren sich aber entlang einer Krümmung zu einem Kleinwinkelgitter, was auf die Auslöschungen in der Nähe des Gitters zurückzuführen ist, und die weitere Ausbreitung der Wellenfront, als käme sie später aus dem Unendlichen.

Antworten (6)

Wie in der Frage erwähnt, erzeugt eine dünne Linse in ihrer Brennebene die Fourier-Transformation des optischen Felds in ihrer Pupille, möglicherweise multipliziert mit einem quadratischen Phasenterm. Um jedoch zu verstehen, wie dies mit der Abbildung in der Wellenoptik zusammenhängt, müssen wir einen Schritt zurücktreten und die Situation allgemeiner betrachten. Unter der paraxialen Näherung kann die Ausbreitung eines optischen Feldes mit dem Fresnelschen Beugungsintegral modelliert werden:

U ' ( x , j ) = e ich k z ich λ z e x p [ ich π ( x 2 + j 2 ) λ z ] … × ∬ − ∞ ∞ U ( ξ , η ) e x p [ ich π ( ξ 2 + η 2 ) λ z ] e x p [ − ich 2 π ( x ξ + j η ) λ z ] d ξ d η
wo U ( ξ , η ) ist ein optisches Feld, U ' ( x , j ) ist das Feld nach Ausbreitung über eine Distanz z , und λ und k sind die Wellenlänge bzw. die Wellenzahl.

Im Fall einer dünnen Linse ein Transparent in Kontakt mit der Linse und eine Ausbreitungsdistanz gleich der Brennweite f , können wir das Eingabefeld darstellen als

U ( ξ , η ) = t EIN ( ξ , η ) e x p [ − ich π ( ξ 2 + η 2 ) λ f ]
wo t EIN ist die Amplitudentransmission des Transparents, und der quadratische Phasenterm ist die Wellenfrontkrümmung, die durch eine dünne Linse mit Brennweite eingeführt wird f . Wenn Sie dies in das obige Beugungsintegral einsetzen, sehen Sie, wann z = f , reduziert sich das Integral auf eine Fourier-Transformation und wir haben
U ' ( x , j ) = e ich k z ich λ z e x p [ ich π ( x 2 + j 2 ) λ z ] ∬ − ∞ ∞ t EIN ( ξ , η ) e x p [ − ich 2 π ( x ξ + j η ) λ z ] d ξ d η = e ich k z ich λ z e x p [ ich π ( x 2 + j 2 ) λ z ] F [ t EIN ] ( x , j )
wo F ist die Fourier-Transformation. Ich sage es nicht ausdrücklich, aber Sie können davon ausgehen, dass die Fourier-Transformationen, die ich schreibe, immer angemessen skaliert sind. In diesem Fall, wenn die FT so definiert ist, dass sie Funktionen von übernimmt ( ξ , η ) und Rückgabefunktionen der räumlichen Frequenz ( a , β ) , sollten Sie von der impliziten Skalierung ausgehen ( a , β ) → ( x λ z , j λ z ) .

Nun, ich werde es hier nicht herleiten, weil die Integrale riesig sind, aber wenn Sie die erste Gleichung, die ich geschrieben habe, verwenden, um ein Objektfeld über eine Entfernung zu propagieren f , wenden Sie dann die Wellenfrontmodifikation durch eine dünne Linse der Brennweite an f , und propagieren eine weitere Distanz f , werden Sie sehen, dass sich die quadratischen Phasenterme gegenseitig aufheben und das resultierende Feld genau die Fourier-Transformation des Objektfeldes ist, sogar ohne den quadratischen Phasenterm, den Sie erhalten, wenn sich das Objekt direkt gegen die Linse befindet. Wenn Sie damit Probleme haben, denken Sie an die Fourier-Transformationsidentität für die doppelte FT einer Funktion; dies macht die Ableitung einfach.

Allgemeiner kann diese Ableitung auf eine beliebige Reihe von optischen Elementen und Ausbreitungsentfernungen angewendet werden. Mit ausreichendem Aufwand kann gezeigt werden, dass sich für ein durch eine ABCD-Matrix beschriebenes paraxiales optisches System ein optisches Feld durch das System ausbreitet durch:

U ' ( x , j ) = e ich k L 0 ich λ B e x p [ ich π D ( x 2 + j 2 ) λ B ] … × ∬ − ∞ ∞ U ( ξ , η ) e x p [ ich π EIN ( ξ 2 + η 2 ) λ B ] e x p [ − ich 2 π ( x ξ + j η ) λ B ] d ξ d η
wo L 0 ist die effektive optische Weglänge durch die optische Achse des Systems.

