Modellierung der Beugung beliebiger elektrischer Felder durch Beugungsgitter

Sie haben Recht, dass viele Behandlungen des Problems die Variation des Strahlfelds entlang des Gitters ignorieren und einfach davon ausgehen, dass es sich um eine ebene Welle mit einer flachen Phase handelt. Dies ist jedoch relativ einfach zu beheben: wenn Sie mit einem (komplexwertigen) Feld beginnen$E(x)$auf ein Beugungsgitter trifft$G(x)$, dann ist die Fernfeldamplitude die Fourier-Transformierte des elektrischen Felds unmittelbar nach dem Gitter, d. h$G(x)$. Das Schlüsselwerkzeug, um dies zu berechnen, ist der Faltungssatz , der lautet

$$\mathscr F[E(x)\cdot G(x)] = \mathscr F[E(x)] \ast \mathscr F[G(x)],$$ dh die Fourier-Transformation des Produkts des Feldes und des Gitters ist durch die Faltung zwischen der Fourier-Transformation des Gitters (dh die übliche Wirkung des Gitters bei einem einfallenden Feld einer ebenen Welle) und der Fourier-Transformation des Nahfelds gegeben (dh das Fernfeld, wenn kein Gitter vorhanden wäre).

Sobald Sie diesen Suchbegriff haben, gibt es viele interessante Referenzen , die die Variation des Feldes am Gitter enthalten.

Die Kirchoff-Beugungsformel für eine ausgedehnte Quelle im Fraunhofer-Regime (dh Fresnel-Zahl $F=a^{2}/(\lambda z)\ll 1$) sieht aus wie das:

$$U(p)\propto \int_{S}a_{0}(x,y,z=0)e^{ik\left[lx + my\right]}dxdy\hspace{1cm}(1)$$

$U(p)$ist das am Punkt gesehene Feld$p$auf dem Bildschirm nach dem Anfangsfeld$a_{0}(x,y,z=0)$wird von einem Objekt bei gebeugt$z=0$.$l$Und$m$sind Richtungskosinusse in$x$Und$y$, bzw.$a(x,y,z=0)$ist durch die Übertragungsfunktion des beugenden Objekts gegeben$G(x,y)$ multipliziert mit dem Leuchtfeld $E(x,y,z=0)$. Wenn wir dies verwenden, sehen wir Folgendes:

$$\hspace{1cm}U(p)\propto \int_{S}E(x,y,z=0)G(x,y)e^{ik\left[lx + my\right]}dxdy\hspace{1cm}(2)$$

Sie sehen also, das Beugungsmuster hängt von den Eigenschaften des Beleuchtungsfeldes ab. Unter Verwendung Ihrer Notation und Gleichung 2 kann ein Fraunhofer-Beugungsmuster modelliert werden mit:

$$\hspace{1cm}U(k_{x}, k_{y}, z) = \mathscr{F}\left[ E(x,y,z=0)\times G(x,y) \right]\hspace{1cm}(3)$$

Dies ergibt das Beugungsmuster im Phasenraum, wie Sie erwähnt haben. Vom Phasenraum zu transformieren$x$Und$y$Auf dem Bildschirm können Sie Folgendes verwenden:

$$\hspace{1cm}P_{\text{screen}} = \frac{\lambda}{\sin\left( \arctan(NP_{\text{object}}/z) \right)}\hspace{1cm}(4)$$

$P_{\text{screen}}$ist die auf den Bildschirm projizierte Pixelgröße,$N$ist die Anzahl der Pixel sowohl für die Bildschirm- als auch für die Objektebene und$P_{\text{object}}$ist die Pixelgröße in der Objektebene.

Um zu zeigen, dass es funktioniert, hier einige berechnete Einzelspalt-Beugungsmuster. Alle verwenden eine Schlitzbreite$\delta=250$ $\mu$m und nehme als Beleuchtungsfeld einen Gaußschen Strahl mit Fokus am Spalt an (Brennfleckgröße$w_{0}$). Der Abstand zwischen dem Objekt und dem Bildschirm betrug 1 m. Diese Parameter ergeben Fresnel-Zahlen von 0,0078 und 0,0039, was die Fraunhofer-Beugung bestätigt. Verwenden Sie die oberen und mittleren Bilder$\lambda=500$nm, aber unterschiedliche Brennfleckgrößen, und das untere Bild verwendet$\lambda=1$ $\mu$m mit der gleichen Punktgröße, die für das obere Bild verwendet wird. Die Farbkarte ist log$_{10}$skaliert.

Die Gaußsche Strahlausbreitung wirkt sich deutlich auf das Beugungsmuster am Schirm aus. Für ein Einzelspaltbeugungsmuster lautet die analytische Formel für die ersten Beugungsminima der Position um den zentralen Peak:

$$x = \frac{\pm 1\lambda z}{\delta}\hspace{1cm}(5)$$

und das gibt die$m=\pm 1$Minima bei etwa 2 mm für das 500-nm-Licht und bei etwa 4 mm für das 1$\mu$m leicht, sehr nahe an den oben berechneten Minima.

Ich habe mich hier für ein Einzelspaltbeugungsmuster und eine Gaußsche Strahlausbreitung entschieden, weil sie relativ einfach sind und analytische Formeln zum Testen des Modells verfügbar sind. Sie können jedoch beliebige Amplituden- und Phasenmasken für die Beugung sowie eine beliebige Felddefinition auswählen, und es sollte immer noch gut funktionieren, solange Sie sich im Fraunhofer-Regime befinden ($F\ll 1$).