Orbitalpendel (Librier-Mond-Hantel-Modell)

Stellen Sie sich einen Mond vor, der seinen Planeten auf einer Kreisbahn umkreist. Der Mond ist durch Gezeiten an seinen Planeten gebunden und hat zwei permanente Ausbuchtungen, die nicht genau auf den Planeten ausgerichtet sind. Nach Newtons Gravitationstheorie sollte der Mond um seine Gleichgewichtsausrichtung mit dem Planeten oszillieren. Ich betrachte einen einfachen Mond, der durch zwei kleine Teile dargestellt wird, wobei auf jeden Teil Gravitationskraft wirkt. Die Linie, die beide Teile verbindet, ist der Einfachheit halber nur auf die Orbitalebene beschränkt . Der Mond sollte sich wie ein Pendel verhalten. Für sehr kleine Winkelverschiebungen$\vartheta$, ich habe diese Differentialgleichung gefunden:

$$\begin{equation}\tag{1} \ddot{\vartheta} + \frac{3 G M}{r_{\text{cm}}^3} \, \vartheta = 0, \end{equation}$$ Wo $M$ist die Masse des Planeten, und $r_{\text{cm}}$ist der Abstand vom Planeten zum Massenmittelpunkt des Mondes. Dies ist die Gleichung der harmonischen Schwingungen, und die Winkelfrequenz der Schwingungen ist somit $$\begin{equation}\tag{2} \Omega = \sqrt{\frac{3 G M}{r_{\text{cm}}^3}}. \end{equation}$$ Für unseren Mond ergibt sich daraus ein Zeitraum von 15,8 Tagen. Wenn Sie auf der Erdoberfläche einen langen Stab an seinem Massenmittelpunkt halten, ergibt sich eine Zeitspanne von 48,7 Minuten (dies ist zu lang, um messbar zu sein, da die Reibung den Stab in seiner vertikalen Gleichgewichtsposition stabilisiert Ungenauigkeit in der Halterung würde die Stange viel schneller in die eine oder andere Richtung kippen).

Nun, ich habe das nirgendwo gesehen, und ich brauche eine Bestätigung, dass es richtig ist. Die Suche mit Google nach Mondoszillationen bringt mir nichts.

Ich bin sehr überrascht, dass das Trägheitsmoment nicht in der Kreisfrequenzformel (2) erscheint.

---

EDIT: Hier sind einige Details. Der Mond und seine Ausbuchtungen sind als Lichtstab mit einer kugelförmigen Masse an jedem Ende (Hantelmond) modelliert. Der Spindrehimpuls ist relativ zum Schwerpunkt des Mondes definiert:

$$\begin{equation}\tag{3} \vec{S} = m_1 \, \vec{\tilde{r}}_1 \times \vec{\tilde{v}}_1 + m_2 \, \vec{\tilde{r}}_2 \times \vec{\tilde{v}}_2, \end{equation}$$ Wo $m_1 = m_2 = \tfrac{1}{2} \, m_{\text{moon}}$, und Vektoren mit einer Tilde werden relativ zum Massenmittelpunktrahmen definiert. Wir haben $\vec{\tilde{r}}_2 = -\, \vec{\tilde{r}}_1$(siehe Bild unten).

Unter Verwendung der rechten Handregel für das Kreuzprodukt finde ich Folgendes:

$$\begin{equation}\tag{4} S = (m_1 \, \tilde{r}_1^2 + m_2 \, \tilde{r}_2^2) (\omega_{\text{rev}} - \dot{\vartheta}) \equiv I \, \omega_{\text{rot}}. \end{equation}$$ Die zeitliche Ableitung des Spinvektors ist gleich dem auf den Mond ausgeübten Drehmoment: $$\begin{align} \frac{d\vec{S}}{dt} &= \vec{\tilde{r}}_1 \times \vec{F}_1 + \vec{\tilde{r}}_2 \times \vec{F}_2 \\[12pt] &= -\, \vec{\tilde{r}}_1 \times \frac{G M m_1}{r_1^3} \, \vec{r}_1 - \vec{\tilde{r}}_2 \times \frac{G M m_2}{r_2^3} \, \vec{r}_2 \\[12pt] &= -\, \frac{G M m}{2} \Big( \frac{1}{r_1^3} \, \vec{\tilde{r}}_1 \times (\vec{r}_{\text{cm}} + \vec{\tilde{r}}_1) + \frac{1}{r_2^3} \, \vec{\tilde{r}}_2 \times (\vec{r}_{\text{cm}} + \vec{\tilde{r}}_2) \Big) \\[12pt] &= -\, \frac{G M m}{2} \Big( \frac{1}{r_1^3} - \frac{1}{r_2^3} \Big) \, \vec{\tilde{r}}_1 \times \vec{r}_{\text{cm}} \tag{5} \end{align}$$ Das Erweitern der letzten Klammer auf die niedrigste Ordnung ergibt $$\begin{equation} \frac{1}{r_1^3} - \frac{1}{r_2^3} \approx \frac{6 \, \tilde{r}_1}{r_{\text{cm}}^4} \, \cos{\vartheta}. \end{equation}$$ Setzt man dies und (4) in Gl. (5) unter Verwendung der Kleinwinkelnäherung: $2 \sin{\vartheta} \, \cos{\vartheta} \equiv \sin{2\vartheta} \approx 2 \vartheta$, und vereinfacht, ergibt Gl. (1).