Dies gilt natürlich weiterhin nur für ein kohärentes optisches System. Eine Möglichkeit, dies im Zusammenhang mit einem Abbildungssystem (wie einem Auge oder einer Kamera) zu betrachten, besteht darin, dass es nur für das Feld gilt, da ein einzelner Punkt in der Szene abgebildet wird. Das endgültige Bild kann erhalten werden, indem das Feld von jedem Objektpunkt kohärent ausgebreitet wird, das Betragsquadrat des resultierenden Felds genommen wird, um seine Intensität zu erhalten, und dann die Intensitäten von jedem Objektpunkt addiert werden.

Ich nehme an, man könnte also behaupten, dass wir eine Überlagerung von Fourier-Transformationen von jedem Objektpunkt sehen, anstatt direkt eine Fourier-Transformation zu sehen. Tatsächlich sieht das Bild auf Ihrer Netzhaut nicht so aus wie das Bild, das Sie erhalten, wenn Sie eine alltägliche Szene aufnehmen und sie auf Ihrem Computer Fourier-transformieren. Nichtsdestotrotz führen Linsen Fourier -Transformationen an optischen Feldern durch. Wenn Sie jedoch ein Abbildungssystem in Betracht ziehen, müssen Sie berücksichtigen, wo sich das zu transformierende Feld relativ zum Objektiv befindet . Im Allgemeinen ist dieses Feld nichtdas Feld am betrachteten Objekt; Es ist das Feld in einiger Entfernung vor Ihrer Pupille, und in einer realen Situation ist es nicht einfach ein kohärentes Feld von einem Quellpunkt, sondern eine inkohärente Überlagerung von Feldern von jedem Punkt in Ihrem Sichtfeld.

In der Praxis bedeutet dies, dass eine inkohärente Bildgebung selten mit dem obigen ABCD-Integral simuliert wird. Diese Art der Berechnung ist nützlich für kohärente Abbildungssysteme (ein Teleskop ist ein gutes Beispiel, wenn Sie nur über Sterne und keine ausgedehnten Objekte sprechen), aber im inkohärenten Fall ist es viel einfacher, die Abbildung allein durch Anwendung der MTF/ OTF als Faltungs- oder Linearfilter. Aber auch in diesem Fall basiert die Berechnung noch auf einer Fourier-Transformation.

