Ich habe die Ableitung des thermischen Gleichgewichts von Einstein gesehen , aber intuitiv würde ich die spontane Zerfallsrate erwarten als .
Mit anderen Worten, ich würde erwarten, dass die spontane Zerfallsrate umgekehrt proportional zur Lebensdauer des Zustands ist, was mit der Unsicherheit der Energie des Zustands zusammenhängt. Woher kommt also die Würfelbeziehung?
Im Sinne der goldenen Fermi-Regel ist die Übergangsrate (Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit) proportional zum Matrixelement des Übergangs und der Zustandsdichte im Endzustand. Was Sie geschrieben haben, gilt zwar für das Matrixelement, aber die spontane Zerfallsrate wird von der Emission eines Photons begleitet. Mit anderen Worten, es muss nicht nur ein optischer Übergang möglich sein, sondern es muss auch Raum vorhanden sein, wo dieses Photon emittiert werden kann. Sie müssen also auch die Freiraumdichte von Photonenzuständen berücksichtigen.
Es gibt verschiedene Ableitungen für letzteres (die normalerweise gelehrte beinhaltet die Betrachtung eines rechteckigen Kastens und die Erweiterung zu einem unendlich großen, während darin stehende Wellen als Photonenmoden gezählt werden), aber auf jeden Fall die Anzahl der Photonen bei Energie ist proportional zu , also ihre Zustandsdichte, wenn die Ableitung und damit proportional zu . Zusammen mit aus dem Matrixelement ergibt dies im Gesamttarif.