Rad versus Kugel: Lineares Reisen entlang einer Spur

Gehen Sie von folgendem aus:

  • Ein reifenähnliches Rad und eine Kugel haben beide den Durchmesser d und die Masse m
  • Sie bestehen beide aus dem gleichen Material
  • Sie ruhen beide am Scheitelpunkt einer geneigten Bahn
  • Auf beide Objekte wird die gleiche Kraft ausgeübt, um sie aus der Ruhe in die Bergabbewegung zu versetzen
  • Das Rad und die Kugel bewegen sich linear

Wie wirken sich die Formen und nur die Formen dieser beiden Objekte auf ihre Geschwindigkeit, Beschleunigung und zurückgelegte Strecke aus? Natürlich wird sich die Oberfläche der Aufstandsfläche stark unterscheiden und daher wird der Reifen wahrscheinlich mehr Reibung erfahren, aber ich bin gespannt, ob die Formen einen Einfluss auf ihren Federweg haben.

Fragen zur Spezifizierung des Problems

„ Rollen sie ohne zu rutschen? “ – fqq

Ich würde sagen, dass die Antwort wahrscheinlich in der Lösung enthalten ist. Mit anderen Worten, ich weiß es nicht! Macht die Form einen Unterschied?

Rollen sie ohne zu rutschen?
@fqq Gute Frage. Ich habe es als Teil dieser Antwort hinzugefügt; Danke.
en.wikipedia.org/wiki/… Siehe die niedliche Grafik rechts.

Antworten (2)

Geht man von einem Rollen ohne Rutschen aus, lässt sich dies leicht durch Energy Conservation lösen.

Nehmen wir an, die Steigung hat eine Höhe H . Während der Fahrt die Steigung hinunter, potentielle Energie U wird dann in kinetische Energie umgewandelt K :

K = U

K = M G H

Die kinetische Energie K ist eine Kombination aus Translations- und Rotationsenergie:

1 2 M v 2 + 1 2 ICH ω 2 = M G H

Mit ICH das Trägheitsmoment des rollenden Objekts um seine Rotationsachse.

Rollen ohne Rutschen bedeutet:

v = ω R
Beachten Sie jedoch, dass ein Rad und eine Kugel sogar gleich sind R Und M , haben nicht das gleiche Trägheitsmoment ICH . Sei 1 das Rad und 2 die Kugel, dann gilt:

M G H = 1 2 M v 1 2 + 1 2 M ICH 1 R 2 v 1 2
Und:
M G H = 1 2 M v 2 2 + 1 2 M ICH 2 R 2 v 2 2

Einfügen der bzw. Werte von ICH 1 Und ICH 2 dann lässt sich rechnen v 1 Und v 2 . Es stellt sich heraus, dass v 1 < v 2 , weil ein Rad unter sonst gleichen Bedingungen ein höheres Trägheitsmoment hat als eine Kugel.

Wikipedia hat eine schöne Grafik, die dieses Problem veranschaulicht.

Die Masse des Rades ist weiter von der Rotationsachse entfernt, daher ist das Trägheitsmoment für das Rad größer. Es dreht sich also bei gleicher Rotationsenergie langsamer und daher rollt die Kugel schneller den Hang hinunter als das Rad.

Rad versus Kugel: Lineares Reisen entlang einer Spur
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