Ich kann den letzten Teil erweitern und inkohärente Bildgebung beschreiben, wenn Interesse besteht. Ich zögere, dies zu tun, weil es den Rahmen der Frage zu sprengen beginnt.
-1: Ihre Gleichungen verschleiern die Hauptphysik. Die Linse führt nur eine Fourier-Transformation eines bestimmten Lichts durch, des Lichts, das an der Fokusebene gebeugt wird. "Vielleicht modifiziert durch einen quadratischen Phasenterm" ist keine geringfügige Änderung - es ist keine Fourier-Transformation, wenn es eine quadratische Phase gibt! Die quadratische Phase erzeugt geometrische Optik. Ich hasse es, es abzulehnen, aber es ist ein falsches Bild. Der quadratische Term dominiert und bildet eine Delta-Funktion, um die geometrische Optik zu reproduzieren, und nur wenn es eine Beugung am ersten Fokus gibt, erhalten Sie Auslöschungen des quadratischen Teils auf große Entfernung
Meine Gleichungen verschleiern die Physik nicht; sie sind tatsächlich in den meisten Fällen die relevante Physik für die optische Ausbreitung. Ihr zweiter Einwand ist vernünftiger: Technisch gesehen bedeutet die quadratische Phase, dass das Ergebnis keine strikte FT ist. Es ist jedoch immer noch am natürlichsten mit einer FT berechenbar, und im kohärenten Fall ändert eine quadratische Phase in der Bildebene die beobachtete Intensität nicht. Das Quad. Phase erholt sich tatsächlich geo. Optik, aber das ist einfach eine Aussage, dass Wellenoptik zentraler ist als Geo. Optik. Es bedeutet nicht, dass geo. ist die einzig richtige Denkweise
Ich stimme zu, dass diese Gleichungen die Lichtausbreitung beschreiben, aber dies ist eine zu allgemeine Form, die für dieses Problem nicht nützlich ist, da es sich nicht um ein allgemeines Beugungsausbreitungssystem handelt. Es ist ein einzelnes beugendes Objekt im Fokus der Linse und überall sonst geometrische Optik . Der einzige Grund, warum eine Fourier-Transformation durchgeführt wird, besteht darin, dass die Linse das Beugungsmuster in Punkte umwandelt. Als ich "verschleieren" sagte, meinte ich, dass die von Ihnen angegebene Gleichung zu breit und zu kompliziert ist: und es ist im Allgemeinen keine FT, nur für bestimmte Sonderfälle.
Nun, das ist ein bisschen zirkulär geworden. Was ich zu erklären versuche, ist Folgendes: "Es ist ein einzelnes beugendes Objekt im Fokus der Linse und überall sonst geometrische Optik." ist das Gegenteil von richtig. Es ist überall Beugung und überall geometrische Optik , wenn Sie nicht so viel Genauigkeit wollen . Es ist in allem außer dem pedantischsten Sinne eine FT, und die Observablen sind FTs oder ihre Überlagerungen. Es ist cool, wenn Sie Geo mögen. Optik. Ich tue es. Aber das ändert nichts.
Ihr Punkt ist, dass es ungefähre Fourier-Transformationen gibt, die überall durch den (im Allgemeinen) nicht beobachtbaren Zwischenzustand berechnet werden, der das Feld vorwärts ausbreitet. Dies ist nur eine formale Wahrheit, aber in gewisser Weise haben Sie Recht, und vielleicht sollte ich nicht ablehnen. Diese Berechnung steht uns jedoch im Allgemeinen nicht zur Verfügung. Sie können nicht einfach eine Fourier-Transformation mit higgledy-piddledy-Lichtausbreitung berechnen - Sie benötigen ein beugendes Objekt für die Fourier-Transformation und Sie benötigen eine Möglichkeit, das Licht zu erkennen, das bei unterschiedlichen Lichtverhältnissen ausgeht Richtungen. Das ist das Linsensystem. Und dieses System fehlt im Auge.
@ron: Alle Objekte sind "beugende Objekte". Das Auge hat Linsen. Ich weiß, dass Sie schlau sind, aber das ist nicht Ihr Gebiet, und das zeigt sich. Du weißt es nicht immer besser.
Ich habe kein "Feld". Ich kenne dieses Zeug auch so gut, wie man alles wissen kann. Ja, "alle Objekte beugen sich", aber meistens auf triviale Weise, sie streuen in alle Richtungen (Grenze der Deltafunktion) oder übertragen an scharfen Kanten wechselnde Impulse. Nur wenn Sie Lambda sorgfältig arrangieren, berechnen Sie eine nichttriviale FT. Der Quadratfaktor im Exponenten verhindert, dass es sich um eine Fourier-Transformation für Skalen handelt, die länger als die Wellenlänge sind, und es ist falsch zu sagen, "das Feld auf Ihrer Netzhaut ist die FT des Felds in Ihrer Linse", weil dies nicht der Fall ist .
Nein, ist es nicht. Wie ich schon sagte, es ist das ft des Feldes in der Pupille. Wenn Sie dies so gut wie möglich wissen, dann hören Sie bitte auf, sich zu irren.
Das Feld in Ihrer Netzhaut ist die "Fresnel-Transformation" des Feldes in Ihrer Linse, und im Falle des Hauptzwecks des Auges ist dies eine einfache geometrische Ausbreitung des Lichts nach vorne zum entsprechenden Punkt. Nur wenn Sie ein Beugungsgitter im Abstand "f" vor Ihrem Auge platzieren würden, würden Sie das Beugungsmuster auf Ihre Netzhaut fokussieren, um eine Fourier-Transformation der auf Ihre Netzhaut projizierten Gitterübertragungsfunktion zu sehen. Normalerweise gibt es am magischen Punkt nur Luft , die nichts tut.
Ihre eigenen Formeln sagen nicht, was Sie sagen. Lass uns chatten gehen.

Siehe Wikipedia zum Thema. Es besagt, dass das zu transformierende Bild 1 Brennweite vor dem Objektiv liegen muss (nicht unendlich oder zumindest weiter als eine Brennweite). Es besagt, dass das Bild in einem transparenten Film sein muss und von hinten durch ebene Wellen beleuchtet werden muss, wie von einer entfernten Punktquelle.

