Quantisierung des elektrostatischen E⃗ E→\vec E-Feldes?

Bei der Standardquantisierung des freien elektromagnetischen Feldes erfüllen die Feldoperatoren die (zeitgleichen) Kommutierungsrelationen

$$[E_i(\mathbf{x}, t), B_j(\mathbf{y}, t)] = -i \hbar \epsilon_{ijk} \partial_k \delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$$ .

Siehe zum Beispiel den folgenden Artikel von Stewart.

Dies impliziert die Existenz einer Unschärferelation:

$$\Delta E_f \Delta B_g \le \frac{\hbar}{2} \int d^3x \epsilon_{ijk} f^i \partial_k g^j$$

Wo$E_f$,$B_g$sind die verschmierten Felder durch die vektorwertigen Funktionen$f^i$,$g^j$bzw ($E_f = \int d^3x f^i((\mathbf{x}) E_i(\mathbf{x})$). Wir können davon ausgehen, dass diese Funktionen kompakt unterstützt werden, um die Konvergenz des Integrals sicherzustellen.

Dies bedeutet, dass für fast alle Auswahlmöglichkeiten der Funktionen$f^i$,$g^j$, gibt es eine unveränderliche Unschärferelation zwischen den Komponenten der elektrischen und magnetischen Felder. Somit würde ein verschwindendes Magnetfeld unendliche Schwankungen des elektrischen Feldes implizieren.

Als Konsequenz würde die Elektrostatik mit verschwindenden Magnetfeldern eine unendliche Unsicherheit im elektrischen Feld implizieren. Daher kann die Elektrostatik nicht quantisiert werden.

Lassen Sie mich also versuchen, Ihre Frage ein wenig umzuformulieren. Der "elektrostatische" Fall in beispielsweise der Plasmaphysik bezieht sich auf den Fall, wenn$|v| \ll c$, so dass die Kopplung an das Vektorpotential$\vec{A}$ist vernachlässigbar und wir können die reine Situation des skalaren Potentials betrachten$\phi$. Wir können VOLLSTÄNDIG eine Lagrange-Quantendichte dafür schreiben als

$$\begin{equation} \mathcal{L} = \underbrace{i \psi^* \partial_t \psi + \frac{1}{2m}(\nabla \psi^*)\cdot (\nabla \psi)}_{\textrm{Schrodinger equation}} + \underbrace{e \psi^* \psi \phi}_{\textrm{coupling}} + \underbrace{\frac{1}{8 \pi}(\nabla \phi)\cdot (\nabla \phi)}_{\textrm{Maxwell stress tensor}} \end{equation}$$ Ich tippe dies aus dem Gedächtnis, also bin ich mir nicht sicher, ob ich jedes einzelne Zeichen und jede Konstante richtig habe, aber Sie können sehen, dass Sie sicherlich ein quantenmasseloses reales Skalarfeld haben können $\phi$das wie das skalare Potential in der klassischen Mechanik wirkt, aber in einer Quantenwirkung ist und daher kanonisch quantisiert werden kann.