Modellierung der Ausbreitung von Laserstrahlen im freien Raum unter Verwendung von Fourier-Transformationen

Ich versuche die Ausbreitung eines Laserstrahls im freien Raum zu modellieren. Ich habe ein Anfangsfeld E ich N ( X , z = 0 ) (ein Gaußscher Strahl) und müssen die Felder an anderen Punkten auf der optischen Achse finden E ( X , z = D ) für eine beliebige Entfernung D .

Wenn ich mir ein paar Texte durchlese, ist dies der Ansatz, den ich gerade habe:

  • Berechnen Sie die Fourier-Transformation des Anfangsfelds: E ^ ( k X ) = F [ E ich N ( X , z = 0 ) ]
  • Multiplizieren E ^ durch die Freiraumübertragungsfunktion e ich k z z 0 Wo k z = k 2 − k X 2 um es auf Distanz zu verbreiten z 0 entlang der optischen Achse.
  • Inverse Fourier-Rücktransformation zu erhalten E ( X , z = z 0 )

Diese Methode macht für mich Sinn. Ich denke, wir stellen uns das Feld als eine unendliche Ansammlung von ebenen Wellen vor, und durch die Fourier-Transformation bewegen wir im Wesentlichen jede dieser ebenen Wellen, indem wir uns durch jede ihrer jeweiligen Wellenzahlen ausbreiten. Ich verstehe, dass die ABCD-Matrixmethode eine einfachere Technik sein könnte, aber ich brauche eine Methode, die für beliebige Strahlen und nicht nur für Gaußsche Strahlen funktioniert.

Ich implementiere dies im Moment auf Mathematica und die resultierenden Felder, die ich bekomme, entsprechen nicht meinen Erwartungen an die Gaußsche Strahlausbreitung (sie folgen nicht den Trends sphärischer Wellenfronten). Ich würde mich über jede Hilfe freuen, um herauszufinden, ob dies der richtige Ansatz ist. Ich würde mich auch über jede Hilfe bei der Suche nach anderen Techniken freuen, die für diese Modellierung nützlich sein könnten.

Haben Sie eine Fourier-Transformation in Zeit und eine Laplace-Transformation in z versucht?

Antworten (3)

Das Problem bei der Verwendung des tatsächlichen Freiraum-Fourier-Propagators ist Aliasing.

Ich habe das auch durch Versuch und Irrtum gelernt, nach ein paar Wellenlängen beginnt sich das numerische Modell wirklich schlecht zu verhalten, wahrscheinlich aufgrund von Aliasing- und Rundungsfehlern.

Die Fresnel-Näherung funktioniert tatsächlich besser, wenn Sie sich irgendwo weiter als im Nahfeldbereich befinden. Sie ist numerisch stabiler ... Ich bin sicher, Sie könnten Software schreiben, die die Fehler korrigiert, aber verwenden Sie einfach Fresnel, sie ist sehr genau ...

u z ( R ) ≈ e ich k z ich λ z e ich π R 2 λ z F { u 0 ( R 0 ) e ich π R 0 2 / λ z } ρ = R λ z

wobei die folgende Einschränkung erfüllt sein muss:

z 3 ≫ “ R − R 0 “ 4 / λ
Und R := ( X , j ) ; die Koordinaten in der Ebene an Ihrem bestimmten z , senkrecht zur z -Achse, R 0 := ( X 0 , j 0 ) ; die Koordinaten in der Ebene an Ihrer anfänglichen Feldposition z 0 = 0 , senkrecht zur z -Achse.

