Physikalische Bedeutung des Drehimpulses

Physikalisch verstehe ich darunter den Impuls eines Objekts, das sich bei einer bestimmten Position um etwas dreht. Allerdings kann ich die Formel nicht physikalisch erklären. Warum multipliziert man den linearen Impuls mit dem Ort? Warum ist der Drehimpuls eine Funktion des Ortes?

1) - Drehimpuls ($L = rmv$)

Es ist ganz einfach: Sie haben in der anderen Frage den Begriff des linearen Impulses verstanden , jetzt müssen Sie ihn nur noch mit dem Begriff des Hebels verbinden .

Stellen Sie sich vor, dass Ball B derselbe Ball ist, der in der linearen Impulsfrage war$(m = 2 Kg)$der sich mit einer Geschwindigkeit von drei Metern pro Sekunde fortbewegte und einen Schwung von sechs Kilogramm Metern pro Sekunde hatte

Wir können uns vorstellen, dass es eine Linie in der Richtung hat, in der es sich bewegt, und einen hängenden Haken. Dieser Haken wird von einem Stift gefangen$F$. Was wird passieren?$B$beginnt sich um den Drehpunkt zu drehen$F$(Skizze links). Die Bewegungsrichtung ist senkrecht zum Radius (der Linie), daher wird der Winkel sein$90°$, und sein$\sin$wird sein$1$.

Stellen Sie sich ein anderes Szenario vor (Skizze rechts; dasselbe wie bei einem Hebel ) . Das ausgeübte Drehmoment hängt auch vom Radius ab, dem Abstand des Körpers vom Drehpunkt, der der Arm des Hebels ist. Die Größe des Drehmoments hängt von dem Wert von ab$r$. Ein Gewicht von$6 kg$wird ein Drehmoment von ausüben$12$ $Nm$im Abstand von$2$ $m$, und Sie werden das Gleichgewicht nur haben, wenn Sie (auf den anderen Arm) ein Gewicht von$6 Kg$bei$2 m$oder Gewicht von$12$ $Kg$bei$1 m$.

Wenn Sie das Konzept des Hebels verstehen, können Sie die physikalische Erklärung der Formel des Drehimpulses leicht nachvollziehen . Wenn B ($m = 2$) dreht sich gegen den Uhrzeigersinn um$v$=$3 m/s$(linear$momentum$=$6$) auf Distanz$2 m$vom Drehpunkt hat es einen Drehimpuls (6 * 2 =) 12 Kg * m ² /s). Wenn die Leitung nur von B hängen gewesen wäre$1 m$lang, die Größenordnung von$L$wäre (6 * 1) = 6 gewesen.

Ebenso, wenn ein anderer Körper A ($m$=$2$,$v$=$3$,$p$=$6$) auf dem anderen Arm im Uhrzeigersinn dreht, gibt es kein Gleichgewicht, obwohl Masse, Geschwindigkeit und linearer Impuls gleich sind; das gleiche würde passieren, wenn eine Kraft von$6N$wird angewendet bei$r$=$2m$und eine andere entgegengesetzte Kraft von$6N$wird angewendet bei$r$=$1m$. Beachten Sie, dass B einen Drehimpuls in Bezug auf F hatte, noch bevor es begann, sich entlang seiner gesamten Bahn um ihn zu drehen, und es war immer (p * r) =$12 Kg * m^2/s$.

2) - Definition von L

Ein Körper B mit Geschwindigkeit (und Impuls) hat einen potentiellen Drehimpuls L bezüglich/um jeden Punkt/Körper O, der nicht auf seiner Bahn liegt.

Die Größe von L ergibt sich aus der Multiplikation seines linearen Impulses (p = m*v) mit dem Abstand des Punktes O von der Trajektorie:$r$.

In der vollständigen Formel:$L = m * [v * sinλ * d]$, L erhält man durch Multiplizieren der Masse mit der Tangentialgeschwindigkeit $V_t = v * sinλ$mal Distanz$d$, aber$d * sinλ$ist immer gleich$r$

3) - Erhaltung des Drehimpulses

Der Winkelimpuls L bleibt erhalten, wenn kein externes Drehmoment auf das System ausgeübt wird, und diese Eigenschaft hilft Ihnen, die Bedeutung des Radius zu verstehen. Wenn Körper B durch eine Leine/Stange oder durch eine berührungslose Kraft (wie g) an O gebunden ist, beginnt er sich um ihn herum zu drehen und erhält den tatsächlichen Drehimpuls L.

