Impulsänderung durch spontane Emission

Um die Doppler-Kühlgrenze zu erreichen, wird der Laser typischerweise auf eine halbe natürliche Linienbreite rot der Übergangsfrequenz abgestimmt. Das macht den Unterschied zwischen$k$Und$\omega_0/c$für die meisten Zwecke vernachlässigbar klein:$\frac{\omega_0-\omega}{\omega} \approx \frac{\textrm{a few MHz}}{\textrm{a few hundred THz}} \approx 1\times 10^{-8}$. Möglicherweise ignoriert Foot in seiner Behandlung einfach den Unterschied zwischen diesen Größen.

Aber selbst bei einer sorgfältigeren Behandlung glaube ich, dass das spontane Rückstoßmoment der Emission normalerweise näher sein wird$\hbar k$als$\hbar \omega_0/c$. Energieerhaltung impliziert, dass die Änderung der kinetischen Energie des Atoms durch die Energie des absorbierten Photons minus der Energie des emittierten Photons gegeben ist. Die Berechnung der kinetischen Energieänderung aus dem Rückstoßimpuls (dh$\Delta KE = \frac{(\hbar k)^2}{2 m}$) für den 780-nm-Abkühlungsübergang in Rubidium-87 ergibt beispielsweise eine kinetische Energieänderung von$\approx 1.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{eV}$pro Photon . Dies ist viel kleiner als die Energiedifferenz zwischen den Laserphotonen und dem atomaren Übergang bei einigen MHz Verstimmung,$\approx 1 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$, so dass die Energie/Wellenzahl des emittierten Photons im Laborrahmen der Energie/Wellenzahl des absorbierten Photons sehr ähnlich ist.

Dieses Ergebnis stimmt mit der empirischen Beobachtung überein, dass normalerweise mindestens mehrere hundert Photonenstreuungen erforderlich sind, um die Geschwindigkeit eines Atoms von der maximalen "Einfang"-Geschwindigkeit des Kühllasers auf Null zu bringen.

Das ist einfacher als Sie denken. Betrachten Sie ein isoliertes Atom, das anfänglich in Ruhe ist, dh wir wählen ein Bezugssystem, in dem der Impuls des Atoms Null ist. Unser Atom sendet ein Photon mit Impuls aus$p$, also muss das Atom mit einem Impuls zurückprallen, um Impuls zu erhalten$-p$. Um also den Impuls zu finden, der dem Atom verliehen wird, müssen wir nur den Photonenimpuls finden.

Es ist ein Standardergebnis, dass der Impuls eines Teilchens gegeben ist durch:

Wo$\lambda$ist die De-Broglie-Wellenlänge. Wenn dies bewiesen werden muss, ist es ein bequemer Weg, den relativistischen Ausdruck für Energie zu verwenden:

Für ein Photon ist die Energie$E=h\nu = hc/\lambda$und die Masse ist null, und durch Einsetzen erhalten wir:

woraus das Ergebnis folgt. Ihr Buch gibt dies als$\hbar k$, aber seit$k=2\pi/\lambda$und natürlich$\hbar=h/2\pi$das ist der gleiche Ausdruck.