+1: richtig --- Dies nimmt die Beugung vom Brennpunkt (die als Fourier-Transformation gestreut wird) und fokussiert sie mit der Linse auf verschiedene Punkte auf der Brennplatte. Außerhalb dieses Sonderfalls sorgt der "quadratische Term" dafür, dass es keine Fourier-Transformation gibt.

Nein, wir sehen keine Fourier-Transformationen - wir sehen klassische (geometrische) Optik, bei der sich Licht entlang geometrischer Pfade im Grenzbereich kleiner Wellenlängen ausbreitet. Diese Grenze sorgt dafür, dass das Licht, das wir von einer Quelle erhalten, in einen Punkt an einem Ort refokussiert wird, der der Quelle entspricht, es ist keine Fourier-Transformation beteiligt.

Das Phänomen, von dem Sie sprechen, ist eine Kombination des Beugungsgesetzes zusammen mit dem Fokussierungsgesetz . Zu sagen, dass das Objektiv die Fourier-Transformation erzeugt, ist eine irreführende Art, es zu sagen - alles, was das Objektiv tut, ist, das Beugungsmuster in verschiedene Richtungen auf verschiedene Punkte auf der fotografischen Platte zu fokussieren. Die Beugung macht die Fourier-Transformation.

Wenn Sie ein beugendes Objekt in einem Brennpunkt des Objektivs platzieren, projiziert das Objektiv das von einem beugenden Objekt in der Brennweite auf der anderen Seite des Objektivs erzeugte Beugungsmuster so auf eine Leinwand, dass jeweils unterschiedliche Austrittswinkel fokussiert werden auf einen anderen Punkt.

Da die Beugungsintensität gleich der Fourier-Transformation der Transmissionsfunktion ist, wird dies ein Bild erzeugen, das eine Fourier-Transformation des Objekts im Brennpunkt durchführt. Ein Beispiel dafür, wie Beugung Fourier-Transformationen erzeugt, finden Sie in dieser Antwort: Wie sieht die Fraunhofer-Bestrahlungsstärkeverteilung für eine Doppelspaltblende unterschiedlicher Länge aus?

Sorry Ron, diesmal liegst du einfach komplett falsch. Wellenoptik ist nicht /notwendig/ um das Sehen zu beschreiben, aber sie ist sicherlich gültig. Bildgebung kann immer im Wellenoptik-Formalismus beschrieben werden, und Wellenoptik bedeutet Fourier-Transformation.
@ColinK: Ich liege nicht falsch, und es ist erschreckend, dass niemand sonst das versteht. Wellenoptik ist keine "Fourier-Transformation", sondern Wellenoptik. „Die Fourier-Transformation der Quellenübertragung erfolgt durch Beugung, und genau das wird in dem Artikel beschrieben (ich habe es gelesen und verstanden). Es gibt keine Fourier-Transformation, die durch Wellenoptik in der geometrischen Grenze durchgeführt wird.
"Es gibt keine Fourier-Transformation, die durch Wellenoptik in der geometrischen Grenze durchgeführt wird." Das ist richtig, aber warum kümmern wir uns um die geometrische Grenze? Die Wellenoptik ist im Zusammenhang mit dem Sehen (und der Bildgebung im Allgemeinen) relevant und vor allem vollständig gültig. Es ist definitiv so, dass die Beugung das physikalische Phänomen ist und die FT einfach eine Möglichkeit ist, es zu modellieren, aber dies scheint mir eine semantische Unterscheidung zu sein.
@ColinK: Weil dies die Frage von OP war - führt unser Auge im Laufe seines täglichen Betriebs Fourier-Transformationen durch? Sie haben zwar Recht, dass es Sonderfälle gibt, in denen die Beugung eine Fourier-Transformation erzeugt (zumindest im Fall des Artikels, ich arbeite Ihr Beispiel durch), aber in besonderen Situationen, in denen die Beugung relevant ist, nicht in Situationen, in denen die geometrische Optik ausreicht , was in fast allen Fällen normaler Sicht der Fall ist (das Auge nimmt an, dass die Objekte durch geometrische Optiken reflektiert werden).
Ich glaube, ich sehe die Verwirrung. Sie ziehen es vor, geometrische Optiken zu verwenden, wenn dies ausreichend ist. Dies ist eine vernünftige Präferenz, da es rechnerisch viel einfacher ist. Die skalare Beugung (was wir Wellenoptik nennen) ist jedoch die allgemeinere Theorie und ist überall dort anwendbar und korrekt, wo die geometrische Optik korrekt ist (und mehr). „Beugung“ ist immer relevant; es ist im Wesentlichen nichts anderes als ein Wort für die Art und Weise, wie sich Licht ausbreitet. Das Wort wird oft nur in Bezug auf Situationen verwendet, in denen Welleneffekte offensichtlich sind, wie Kanten oder Doppelschlitze, aber es passiert immer.
@ColinK: Ich verstehe das alles, aber die wahre Beugung verschwindet, wenn Sie über benachbarte, nahezu parallele Strahlen mitteln, und hinterlassen einfache Wellenfronten, die sich "klassisch" bewegen (dh entlang geometrischer Optikpfade). Das Problem ist, dass Sie nur für den Fall von Unregelmäßigkeiten im winzigen Maßstab eine echte Beugung und eine nicht triviale Fourier-Transformation erzeugen. Ich weiß, dass darunter alles Beugung ist, aber die Frage war: "Angesichts der Tatsache, dass Sie Licht zur Berechnung von FT verwenden, rechnet unser Auge täglich mit FT?" Und die einzige Antwort, die ich darauf sehe, ist "nein".
Ich würde sagen: "Angesichts der Tatsache, dass eine dünne Linse monochromatische FT berechnet, "berechnet" jede dünne Linse, einschließlich unserer Augen, ständig eine unendliche Anzahl von FT. Nur normalerweise nicht die FT von etwas Nützlichem und schon gar nicht auf der Netzhaut. "
@ptomato: Wenn Sie "Berechnen der Fourier-Transformation einer Konstanten" als Berechnen einer Fourier-Transformation betrachten, dann ist das, was an der Linse vor sich geht, eine Fourier-Transformation. Es berechnet die Delta-Funktions-Fourier-Transformation für das Licht, das durch die Luft vor dem gegenüberliegenden Brennpunkt hindurchtritt. Das macht nichts. Es gibt keine Fourier-Transformationen bei normaler Ausbreitung wegen der Auslöschungen, die mit der Reproduktion der geometrischen Optikgrenze verbunden sind.

