Fourier-Optik - Impulsantwort des freien Raums von der Fresnel-Übertragungsfunktion

Question

Fourier-Optik - Impulsantwort des freien Raums von der Fresnel-Übertragungsfunktion

Optik
Physik
Photonik
Fourier-Transformation

Kuchenliebhaber

Ich lese gerade das Kapitel „Fourier Optics“ im Buch „Fundamentals of Photonics“ von Saleh und Teich. Einer bestimmten mathematischen Herleitung kann ich jedoch nicht folgen.

Auf Seite 111 wird die Übertragungsfunktion des freien Raums hergeleitet

H (v_{X}, v_{j}) = exp (- J 2 π D \sqrt{λ^{- 2} - v_{X}^{2} - v_{j}^{2}}) .

$H(\nu_x, \nu_y) = \text{exp}(-j 2 \pi d \sqrt{\lambda^{-2} - \nu_x^2 - \nu_y^2}).$

$d$ ist die Entfernung, die das Licht von der Eingangsebene zur Ausgangsebene zurücklegt. $\lambda$ ist die Wellenlänge und $\nu_x$ Und $\nu_y$ sind die Raumfrequenzkomponenten.

Danach wird diese Formel vereinfacht, indem die Fresnel-Näherung verwendet wird, für die angenommen wird, dass die Frequenzkomponenten $\nu_x$ Und $\nu_y$ in der Eingangswelle sind viel kleiner als die Systembandbreite $\lambda^{-1}$ . Die resultierende angenäherte Übertragungsfunktion ist

H_{Fresnel} (v_{X}, v_{j}) = exp (J π λ D (v_{X}^{2} + v_{j}^{2})) \cdot exp (- J k D) .

$H_{\text{Fresnel}}(\nu_x, \nu_y) = \text{exp}(j \pi \lambda d (\nu_x^2 + \nu_y^2)) \cdot \text{exp}(-j k d).$

Das macht für mich noch Sinn, soweit ist alles in Ordnung. Danach leiten sie jedoch die Impulsantwort des Systems ab, indem sie die inverse Fourier-Transformation auf die Übertragungsfunktion anwenden $H_{\text{Fresnel}}$ . Die resultierende Funktion ist

H (X, j) \approx \frac{J}{λ D} \cdot exp (- J k D) \cdot exp (- J k \frac{X^{2} + j^{2}}{2 D}) .

$h(x,y) \approx \dfrac{j}{\lambda d} \cdot \text{exp}(-j k d) \cdot \text{exp}(-j k \dfrac{x^2+y^2}{2 d}).$

Und ehrlich gesagt habe ich absolut keine Ahnung, wie sie zu diesem Ausdruck kommen. Der inverse Fourier ist

H (X, j) \approx \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} H_{Fresnel} (v_{X}, v_{j}) \cdot exp (- J 2 π (v_{X} X + v_{j} j)) D v_{X} D v_{j} .

$h(x, y) \approx \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} H_{\text{Fresnel}}(\nu_x, \nu_y) \cdot \text{exp}(-j 2 \pi (\nu_x x + \nu_y y)) d\nu_x d\nu_y.$

Kleine Anmerkung: Aus irgendeinem Grund haben sie die Vorzeichen in der Fourier-Transformation im Gegensatz zur Standardnotation umgedreht.

Die Kernfrage lautet also: Wie haben sie dieses Integral gelöst? Es gibt eine Korrespondenztabelle am Ende des Buches, aber ich habe keine Ahnung, wie das helfen soll. Mit freundlichen Grüße

hyportnex

siehe Zeile 206 in der Tabelle von en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform (ich glaube, Sie haben einen Vorzeichenfehler in der Gleichung für

H_{f r e s n e l}

$H_{fresnel}$ )

Kuchenliebhaber

@hyportnex Sie hatten Recht mit dem Vorzeichenfehler, aber die vorgeschlagene Korrespondenz funktioniert nicht, weil

R e (α) = 0

$Re(\alpha) = 0$

hyportnex

Haben Sie von der analytischen Fortsetzung gehört/gelernt? Zeile "206" wie geschrieben gilt für jeden Komplex

α

$\alpha$ das hat

R e [α] \geq 0

$Re[\alpha] \ge 0$ andernfalls ist das Integral nicht konvergent. In der Fourier- (oder Laplace-) Transformationsanalyse ist es üblich, eine Formel zu entwickeln, die in der offenen oberen (oder rechten) Halbebene gültig ist, deren Grenze die reale (oder imaginäre) Achse ist, auf der Sie durch analytische Fortsetzung die Antwort erhalten, die Sie sind suchen.