Trifft B, während er sich um O dreht, auf einen ähnlichen Ball A ($m$=2,$v$= 0), B stoppt tot und A erhält dasselbe v/p/E und Potential L in Bezug auf Punkt F, wenn es mit der Kugel eines Pendels A kollidiert ($m$= 2,$r$= 2) es wird dasselbe v/p/L/E erhalten. Wenn die Linie / Stange des Pendels$r_p = k$, p bleibt erhalten, aber$L_p$wird werden$L \times \frac{k}{r}$.

Dies ist ein einfaches Beispiel, in dem der Körper als Punktmasse betrachtet wird, die sich auf dem Umfang dreht. Wenn die Masse entlang des Radius verteilt ist, müssen wir eine andere Formel anwenden$L = I * \omega$, wo$ω = v/r$und$I = m *r^2$. P ist nicht erhalten, aber KE und L sind es, auf diese Weise können wir das Ergebnis der Kollision berechnen. Ein einfaches Beispiel für die Erhaltung von L finden Sie hier

Das Besondere am Drehimpuls ist letztlich:

• Schau in den Himmel. Eine Reihe von physikalischen Gesetzen geht in diese Richtung.
• Schau nach Norden. Eine Reihe von physikalischen Gesetzen geht in diese Richtung.
• Schau nach Westen. Eine Reihe von physikalischen Gesetzen geht in diese Richtung.

Diese physikalischen Gesetze: Sie sind in alle Richtungen gleich. Immer wenn Sie eine Symmetrie wie diese finden, gibt es eine zugrunde liegende Erhaltungsgröße. Ein ähnliches Konzept gilt, wenn Sie eine Reise nach China, Proxima Centauri, in die Andromeda-Galaxie oder sogar noch weiter unternehmen. Hier sind die Gesetze der Physik unabhängig von der Übersetzung gleich. Was ist mit der Zeit? Blinzeln Sie mit den Augen und die Gesetze der Physik ändern sich nicht. Alter 80 Jahre und die Gesetze der Physik ändern sich nicht. Die Gesetze der Physik sind zeitlos.

Die Zeitlosigkeit der physikalischen Gesetze bedeutet, dass Energie eine Erhaltungsgröße ist. Die Translationsunabhängigkeit der physikalischen Gesetze bedeutet, dass der lineare Impuls eine Erhaltungsgröße ist. Schließlich bedeutet die Rotationsunabhängigkeit der physikalischen Gesetze, dass der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist. Dies sind alles Konsequenzen aus dem Satz von Noether . Es gibt eine Reihe weiterer Erhaltungsgrößen, die sich aus dem Satz von Noether ergeben, und dies hat sich als sehr wichtig für die Quantenmechanik herausgestellt. Dies ist offensichtlich auch für die klassische Mechanik von entscheidender Bedeutung. Der Satz von Noether erklärt genau, warum diese Erhaltungsgrößen erhalten bleiben.

Der Drehimpuls wäre ein ziemlich nutzloses Konzept, wenn der Drehimpuls keine Erhaltungsgröße in Abwesenheit externer Drehmomente wäre. Es ist eine Erhaltungsgröße dank der Rotationssymmetrie des Raums.

Warum hängt der Drehimpuls vom Ort ab?

Der Drehimpuls wird beispielsweise immer relativ zu einem Bezugspunkt definiert$\mathbf r_0$, (was oft, aber nicht unbedingt der Ursprung ist).

Ist das System bei Rotation um diesen Bezugspunkt invariant, so ist die Größe, die wir "Drehimpuls" nennen, bzgl$\mathbf r_0$" erhalten. (Beachte, dass wenn nur eine Drehung um eine bestimmte Achse das System unverändert lässt, nur diese Komponente des Drehimpulses erhalten bleibt).

Da der Drehimpuls also von einem Bezugspunkt abhängt, ist es nicht verwunderlich, dass der Drehimpuls explizit von der Position abhängt.

Wie funktioniert diese Drehimpulserhaltung?

