Unterschied zwischen der paraxialen Näherung und der Fresnel-Näherung

Ich lese gerade Literatur über Beugung (insbesondere Rayleigh/Sommerfeld-Beugung oder die äquivalente Fourier-Methode) und stolpere ständig über die Begriffe "paraxiale Approximation" und "Fresnel-Approximation". Was ist der genaue Unterschied zwischen diesen beiden Begriffen oder was ist die genaue Definition dieser Begriffe? Welche mathematischen Ausdrücke werden angenähert und in welchen Fällen?

Ich berechne gerade die Fourier-Transformation der Freiraum-Übertragungsfunktion

H ( X , j , z ) = F ( X , j ) ( e ich z k 2 − k X 2 − k j 2 )

Unter der Annahme, dass das Feld (das einer Beugung unterzogen wird) nur solche Spektralkomponenten mit enthält k 2 ≫ k X 2 (Das wäre eine Einschränkung, die Sie auf das gesamte gebeugte Feld anwenden), die Sie der Exponentialfunktion annähern können

e ich z k 2 − k X 2 − k j 2 ≈ e ich k z − ich 2 k z ( k X 2 + k j 2 )

Wenn Sie dann die Impulsantwort berechnen (die Fourier-Transformation), erhalten Sie parabolische Wellen, die sich von jedem Punkt der Oberfläche ausbreiten, der die beugende Struktur enthält. Welche Annäherung habe ich hier verwendet? Fresnel-Näherung oder die paraxiale Näherung?

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Kurz gesagt, aus der Helmholtz-Gleichung können Sie die Rayleigh-Sommerfeld-Beugungsformel ableiten. Außerdem leiten Sie mit paraxialer Annäherung die Fresnel-Beugungsformel ab.

In Mathe für Welle u 0 ( R ) Ausbreitungsdistanz z als u z ( R ) , durch die Rayleigh-Sommerfeld-Gleichung:

u z ( R ) = − 1 2 π u 0 ( R ) ⋆ 1 2 π z e J k R R 3 ( 1 − J k R ) ,

Wo R = ( X , j ) , R = X 2 + j 2 + z 2 , k die Wellenzahl, ⋆ bezeichnet Faltung.

Um die Fresnel-Formel zu erhalten, benötigen Sie:

  • z ≫ “ R “ . Und somit: R = “ R “ 2 + z 2 ≈ z + “ R “ 2 2 z .

  • z ≫ λ . Dies führt zu: k R ≫ 1 .

Mit diesen beiden Annäherungen erhalten Sie die Frenel-Formel:

u z ( R ) = u 0 ( R ) ⋆ e J k z J λ z e J k “ R “ 2 2 z .

Die paraxiale Näherung und die Fresnel-Näherung sind im Wesentlichen dasselbe. Es ist nur so, dass im Zusammenhang mit den Differentialgleichungen eher die paraxiale Näherung verwendet wird, während im Zusammenhang mit dem Integralausdruck die Fresnel-Näherung verwendet wird.

Ausgehend von der Helmholtz-Gleichung kann man die paraxiale Näherung anwenden, um die paraxiale Wellengleichung zu erhalten. (Auf Anfrage kann ich die entsprechenden Ausdrücke einfügen.) Die Lösungen der paraxialen Wellengleichung haben die Form von Gaußschen Strahlen (Laguerre-Gaußian, Hermite Gaußian, etc.). Gaußsche Strahlen sind keine Lösungen der Helmholtz-Gleichung.

Andererseits kann man, wie Sie es getan haben, einen Integralgleichungsansatz verwenden und dann die Fresnel-Näherung anwenden, um das Argument in der Exponentialfunktion des Kernels zu modifizieren. Das Ergebnis ist das Fresnel-Ausbreitungsintegral.

Um zu überprüfen, ob diese beiden Ansätze das gleiche Ergebnis liefern. Beginnen Sie mit der zweidimensionalen Gaußschen Form eines Gaußschen Strahls in seiner Taille. Wenden Sie dann die Fresnel-Ausbreitung über eine beliebige Entfernung an z . Sie werden einen Ausdruck finden, der der Lösung der paraxialen Wellengleichung entspricht.

Unterschied zwischen der paraxialen Näherung und der Fresnel-Näherung
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