Paradoxon der Strömungsmechanik

Dies ist ein täuschend einfaches Problem in der Strömungsmechanik, das ich nicht ganz herausfinden kann, weil es ein Paradoxon erzeugt.

Angenommen, es gibt einen Strohhalm und eine kleine Wassersäule im Inneren des Strohhalms, so dass die Höhe der Säule deutlich kleiner als die Höhe des Strohhalms ist und dass sich die Spitze der Säule anfänglich auf derselben Höhe wie die Spitze von befindet der Strohhalm. Nehmen Sie auch an, dass die Querschnittsfläche des Strohhalms oben ist A 1 , und ganz unten ist es A 2 , so dass A 1 > A 2 , und dass diese Änderung in der Querschnittsfläche des Strohhalms irgendwo um seinen Mittelpunkt herum auftritt.

Nehmen Sie nun an, dass die Wassersäule aufgrund der Schwerkraft aus der Ruhe beschleunigt, bis der Boden der Säule auf der gleichen Höhe wie der Boden des Strohhalms ist. Wenn die Säule durch den Mittelpunkt des Strohhalms fällt, ändert sich ihr Querschnitt A 1 Zu A 2 . Daher muss seine Geschwindigkeit aufgrund der Abnahme der Querschnittsfläche zunehmen, wie aus der Kontinuitätsgleichung folgt. Dies bedeutet, dass eine Kraft auf den unteren Teil der Säule wirkt, wenn sie durch den Mittelpunkt beschleunigt, und dass diese Kraft nicht die Gravitationskraft sein kann, da dies die gesamte Säule gleichmäßig beschleunigt.

Die Frage ist also: Was ist die zusätzliche Kraft?

Typischerweise kommt diese Kraft von einem Druckunterschied, aber in diesem Fall befinden sich sowohl die Ober- als auch die Unterseite der Wassersäule auf atmosphärischem Druck, sodass es keinen Druckunterschied gibt.

Das Paradoxe ist, dass die Kontinuitätsgleichung verletzt wird, wenn diese Kraft nicht existiert. Wenn die Kontinuitätsgleichung nicht verletzt wird, liegt eine Kraft ohne Druckdifferenz vor.

Würde das Stroh an der Stelle, an der sich das Stroh verengt, nicht eine nach oben gerichtete Kraft auf das Wasser ausüben? Es handelt sich nicht um eine zusätzliche Kraft auf dem Wasser hinter der Enge, sondern vielmehr um eine Kraft, die der Schwerkraft auf dem Wasser oberhalb der Enge entgegenwirkt.
Die Beschleunigung jedes winzigen Wasservolumens in der Wassersäule nimmt zu, wenn es den Mittelpunkt passiert. Wenn es am Mittelpunkt eine Kraft gibt, die der Schwerkraft entgegenwirkt, würden diese winzigen Wassermengen eine Abnahme der Beschleunigung erfahren. Aber tatsächlich passiert genau das Gegenteil!
Sie vernachlässigen vollständig den Strömungswiderstand , den eine Beschränkung tatsächlich auferlegt. Deshalb gehen Sie von der falschen Prämisse aus v 2 > v 1 was sicherlich nicht unbedingt wahr ist, siehe auch den Fall von Duncan Harris für eine Lochblende. Hier gibt es kein Paradoxon. Kontinuität im engeren Sinne des Verständnisses gilt hier nicht .
Ja, ich glaube, Duncan Harris hat es richtig gemacht, obwohl es definitiv immer noch so ist v 2 > v 1 und dass die Kontinuitätsgleichung immer noch gilt.

Antworten (1)

Es gibt eine Druckdifferenz.

Wenn das fallende Wasser auf das teilweise Hindernis in der Mitte des Strohhalms trifft, erhöht sich der Druck um die Ränder des Strohhalms herum. Dieser erhöhte Druck beschleunigt das Wasser in den kleineren Durchgang darunter (und versucht auch, das von oben kommende Wasser zu verlangsamen).

Dieser Effekt ist über den Zeitraum, in dem das Wasser den Mittelpunkt passiert, nicht konsistent. Bis die Spitze der Wassersäule die Mitte erreicht, ist der Druck an der Engstelle wieder auf Atmosphärendruck gefallen, weil kein Wasser mehr gegen die Wände des Strohhalms prallt.

Wenn Sie nicht sehen, warum der Druck ansteigt, wenn die Säule den Mittelpunkt erreicht, betrachten Sie den Extremfall, in dem der Strohhalm zu einem kleinen Loch reduziert wird. Dann wird das Wasser in die Verengung schlagen und durch den erhöhten Druck dort, wo der Boden der Säule auf das Hindernis trifft, zum Stillstand gebracht (der Druck wird durch das Stroh an den Seiten und am Boden und durch die Trägheit des Wassers von oben gehalten). ). Derselbe Effekt tritt bei einer weniger drastischen Verringerung des Querschnitts auf.

Ich glaube, Sie haben das Paradoxon erfolgreich gelöst, also vielen Dank dafür. Ich bin mir jedoch immer noch nicht sicher, wie man diesen Druckunterschied berechnen würde.
Das Verhalten der Wassersäule hängt von der genauen Form und den Abmessungen des Strohhalms ab. Kommt es zu einer abrupten Verengung, entstehen Turbulenzen und Druckwellen und es erwartet Sie eine sehr anspruchsvolle numerische Simulation. Wenn das Stroh eine sehr allmähliche Verjüngung aufweist und eine einfache laminare Strömung erhalten bleibt, können Sie ein Gleichungssystem aufstellen und lösen, um den Druck als Funktion von Höhe und Zeit zu ermitteln.
Paradoxon der Strömungsmechanik
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