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Fourier-Optik - Impulsantwort des freien Raums von der Fresnel-Übertragungsfunktion

siehe Zeile 206 in der Tabelle von en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform (ich glaube, Sie haben einen Vorzeichenfehler in der Gleichung für $H_{fresnel}$ )
@hyportnex Sie hatten Recht mit dem Vorzeichenfehler, aber die vorgeschlagene Korrespondenz funktioniert nicht, weil $Re(\alpha) = 0$
Haben Sie von der analytischen Fortsetzung gehört/gelernt? Zeile "206" wie geschrieben gilt für jeden Komplex $\alpha$ das hat $Re[\alpha] \ge 0$ andernfalls ist das Integral nicht konvergent. In der Fourier- (oder Laplace-) Transformationsanalyse ist es üblich, eine Formel zu entwickeln, die in der offenen oberen (oder rechten) Halbebene gültig ist, deren Grenze die reale (oder imaginäre) Achse ist, auf der Sie durch analytische Fortsetzung die Antwort erhalten, die Sie sind suchen.

Kuchenliebhaber · Answer 1

Ich glaube, ich konnte das Problem lösen, indem ich die gleiche Methode wie hier erwähnt anwende . Allerdings unterscheidet sich meine Lösung immer noch um einen konstanten Faktor von der Lösung im Buch, also ist sie vielleicht immer noch nicht ganz richtig.

Wenn Sie sich ansehen $h(x, y)$ man kann leicht sehen, dass es als getrennt werden kann

H (X, j) = K \cdot F (X) \cdot F (j) .

$h(x, y) = K \cdot f(x) \cdot f(y).$ mit

f (x) = e^{\frac{- j k x^{2}}{2 d}} = e^{j a x^{2}}, a = \frac{- k}{2 d}

$f(x) = e^{\dfrac{-j k x^2}{2 d}} = e^{j a x^2}, a = \dfrac{-k}{2 d}$ Und

K = e^{- j k d}

$K = e^{-j k d}$ .

Wenn wir also wissen, wie man eine Fourier-Transformation durchführt $f(x)$ , das Problem ist mehr oder weniger gelöst.

Wenn wir differenzieren $f(x)$ , erhalten wir die folgende Gleichung

\frac{D F (X)}{D X} = F (X) \cdot 2 J A X .

$\dfrac{d f(x)}{dx} = f(x) \cdot 2 j a x.$

Lassen Sie es mit den bekannten Korrespondenzen Fourier-transformieren

J ω F (ω) = \frac{D F (ω)}{D ω} 2 J A .

$j \omega F(\omega) = \dfrac{d F(\omega)}{d \omega} 2ja.$

Das gibt uns

\frac{D F (ω)}{D ω} = F (ω) \cdot \frac{ω}{2 A J} .

$\dfrac{d F(\omega)}{d \omega} = F(\omega) \cdot \dfrac{\omega}{2 a j}.$

Wir können das sehen

F (ω) = exp (\frac{- J ω^{2}}{4 A})

$F(\omega) = \text{exp}(\dfrac{-j \omega^2}{4a})$ ist eine Lösung der Differentialgleichung.

Nein, wir können ersetzen $a$ Und $k = \dfrac{2 \pi}{\lambda}$

F (ω) = exp (\frac{J ω^{2} D λ}{4 π})

$F(\omega) = \text{exp}(\dfrac{j \omega^2 d \lambda}{4 \pi})$ und mit

ω = 2 π ν

$\omega = 2\pi \nu$ wir bekommen

F (v) = exp (J π λ D v^{2}) .

$F(\nu) = \text{exp}(j \pi \lambda d \nu^2).$

Ersetzen alles gibt uns

H (v_{X}, v_{j}) = \frac{J}{λ D} exp (- J k D) exp (J λ D π (v_{X}^{2} + v_{j}^{2})) .

$H(\nu_x, \nu_y) = \dfrac{j}{\lambda d} \text{exp}(-j k d) \text{exp}(j \lambda d \pi (\nu_x^2+\nu_y^2)).$

Aus irgendeinem Grund der Faktor $\dfrac{j}{\lambda d}$ ist immer noch falsch, aber das ist die beste Antwort, die ich ableiten konnte.

Mit freundlichen Grüße

Mike Stein · Answer 2

Merken Sie sich das für $a>0$ das Fresnel-Integral ist

\int_{- \infty}^{\infty} e^{ich A X^{2}} = e^{ich π / 4} \sqrt{\frac{π}{A}},

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{iax^2} = e^{i\pi/4} \sqrt{\frac \pi{a}},$
wegen der Notwendigkeit, die Kontur mit von der realen Achse zu schieben

x = e^{i π / 4} t

$x= e^{i\pi/4}t$ . Dein Integral ist das Produkt zweier Fresnel-Integrale

x

$x$ mal

y

$y$ und das hast du

{[e^{ich π / 4} \sqrt{\frac{π}{A}}]}^{2} = \frac{π ich}{A} .

$\left[e^{i\pi/4} \sqrt{\frac \pi{a}}\right]^2= \frac{\pi i}{a}.$

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