Die abstrakte Antwort befasst sich mit dem Noether-Theorem und der Lagrange-Funktion des betrachteten Systems. Betrachten wir der Einfachheit halber ein einzelnes Punktteilchen, das sich auf einer geraden Linie bewegt.

Beachten Sie, dass selbst ein freies Teilchen, das sich auf einer geraden Linie bewegt, in Bezug auf bestimmte Bezugspunkte einen Drehimpuls ungleich Null hat. Tatsächlich ist der Drehimpuls nur dann Null, wenn der Impuls und die Verbindung zwischen dem Bezugspunkt parallel sind (dh der Bezugspunkt liegt auf der Bahn des Teilchens).

Satz von Noether für ein freies Teilchen unter Rotation

Lassen Sie uns dieses freie Teilchen verwenden, um zu sehen, wo diese Erhaltung liegt$\mathbf x\times \mathbf p$kommt von. Die Lagrangedichte ist hier nur die kinetische Energie. Wenn wir die Koordinaten um den Ursprung und entlang der festen Achse drehen$\mathbf n$durch den Winkel$\varphi$. Die kinetische Energie (die Lagrange-Funktion) sollte nicht vom Rotationswinkel abhängen .

Die gedrehten Positionen seien gegeben durch$\mathbf x'$. Die kinetische Energie ist$\frac 12 m \dot {\mathbf x'}^2(\varphi)$, also unsere Bedingung, von der die kinetische Energie unabhängig ist$\varphi$kann geschrieben werden als:

$$\frac {\mathrm d(m \dot {\mathbf x'}^2(\varphi))}{\mathrm d\varphi}= \mathbf p \frac{\mathrm d \dot {\mathbf x'}(\varphi)}{\mathrm d \varphi} =0 \,,$$

da auf das freie Teilchen ($\dot{\mathbf p}=0$), können wir dies schreiben als:

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\mathbf p \frac{\mathrm d {\mathbf x'}(\varphi)}{\mathrm d \varphi}\right) = 0\,.$$

Wie funktioniert$\mathbf x'$mit dem Winkel ändern? Werfen Sie einen Blick auf das Kapitel über unendlich kleine Drehungen und Sie sollten so etwas wie finden

$$\mathbf x' = \mathbf x + \varphi (\mathbf n \times \mathbf x)$$

Die Berechnung der Ableitung und das Einsetzen in die obige Gleichung führt zu:

$$\frac {d}{dt}\left(\mathbf p\frac {d({\mathbf x + \varphi (\mathbf n \times \mathbf x)})}{d \mathbf \varphi}\right) = \frac {d}{dt}\mathbf p \cdot (\mathbf n \times \mathbf x) = \frac {d}{dt}\mathbf n \cdot (\mathbf x \times \mathbf p)=0$$

Was uns sagt, dass die$\mathbf n$-Teil von$\mathbf x \times \mathbf p$ändert sich im Laufe der Zeit nicht (dh sie bleibt erhalten). In diesem Fall gilt dies für beliebige Achsen, was bedeutet, dass der Drehimpuls$\mathbf L = \mathbf x \times \mathbf p$wird konserviert.

Stellen Sie sich etwas wie eine Tür vor. Ein Stück Holz mit einem Scharnier an einer Kante. Vielleicht ist es einen Meter hoch und drei Meter lang.

Nehmen wir nun an, dass Sie versuchen, die Tür an der Stelle zu halten, die einen halben Meter vom Scharnier entfernt ist, während jemand anderes einen Baseball auf die andere Seite der Tür wirft.

Wenn der Baseball das Scharnier trifft, müssen Sie überhaupt nicht drücken.

Wenn der Baseball direkt vor der Stelle auftrifft, an der du die Tür aufdrückst, musst du ordentlich drücken.

Wenn der Baseball direkt auf die drei Meter lange Markierung der Tür trifft, die vom Scharnier entfernt ist, müssen Sie viel stärker drücken. (Denken Sie daran, Ihren Finger in einer Tür eingeklemmt zu bekommen)

Obwohl der Schwung des Baseballs in allen drei Fällen gleich war, wurde im ersten Fall (if$r=0$entspricht dem Scharnier) mussten Sie kein Drehmoment aufbringen$\cdot$Zeit. Beim zweiten musste man ein kleines Drehmoment aufbringen$\cdot$Zeit. Beim dritten musste man ein großes Drehmoment aufbringen$\cdot$Zeit.