Fraunhofer (Fernfeld) ist gültig wenn

z ≫ “ R − R 0 “ 2 / λ

Danke für die Antwort! Ich denke, ich muss meine Längenskalen hier besser verstehen. Ich dachte, die Fresnel-Näherung wäre für das Nahfeld. Warum ist es in Regionen, die weiter vom Nahfeld entfernt sind, stabiler? Die nächsten Schritte meines Problems beinhalten die Beugung durch Gitter. Würden Entfernungen von einigen Zentimetern von Standard-Beugungsgittern als Nahfeld betrachtet? (dh sollte ich Fresnel- oder Fraunhofer-Beugung verwenden?)
Das ist es, aber es verliert an Genauigkeit im sehr nahen Feld, könnte man sagen ... vor 1 oder 2 Wellenlängen von Ihrem ursprünglichen Feld.
Wenn Sie Code für Fresnel schreiben, funktioniert er auch in der Fernfeldzone (Fraunhoffer). Ich werde das Obige für die Skalen bearbeiten, die für jede Annäherung gültig sind. Ich glaube, dass die Fresnel-Näherung numerisch stabiler ist, da einige der Hochfrequenzkomponenten der tatsächlichen Freiraum-Übertragungsfunktion nicht gut angenähert werden, wenn sie diskretisiert werden. Der Fresnel behebt dies durch eine mathematische Annäherung ... Ich habe jedoch nicht vollständig nachgeforscht ...
@daaxix Woher hast du die Einschränkungen? Können Sie einen Artikel oder ein Buch zitieren?
@DaP, Goodman und Gaskill haben es beide, glaube ich, ebenso wie Barrett und Myers. Abhängig von Ihrer Stimmung und wie Sie die Off-Axis-Form definieren, können die Konstanten in diesen Ausdrücken variieren. Ich habe es auch selbst direkt von der in der Fresnel-Näherung verwendeten Taylor-Reihenentwicklung abgeleitet, meine Ableitung gab mir ein Vielfaches davon π .
@daaxix Gefunden, danke. Eine Frage allerdings: Haben Sie Erfahrung mit Berechnungen im Nahfeld ? FFT schlägt irgendwann aufgrund von Aliasing fehl. Das Lösen des Rayleigh-Sommerfeld-Integrals scheitert irgendwann an dem schnell oszillierenden Term darin. Irgendein Rat?
Normalerweise muss ich das sehr nahe Feld nicht berechnen, aber mein erster Instinkt wäre, einen benutzerdefinierten Fourier-Propagator wie Fresnel zu bauen, aber mit mehr Termen. Die Fresnel-Näherung verwendet eine Taylor-Reihenerweiterung, vielleicht ergibt die Verwendung eines anderen Terms in der Reihe bei unterschiedlichen Abständen ein gewisses Maß an Genauigkeit ohne die Diskretisierungsprobleme. Ich vermute, dass Sie eine Art Grenze zwischen Entfernung und Anzahl der Begriffe ableiten können, was eine ordentliche Veröffentlichung ergeben würde!

Ich habe bereits an anderer Stelle geschrieben, dass Gaußsche Strahlen nur einige Annäherungen an Lösungen der Maxwell-Gleichungen sind. Aus diesem Grund habe ich einige exakte Lösungen der Maxwell-Gleichungen hergeleitet, die von Gaußschen Strahlen extrem gut ("asymptotisch genau") angenähert werden, wenn die Strahltaille viel größer als die Wellenlänge ist. Siehe https://arxiv.org/abs/physics/0405091 , Gl. 22. Die Lösung beschreibt einen zirkular polarisierten Strahl, aber es ist nicht schwierig, eine Lösung abzuleiten, die einen linear polarisierten Strahl beschreibt.

Wie oben erwähnt, ist Aliasing ein Problem bei der Fresnel-Ausbreitung unter Verwendung von Fourier-Transformationen, aber es ist sehr handhabbar. SPIE hat einige gute Bücher zum Schreiben von Code für die Fresnel-Ausbreitung und zur Minimierung der Auswirkungen von Aliasing veröffentlicht. Diese beiden decken die Ausbreitungsmathematik ab und haben viel Matlab-Code: https://doi.org/10.1117/3.858456

https://doi.org/10.1117/3.866274

Hier geht es weniger um Fortpflanzung als vielmehr um Fourier-Transformationen in Mathematica: https://doi.org/10.1117/3.2574956

Viele Universitäten haben institutionelle Abonnements für die SPIE Digital Library, sodass Sie diese Bücher möglicherweise kostenlos herunterladen können.

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