In diesen Antworten fehlt, dass CCDs wie Ihre Kamera im Prinzip keine Fourier-Transformation sehen können. Selbst wenn Sie eine Linse in die Brennebene stecken, sehen Sie die Fourier-Transformation nicht! Ihre Kamera ist kein Interferometer!

Wenn wir die Gleichung aus Colin Ks Antwort ausleihen, sehen wir, dass das Integral negativ, positiv oder sogar imaginär sein kann.

U ' ( x , j ) = e ich k L 0 ich λ B e x p [ ich π D ( x 2 + j 2 ) λ B ] … × ∬ − ∞ ∞ U ( ξ , η ) e x p [ ich π EIN ( ξ 2 + η 2 ) λ B ] e x p [ − ich 2 π ( x ξ + j η ) λ B ] d ξ d η

Da Licht schnell oszilliert, kann eine herkömmliche Kamera keine Amplitudeninterferometrie durchführen und muss über viele Lichtperioden mitteln, wodurch der komplexe Teil der Welle entfernt wird (ganz zu schweigen vom positiven oder negativen Teil). Selbst wenn Sie ein Interferometer haben, hat die imaginäre Zahl einen Phasenversatz relativ zu einem Referenzstrahl. Wenn der Referenzstrahl um eine Konstante (verschobener Streifen) versetzt ist, werden alle Zahlen im Feld versetzt.

< U ∗ U > t

Interessanterweise können wir im Fall einer einzelnen Farbe mit gleichmäßiger Beleuchtung nur mit Schwierigkeiten interferometrische Messungen durchführen, um ein "ganzheitliches" Feld zu extrahieren, das die realen und imaginären Teile unseres Signals enthält, wodurch wir das Lichtfeld wirklich hin und her ausbreiten können . Dies für weißes Licht und eine Verteilung von Beleuchtungswinkeln zu tun, ist immer noch ein aktuelles Forschungsthema. Wenn ich ein schlechterer Mensch wäre, würde ich auf meine Forschungsarbeiten verweisen.

< U > t

Aber denken Sie daran, dass Ihre Kamera die Fourier-Transformation auch nicht sieht, weil die Fourier-Transformation imaginäre Zahlen hat!

Die Antwort ist nein.