Dies kann mathematisch so ausgedrückt werden, dass der Drehimpuls des Systems aufgehoben wird. Natürlich werden die Dinge weniger intuitiv, wenn Sie das Scharnier nicht als Ihren Ursprung auswählen, also müssen Sie arbeiten und etwas rechnen, um zu beweisen, dass die physikalischen Ergebnisse gleich sind. Dies ist jedoch wirklich genauso intuitiv wie das lineare Moment, das vom Referenzrahmen abhängt (indem Sie das System in einem Rahmen mit einer anderen Geschwindigkeit betrachten) und meiner Meinung nach meilenweit intuitiver als die Energie, die von Ihrem Referenzrahmen abhängt!

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Bewegung eines Teilchens zu beschreiben. In zwei Dimensionen könnten Sie beispielsweise kartesisch verwenden$x,y$Koordinaten oder polar$r,\varphi$Koordinaten.

Jeder Koordinate können wir eine „Bewegungsgröße“ oder einen „ verallgemeinerten Impuls “ zuordnen. Wenn eine gegebene Koordinate einer Symmetrie des Systems entspricht, ist die entsprechende Größe nach dem Satz von Noether erhalten .

Weil die Physik „hier“ genauso funktioniert wie „drüben“ (d.h. sich verändern$x$oder$y$), bleibt der lineare Impuls erhalten. Da die Physik auch unabhängig von der Ausrichtung des Systems (dh sich ändernd) auf die gleiche Weise funktioniert$\varphi$), ist auch der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße.

Die radiale Komponente entspricht jedoch keiner Symmetrie (Änderung der$r$Koordinaten führt zu einer Verzerrung), so dass der Radialimpuls im Allgemeinen nicht erhalten bleibt.

Nun zurück zu deiner eigentlichen Frage:

Warumtutist der Drehimpulsisteine Funktion der Position?

Intuitiv trägt die Position zum Drehimpuls bei, da eine Änderung der Winkelkoordinate je nach radialer Entfernung vom Ursprung zu ganz unterschiedlichen „Bewegungsbeträgen“ führt.

Dies ist eine abstrakte Antwort, aber ich finde sie äußerst hilfreich für die Frage nach der "grundlegenden Natur", nach der Sie zu suchen scheinen. Denken Sie an zwei Dinge: Noethers Theorem und ein Gedankenexperiment "Was wäre, wenn wir uns als blinde, aber kluge Wesen entwickelt hätten?".

Wie in David Hammens Antwort ist es der Satz von Noether , der uns sagen würde, dass wir, wenn unsere physikalischen Gesetze in Bezug auf Drehungen unserer Koordinatenachsen unveränderlich sind, immer noch auf die Existenz von drei Erhaltungsgrößen schließen würden. Technisch gesehen, wenn Sie Ihre Gesetze so aufschreiben, dass sie den Weg der geringsten Wirkung durch Minimieren einer Lagrange-Funktion definieren, sagt Ihnen der Satz von Noether, dass es immer eine konservierte Größe für jede "kontinuierliche Symmetrie" der Largrange-Funktion gibt - dhjede Transformation, die aus kleineren Transformationen der gleichen Art durch Addition wie reelle Zahlen gemacht werden kann (denken Sie an das Addieren von Winkeln: zwei Drehungen um eine Achse summieren sich zu einer Drehung und Sie addieren die Winkel) und lassen die Lagrange-Funktion unverändert. Unsere Gesetze sind in der Tat unabhängig von Drehungen der Koordinatenachsen, denn letztere sind nur ein Teil unserer Beschreibung der Physik, nicht der Physik selbst. Dies sind kopernikanische Vorstellungen, und der Satz von Noether gibt tatsächlich die Formel an, die Sie für AM angeben.

