Phasengeschwindigkeit, Gruppengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeitsdispersion (GVD)

Ich studiere, was mit einem Wellenpaket passiert, wenn es sich unter linearoptischen Bedingungen in einem Medium ausbreitet. In meinen Gleichungen habe ich den Wellenvektor$k=\frac{\omega}{c}n(\omega)$(oft angerufen$\beta$), die in der Taylor-Reihe entwickelt wird als:

$\beta(\omega)\simeq\beta(\omega_0)+\left.\frac{d\beta}{d\omega}\right|_{\omega_0}(\omega-\omega_0)+\left.\frac{d^2\beta}{d\omega^2}\right|_{\omega_0}(\omega-\omega_0)^2=\beta(\omega_0)+\beta_1(\omega-\omega_0)+\beta_2(\omega-\omega_0)^2$

Wenn wir nur überlegen$\beta_1$, wir bekommen:

$\beta_1=\left.\left[\frac{d}{d\omega}\frac{\omega}{c}n(\omega)\right]\right|_{\omega_0}=\frac{n(\omega_0)}{c}+\frac{\omega_0}{c}\left.\frac{dn}{d\omega}\right|_{\omega_0}$

wobei das erste Element eindeutig das Inverse der Phasengeschwindigkeit ist$v_p$einer Welle mit Frequenz$\omega_0$, der zweite ist ein "korrigierender" Term und ergibt zusammen den Kehrwert der Gruppengeschwindigkeit$\beta_1=\frac{1}{v_g}$. Von RP Photonics "Der Term erster Ordnung enthält die inverse Gruppengeschwindigkeit (dh die Gruppenverzögerung pro Längeneinheit) und beschreibt eine Gesamtzeitverzögerung ohne Auswirkung auf die Impulsform". Also, wenn ich vermute$\beta_2=0$Ich bekomme einen Wanderpuls, der keiner Zeitverbreiterung unterzogen wird. Es ist auch klar, dass, wenn$n$hängt nicht von der Frequenz ab (wie im Vakuum), die wir bekommen$v_p=v_g$; umgekehrt, wenn$n=n(\omega) \Rightarrow v_g\neq v_p$, sodass sich die Form in Bezug auf ihre Phase mit einer anderen Geschwindigkeit bewegt.

Meine Frage ist nun folgende:

Angenommen, wir haben den zweiten Fall, das ist ein Gaußscher Impuls, dessen Hüllkurve sich mit einer anderen Gruppengeschwindigkeit in Bezug auf die Phasengeschwindigkeit bewegt, wie unter diesem Link gezeigt: ( https://en.wikipedia.org/wiki/File:Wave_packet_propagation_(phase_faster_than_group ,_nondispersive).gif ). Damit dies geschieht, muss ich das annehmen$n$hängt von der Frequenz ab, also sind die beiden Geschwindigkeiten aus der vorherigen Gleichung unterschiedlich. Aber falls$n=n(\omega)$, bedeutet dies, dass sich jede Welle, aus der das Gaußsche Paket besteht, mit einer anderen Geschwindigkeit bewegt, wie in Abbildung 1 unter diesem Link ( https://www.rp-photonics.com/group_velocity.html ) gezeigt, wo sich die Phasenfronten verschiedener Frequenzkomponenten ausbreiten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten schneller als die Gruppengeschwindigkeit und die Form des Pulses verbreitert sich nicht. Aus meinem Buch lese ich „Die Gruppengeschwindigkeitsdispersion (GVD) ist gegeben durch die Abhängigkeit von$v_g$aus$\omega$: Innerhalb der Hüllkurve bewegen sich verschiedene Frequenzen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit und dies ist die Ursache für die zeitliche Verbreiterung des Pulses".

Wenn die Geschwindigkeiten unterschiedlich sind, warum verbreitert sich der Puls nicht? Und wenn unterschiedliche Geschwindigkeiten möglich sind, ohne dass sich der Puls zeitlich verbreitert, was ist die physikalische Ursache dieser Verbreiterung?

BEARBEITEN:

Nach vielen Recherchen habe ich einige der Zweifel bezüglich des oben erwähnten Problems ausgeräumt. Mir hat dieses PDF (link: http://sharif.edu/~kavehvash/Group_Phase_Velocity.pdf ) sehr geholfen, das erklärt, was mit den Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten gemäß der Dispersionsbeziehung passiert. Insbesondere werden zwei Fälle unterschieden:

1. Die Dispersionsbeziehung ist linear: Dies bewirkt, dass Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit gleich sind. Dies geschieht, weil es in diesem Zustand sein sollte$n=n_0$und aus der Formel von$\beta_1$wir bekommen$v_g=v_p$.

2. Die Dispersionsbeziehung ist nichtlinear : In diesem Fall sind die beiden Geschwindigkeiten immer voneinander verschieden (es sei denn, Sie haben spezielle einschränkende Bedingungen). Das liegt daran, dass$n=n(\omega)$und jede Komponente bewegt sich mit einer anderen Geschwindigkeit. Aus dem PDF: "Eine sehr wichtige Folge davon ist, dass sich unser anfängliches Wellenpaket mit der Zeit verbreitert, weil sich die es bildenden Teilwellen allmählich gegeneinander bewegen" und dies, weil, wenn$v_p=v_p(\omega)$, Dann$v_g=v_g(\omega)$. Die einzige Alternative für die$v_g$hängt nicht davon ab$\omega$und sich nicht verbreitert ist, dass es ist$0$, dh es gibt eine stehende Welle.

Wenn das, was ich geschrieben habe, richtig ist, bleibt mir der letzte Zweifel: Ist es möglich, etwas zu haben$v_g\neq v_p$ohne eine Zeitverbreiterung zu erhalten, wie in den folgenden beiden Links gezeigt?

Link 1: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Wave_packet_propagation_(phase_faster_than_group,_nondispersive).gif

Link2 (Abbildung 1): https://www.rp-photonics.com/group_velocity.html

Wenn ja, wie?