Eine positive dünne Linse hat die Eigenschaft, dass die Feldamplitude in der Ferne komplex ist f nach der Linse ist die Fourier-Transformation der komplexen Feldamplitude in der Ferne f vor dem Objektiv, wo f ist die Brennweite des Objektivs. Dies wird als ein bezeichnet 2 f System.

Es ist jedoch falsch zu sagen, dass dies ein "Bild" ist, da diese Entfernungen nicht der Bedingung für die Bilderzeugung entsprechen:

1 / a + 1 / b = 1 / f

Hier, a und b sind beide f , und so offensichtlich 1 / 2 f ≠ 1 / f .

Richtig, und das liegt daran, dass dies eine Beugung ist , keine Emission oder Reflexion. Die gebeugten Wellen gehen in verschiedene Richtungen, als kämen sie aus der Unendlichkeit.
@RonMaimon, ich bin mir nicht sicher, was du mit dem letzten Stück meinst.
Wenn Sie eine klassische Quelle im Unendlichen haben (parallele Lichtstrahlen) und das Licht durch ein Gitter gebeugt wird, gehen die gebeugten Punkte in verschiedene Richtungen, sehen aber immer noch so aus, als kämen sie aus dem Unendlichen - sie werden von einer Linse mit fokussiert Linsengesetz mit a = ∞ nicht nach Abstand zum Gitter. Das Objektiv fokussiert dann alle diese ausgehenden Beugungspunkte auf verschiedene Punkte auf dem Bild. Aus diesem Grund führt die Beugung plus Linse eine Fourier-Transformation durch, da die Beugung selbst eine Fourier-Transformation ist. Dies ist meine Antwort.
Wenn Sie die monochromatische Lichtquelle in einem Abstand a von der Quelle platzieren und das Licht von einem dünnen Objektträger im Fokus beugen, würde es im Abstand b fokussieren.

Wenn Sie die beiden Aussagen kombinieren

  • In der paraxialen Näherung für ein monochromatisches Lichtfeld ist das komplexe Lichtfeld in der hinteren Brennebene einer Linse die Fourier-Transformierte des komplexen Lichtfelds in ihrer vorderen Brennebene.
  • Die Linse im menschlichen Auge ist eine Linse, die ihre Brennweite so anpassen kann, dass die Netzhaut in der Brennebene der Linse liegt (dh Akkommodation im Unendlichen).

Die Antwort lautet: Ja, das menschliche Auge kann wie jede andere Linse Fourier-Transformationen (ohne Aberrationen) durchführen.

Eine andere Möglichkeit, die erste obige Aussage zu betrachten, ist, dass Sie aus der Wellenoptik die sogenannte Fraunhofer-Näherung für die Beugung im Fernfeld erhalten, die im Wesentlichen eine Fourier-Transformation mit geeigneten variablen Substitutionen ist (und mit einem Phasenfaktor, den Sie gewonnen haben nicht auf der Netzhaut oder einem Bildschirm sehen). Alles, was ein Objektiv jetzt tut, ist, das Fernfeld (und damit die Fourier-Transformation) in seine hintere Brennebene zu „ziehen“.

Sie erhalten immer noch die Fourier-Transformation (multipliziert mit einem Phasenfaktor, den Sie nicht sehen können), wenn sich Ihre „beugende“ Eingangsebene nicht in der vorderen Brennebene der Linse befindet. Je weiter Ihre Eingabeebene jedoch von der Linse entfernt ist, desto kleiner wird Ihr Winkelbereich, der durch die Linse geht. mit anderen Worten: Die NA wird kleiner. Dies bedeutet eine maximale Ortsfrequenz Ihres „Fourier-Transformationsbildes“. Stellen Sie sich eine kreisförmige Maske über Ihrer idealen Fourier-Transformation vor, die kleiner wird, wenn sich Ihre Eingabeebene von der Linse wegbewegt. (Als Randbemerkung: Diese Maske entspricht einer optischen Tiefpassfilterung, also einer Unschärfe, die begrenzt, wie viele Details das Auge bei gegebener Objektentfernung physikalisch auflösen kann.)

Im täglichen Leben werden Sie jedoch wahrscheinlich keine Fourier-Transformationen sehen, da das meiste Licht um uns herum räumlich und zeitlich inkohärent ist, die Interferenzbedingungen also nicht erfüllt sind und daher keine (unterscheidbaren) Beugungsmuster vorhanden sind.

Optik des Auges - sehen wir Fourier-Transformationen?
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