Wie wird das virtuelle Bild aus einem Hologramm rekonstruiert?

Wegen Beugung . Wenn die Fotoplatte belichtet wird, wird sie schwarz und ändert ihren Brechungsindex in räumlich variierender Weise. Bei erneuter Beleuchtung durch den Referenzstrahl kann es als Amplitudentransmission betrachtet werden. In 2D würden Sie es als die komplexe Funktion definieren:

$$t(x,y)= T(x,y)e^{i\theta(x,y)}$$

Angenommen, Ihr Referenzstrahl kann als planare harmonische Welle angenähert werden, er hat die Form:

$$E(x,y)=E_0 e^{ik*r}$$

Wenn Sie den Referenzstrahl durch das Hologramm strahlen, modulieren Sie ihn mit der Transmission. Das Feld direkt nach dem Hologramm lautet also:

$$E(x,y)=T(x,y)E_i(x,y)$$

Um das Wellenfeld an irgendeinem Punkt formal weiter zu bringen, müssen Sie das Fresenel-Kirchhoff-Integral lösen .

Die Beugung führt zu einer divergierenden und einer konvergierenden Wellenfront auf beiden Seiten der Platte. Der konvergierende erzeugt ein virtuelles Bild des Objekts, das dort zu stehen scheint, wo das ursprüngliche Objekt war. Die folgende Abbildung versucht diesen Vorgang zu verdeutlichen:

Ich möchte der Antwort von Cape Code eine weitere Sichtweise hinzufügen .

Die Holographie funktioniert, weil bei vernünftigen physikalischen Annahmen Lösungen der Helmholtz-Wellengleichung eindeutig durch die Werte der Lösungen auf einer Ebene definiert sind. Wenn wir also eine Phasen-/Amplitudenmaske, die eine bestimmte Wellengleichungslösung kodiert, auf einer Ebene mit einer ebenen Welle von einem Laser beleuchten können, hat das durch die Maske tretende Licht die gleiche Phase und Amplitude wie die ursprüngliche Lösung der Wellengleichung. Daher hat das Lichtfeld bei der Ausbreitung von der Maske weg das gleiche Verhalten wie die ursprüngliche Lösung.

Um dies in Aktion zu sehen, nehmen wir an, dass ein Lichtfeld nahezu monochromatisch ist und sich nominell in der ausbreitet$+z$Richtung. Erinnern Sie sich an die ebenen Wellenlösungen der Helmholtz-Gleichung$(\nabla^2+k^2)\psi=0$sind von der Form$\psi_{\vec{k}}(\vec{r}) = \exp(i\,\vec{k}\cdot\vec{r})$, Wo$\vec{k}=(k_x,\,k_y,\,k_z)$ist der Wellenvektor erfüllend$c^2\,\vec{k}\cdot\vec{k}=\omega^2$. Wenn das Feld positiv nur aus ebenen Wellen besteht$z$Richtung ( bzw $k_z>0$) dann können wir die Beugung jedes Skalarfeldes an jeder Transversalen (der Form$z=c$) Flugzeug von:

$$\begin{array}{lcl}\psi(x,y,z) &=& \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2} \left[\exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right) \exp\left(i \left(k-\sqrt{k^2 - k_x^2-k_y^2}\right) z\right)\,\Psi(k_x,k_y)\right]{\rm d} k_x {\rm d} k_y\\ \Psi(k_x,k_y)&=&\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\left(-i \left(k_x u + k_y v\right)\right)\,\psi(x,y,0)\,{\rm d} u\, {\rm d} v\end{array}$$

Um dies zu verstehen, lassen Sie uns die algorithmischen Schritte, die in diesen beiden Gleichungen codiert sind, sorgfältig in Worte fassen:

1. Nehmen Sie die Fourier-Transformation des Skalarfelds über die Querebene$z=0$um es als Überlagerung von skalaren ebenen Wellen auszudrücken$\psi_{k_x,k_y}(x,y,0) = \exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right)$mit Überlagerungsgewichten$\Psi(k_x,k_y)$;
2. Beachten Sie, dass sich ebene Wellen im ausbreiten$+z$Richtung, die die Helmholtz-Gleichung erfüllt, variieren als$\psi_{k_x,k_y}(x,y,z) = \exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right) \exp\left(i \left(k-\sqrt{k^2 - k_x^2-k_y^2}\right) z\right)$;
3. Propagieren Sie jede solche ebene Welle von der$z=0$Flugzeug zum General$z$Ebene unter Verwendung der in Schritt 2 notierten Lösung für ebene Wellen;
4. Inverse Fourier-Transformation der fortgepflanzten Wellen, um das Feld am allgemeinen wieder zusammenzusetzen$z$Ebene.

Wenn Sie diese Schritte verstehen, sollten Sie auch sehen, wie die Lösung der Helmholtz-Gleichung, dh das vollständige dreidimensionale skalare Lichtfeld, aus seinen Werten in der Ebene rekonstruiert wird$z=0$. Letzteres ist natürlich das, was ein Phasen- und Intensitätsmaskenhologramm codiert.

Manchmal wird eine Nur-Amplituden-Maske verwendet. Anstelle einer Maske wird also ein Feld des Formulars ausgegeben$A(x,\,y)\,\exp(i\,\Phi(x,\,y))$es gibt ein Feld des Formulars aus$A(x,\,y)\,\cos(\Phi(x,\,y))$. Aber dieses letzte Feld kann geschrieben werden:

$$A(x,\,y)\,\cos(\Phi(x,\,y)) = \frac{1}{2}(A(x,\,y)\,\exp(i\,\Phi(x,\,y))+A(x,\,y)\,\exp(-i\,\Phi(x,\,y)))$$

das ist das Feld$A(x,\,y)\,\exp(i\,\Phi(x,\,y))$die wir dem phasenkonjugierten Feld überlagern wollen $A(x,\,y)\,\exp(-i\,\Phi(x,\,y))$. Bei dieser Art von Holographie ordnet man die Beleuchtung so an, dass sich das gewünschte Feld und seine Phasenkonjugation in einem hohen Winkel relativ zueinander ausbreiten, so dass sie sich schnell trennen, was es ermöglicht, jedes Feld separat zu betrachten.