Querschnitte eines in einen Zylinder eingeschriebenen Kegels

Das Problem:

Stellen Sie sich einen geraden Kreiskegel vor, der in einen geraden Kreiszylinder eingeschrieben ist. In jedem Querschnitt des Zylinders, der durch seine Achse verläuft, liegen 50 % der Fläche des resultierenden Rechtecks ​​innerhalb des dreieckigen Querschnitts des Kegels, wie in diesem Bild:

Bild

Ich habe viele Beweise dafür gesehen und mich davon überzeugen lassen, dass ein solcher Kegel genau 1/3 des Volumens des Zylinders einnimmt.

Dies widerspricht jedoch meiner (zutiefst amateurhaften) Intuition in Bezug auf diesen Querschnitt. Offensichtlich wären alle unendlich vielen Querschnitte, die man um die Achse drehend nehmen könnte, identisch, mit 50% ihrer Fläche innerhalb des Kegels, was zu dem Gefühl führt, dass der Kegel die Hälfte des Volumens des Zylinders einnimmt.

Die Frage:

Warum ist dies ein schlechter Ansatz für dieses Problem, und wie führt mich meine Intuition in die Irre?

Ich muss nicht davon überzeugt werden, dass der Kegel 1/3 des Volumens des Zylinders einnimmt, ich möchte nur verstehen, wo und warum mein Ansatz herunterfällt.

Einige Vorbehalte/Gedanken:

Ich bin (Überraschung Überraschung) kein Mathematiker, obwohl ich ein Enthusiast bin! Ich bin nicht gut mit Gleichungen und Formeln, daher wäre eine literarische Antwort wünschenswert (wenn überhaupt möglich).

Ich interessiere mich am meisten für Mengen- und Zahlentheorien, und diese haben zweifellos meine Intuition zu diesem Problem geleitet.

Ich verstehe den Ansatz von Calculus für dieses Problem mithilfe der Disc-Integration.

Ich spüre, dass dieses Missverständnis mit der Idee zusammenhängt, dass meine vorgeschlagenen Querschnitte sich irgendwie näher an der Achse "überlappen", aber sie sind zweidimensional, also wie könnte das sein? Ich kann sehen, dass jeder Querschnitt alle Punkte entlang der Zylinderachse enthalten würde, aber das macht fast keine Elemente der Menge von Punkten aus, die in jedem Querschnitt des Kegels enthalten sind.

Ist dies ein Fehler, wenn man versucht, das dreidimensionale Volumen nur anhand zweidimensionaler Querschnitte zu erahnen? Ist das nur Infinity-Zeug, das wieder nicht hilfreich ist? Helfen Sie mir, Stack Exchange!

Willkommen bei MSE! <> Stellen Sie sich kurz ein dünnes vertikales Rechteck im Querschnitt vor und beachten Sie, dass das Volumen, das es bei Drehung um die Achse überstreicht, nicht nur von seiner Höhe, sondern auch von seinem Abstand von der Achse abhängt . Der dreieckige Querschnitt ist in der Nähe der Achse groß und seine Höhe fällt linear ab, wenn wir uns von der Achse entfernen, aber die Wirkung dieses "linearen Abfalls der Höhe" auf das ausgetragene Volumen ist nicht linear.

Antworten (2)

Stellen Sie sich vor, Sie teilen zuerst den Zylinder in viele dünne kreisförmige Scheiben und schneiden dann jede kreisförmige Scheibe wie in diesem Diagramm gezeigt:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Das Ergebnis ist, dass der Zylinder in viele winzige Stücke unterschiedlicher Größe mit einigen geraden und einigen leicht abgerundeten Seiten unterteilt ist.

In jeder Ebene durch die Mittelachse ist der Querschnitt des Kegels halb so groß wie der Querschnitt des Zylinders. Dies ist im Wesentlichen dasselbe wie die Beobachtung, dass ungefähr die Hälfte der winzigen Stücke in dem Kegel enthalten sein wird. (Die Annäherung wird immer besser, je kleiner die Stücke werden.)

Die Ebenen durch die Mittelachse können jedoch nicht "sehen", dass die äußeren winzigen Teile größer sind als die inneren winzigen Teile. (Jedes winzige Stück hat einen identischen Querschnitt.) Der Kegel greift viele der inneren Stücke und wenige der äußeren Stücke. Obwohl es die Hälfte der winzigen Stücke enthält, machen diese Stücke nur ein Drittel des Volumens aus.

Nehmen wir für ein konkretes Beispiel an, der Zylinder hat eine Höhe 1 und Radius 1.

Wenn Sie Ihre Querschnitte entlang der Achse nehmen und sie verwenden, um die relativen Volumina von Kegel und Zylinder abzuschätzen, gehen Sie davon aus, dass alle Teile des Querschnitts gleichermaßen repräsentativ für die Volumina von Kegel und Zylinder sind.

Dies ist nicht korrekt. Die Fläche des Querschnitts in der Ferne 0,01 der Achse (ein Streifen der Breite 0,02 in der Mitte des Rechtecks) ist gleich der Fläche des Querschnitts in der Entfernung 0,01 der Seiten parallel zur Achse (ein Paar Streifen der Breite 0,01 an den Rändern des Rechtecks ​​herunterlaufen). Aber das Volumen des Kegels darin 0,01 der Achse ist viel kleiner als das Volumen des Kegels darin 0,01 der gekrümmten Außenfläche des Zylinders.

Ein repräsentativerer "Querschnitt" wäre ein Keil mit einer (kleinen, aber nicht null) Dicke an der äußeren gekrümmten Oberfläche des Zylinders, der sich zu einer scharfen (Null-Dicke) Kante an der Achse verjüngt. Dieser Keil kann durch ein Polyeder angenähert werden, bei dem der vom Kegel eingenommene Teil ein Tetraeder ist. Der Tetraeder kann gezeigt werden 1 / 3 das Volumen des Keils.

Querschnitte eines in einen Zylinder eingeschriebenen Kegels
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