Wie David betont, ist es die Erhaltung, die AM nützlich macht, nicht die Idee, dass sich etwas dreht. Dies sollten Sie im Hinterkopf behalten, wenn Sie mit der Untersuchung des Spins von Quantenteilchen wie Elektronen fortfahren. Wir neigen dazu, uns sehr zu überreizen, wenn wir versuchen, uns vorzustellen, dass sich diese Dinge drehen, tatsächlich lehnte Wolfgang Pauli die Idee des Elektronenspins anfangs rundweg ab, weil ein kleiner Ball sich mit weit über der Lichtgeschwindigkeit drehender Grenze drehen müsste, um den beobachteten Spin von zu erklären die Elektronen. Die Vorstellung von „etwas, das sich dreht“, wie wir es uns intuitiv vorstellen, würde unsere blinden Wesen nicht behindern, die nichtsdestotrotz die Existenz von AM durch Noethers Theorem ableiten würden: „Drehen“ ist eine bestimmte visuelle Erfahrung, die zufällig hilfreich ist, um die Bewegung von etwas dagegen zu erkennen seine Umgebung.starkes visuelles Erlebnis - es ist entscheidend für das Überleben in unserer Welt sowohl von Raub- als auch von Beutetieren, und wir sind beides. Nützlich für das Überleben unserer evolutionären Vorfahren, aber nicht allzu nützlich für die grundlegende moderne Physik: Es brachte sogar den großen Wolfgang Pauli zum Stolpern.

Sehen Sie sich hier das Video an

Ich hoffe, wenn Sie sehen, wie sich der Mann dreht und die Gewichte bewegt (ändert$r$) Sie können sehen, dass$r$ist wichtig.

Denken Sie daran$r$ist der Abstand von jedem Teil eines rotierenden Objekts zur Rotationsachse (was nicht genau der Position entspricht)

Der Drehimpuls ist ein analoger Begriff zum Impuls p = mv, wobei m die Masse des Körpers und v seine Geschwindigkeit ist.

Sehen Sie nun, woher der Drehimpuls kommt. Stellen Sie sich der Einfachheit halber einen Körper vor, der sich auf einer Kreisbahn um eine Achse bewegt, und sei ω die Winkelgeschwindigkeit, dh der Winkel, um den sich das Objekt in einer Zeiteinheit dreht. Die Beziehung zwischen Linear- und Winkelgeschwindigkeit ist

$$v = \omega r. \tag{1}$$

Die Bewegungsenergie des Objekts ist$E = (1/2)mv^2$, und mit (1),

$$E = \frac{1}{2}mr^2 \omega^2.\tag{2}$$

Dann ist es bequem, eine Größe namens Trägheitsmoment zu definieren,$I$

$$I = mr^2, \tag{3}$$

und erhalten eine Formel, in der wir die Winkel- und nicht die Lineargeschwindigkeit verwenden

$$E = \frac{1}{2}I\omega^2.\tag{4}$$

Wenn wir mit dem Konzept des Trägheitsimpulses fortfahren, erhalten wir einen Drehimpuls ,$L$

$$L = I\omega,\tag{5}$$

ähnlich mit dem linearen Impuls$p = mv$, dh als$\omega$ersetzt$v$,$I$ersetzt$m$. In dieser Formel ersetzen$I$aus (3),

$$L = mr^2 \omega = mvr.\tag{6}$$

Dies ist die Antwort auf Ihre Frage, warum wir mit multiplizieren $r$. Aber was ich oben gesagt habe, gilt, wenn die Bewegung kreisförmig ist. Für eine allgemeinere Bewegung

$$\vec{L} = m\vec{v} \times \vec{r},\tag{7}$$

wo$\vec{L}$,$\vec{v}$, und$\vec{r}$sind Vektoren, und$\times$gibt das Vektorprodukt an.

Viel Glück

Vielleicht kann man das so sehen:

Der Betrag einer Vektormultiplikation ist wie folgt:

$$|\mathbf{L}|=|\mathbf{r}\times\mathbf{p}|=rp\sin{\hat{rp}}$$

wo Sie das Hauptmerkmal des Drehimpulses sehen können: Position und linearer Impuls der betrachteten Materie müssen beide proportional zu sein$L$und umgekehrt zueinander in Beziehung stehen.

So beschreiben Sie garantiert Phänomene wie die Rotation des tanzenden Skaters: Wenn die Arme an den Körper gezogen werden, nimmt die Rotation erhaltend zu$\mathbf{L}$.