Endgeschwindigkeit und zurückgelegte Strecke mit konstanter, aber begrenzter Leistung

Question

Endgeschwindigkeit und zurückgelegte Strecke mit konstanter, aber begrenzter Leistung

JayDoe

Ich versuche zu modellieren, wie weit ein Objekt im Laufe der Zeit entsprechend einer Kraft, die durch Reibung widerstanden wird, bewegt werden kann.

Also vielleicht ... beschleunigt ein Objekt mit einer bestimmten Geschwindigkeit, bis die bereitgestellte Kraft die Reibung (in Bezug auf die Masse des Objekts) nicht mehr überwinden kann, wodurch sich das Objekt mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt, solange die Kraft noch angewendet wird (und langsam aufgrund von Reibung nach unten, sobald keine Kraft mehr darauf wirkt). Beantwortung der Fragen: Wie ist die Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt? Nach einem bestimmten Zeitintervall sollten Geschwindigkeit und Beschleunigung nach diesen Kriterien konstant sein. Wie wird die Endgeschwindigkeit in dieser Situation bestimmt?

Ein Beispiel aus der Praxis: Ein Auto kann im Laufe der Zeit bis zu einer bestimmten Höchstgeschwindigkeit beschleunigen, bei der die Kraft des Autos die Reibungs-/Widerstandskraft nicht überwinden kann.

Alle Beispiele, die ich gefunden habe, beziehen sich auf den Luftwiderstand, daher skaliert der Widerstand mit der Geschwindigkeit, obwohl ich mir nicht sicher bin, wie dies in einem anderen Fall gelten würde.

John Alexiou

Ist die Reibung konstant, eine Funktion der Position oder eine Funktion der Geschwindigkeit? Die Antwort hängt davon ab.

John Alexiou

Siehe physical.stackexchange.com/a/15620/392 zur Behandlung verschiedener Fälle.

Antworten (3)

Endgeschwindigkeit und zurückgelegte Strecke mit konstanter, aber begrenzter Leistung

Ist die Reibung konstant, eine Funktion der Position oder eine Funktion der Geschwindigkeit? Die Antwort hängt davon ab.
Siehe physical.stackexchange.com/a/15620/392 zur Behandlung verschiedener Fälle.

Gert · Answer 1

Wenn wir eine Kraft anwenden $F$ zu einer Masse $m$ und eine Reibungskraft (Widerstand) $F_d$ wirkt auch darauf das Kraftdiagramm wird zu:

Mit $a$ die Beschleunigung, die das Objekt erfährt, die Bewegungsgleichung wird zu:

$F=ma+F_d$ .

Wenn sich die Masse nach rechts bewegt, sagen wir für eine infinitesimale Entfernung $dx$ , ein unendlich kleiner Arbeitsaufwand $dW$ durchgeführt wird $m$ von $F$ :

$dW=(ma+F_d)dx$ .

Wenn wir beide Seiten mit teilen $dt$ Dann $\frac{dW}{dt}=P$ mit $P$ die Leistung, in diesem Fall konstant. Also haben wir:

$P=\frac{dW}{dt}=(ma+F_d)\frac{dx}{dt}$ und per definitionem $\frac{dx}{dt}=v$ , So:

$P=(ma+F_d)v$ .

Jetzt stellt sich die Frage, was ist $F_d$ ?

Das wissen wir im Allgemeinen $F_d \propto v^n$ , Wo $v$ ist die Geschwindigkeit und $n$ ist irgendein Exponent. Zum Beispiel im Fall Navier Stokes Drag (viskoser Widerstand einer Flüssigkeit an einem kugelförmigen Objekt), $n=1$ .

Für den Fall von Luft ziehen Sie den Exponenten $n=2$ wird allgemein angenommen.

Lassen Sie uns jedoch den Fall untersuchen $n=1$ , so dass $F_d=kv$ , mit $k$ eine Proportionalitätskonstante, also erhalten wir:

$P=(ma+kv)v$ .

Mit $a=\frac{dv}{dt}$ , wir bekommen:

$P=mv\frac{dv}{dt}+kv^2$ , eine Differentialgleichung, die durch Variablen getrennt werden kann, um zu ergeben:

$m \frac{v}{P-kv^2}dv=dt$ .

Diese kann zwischen integriert werden $t=0, v=0$ Und $t, v$ und Ausbeuten nach Aufarbeitung:

$\Large{v=\sqrt{\frac{P}{k}(1-e^{-\frac{2kt}{m}})}}$ .

Für $t \to +\infty$ der Exponentialterm $e^{-\frac{2kt}{m}} \to 0$ , so dass die Endgeschwindigkeit $v_t$ erreicht wird für $t = +\infty$ und wird gegeben von:

$\large{v_t=\sqrt{\frac{P}{k}}}$ .

Da wird zB die Endgeschwindigkeit nur für erreicht $t = \infty$ , es wird auch nur für erreicht $x = \infty$ .

Die allgemeine Form der $(v,t)$ Funktion ist wie folgt, mit $v_t$ nur asymptotisch erreicht:

So wie ich das verstehe, gibt es keine Endgeschwindigkeit, weil wir von einem linearen Luftwiderstand ausgehen, der den exponentiellen Geschwindigkeitsanstieg aufgrund der Beschleunigung niemals ausgleichen kann, was beispielsweise dem Luftwiderstand (n = 2) gegenübersteht, bei dem Sie schließlich einen haben können Gleichgewichtspunkt, wo der Luftwiderstand die Masse ausgleicht? Ist das korrekt?
@JayDoe: Hallo. Die Beschleunigung geht „ewig“ weiter, angetrieben von der Kraft $P$ , Im Falle $F_d=kv$ . Offensichtlich für einen Fall $F_d=kv^2$ Der Luftwiderstand ist höher, aber ich würde auch erwarten, dass dies zu einer fortgesetzten Beschleunigung führt, aber die Beschleunigung wird natürlich langsamer sein. Der Fall $F_d=kv^2$ ist aber mathematisch viel schwerer zu lösen.

Xiaodong-Qi · Answer 2

Dies ist möglicherweise nicht die ultimative Antwort, da ich die quantitativen Beziehungen zwischen Variablen nicht kenne. Aber ich kann folgendes sagen:

Die Endgeschwindigkeit wird bestimmt durch die Leistung ( $P$ ) des Autos (oder anderer Objekte, nehmen wir zum Beispiel Auto) und der Reibung ( $\mathbf{f}$ ). Nun das

P = v \cdot F

$P=\mathbf{v}\cdot \mathbf{f}$ Dies bedeutet, dass die gesamte Kraft des Autos verwendet wird, um die Reibung zu überwinden, um sich mit konstanter Geschwindigkeit fortzubewegen. Sobald Sie die beiden Parameter kennen, können Sie die Geschwindigkeit erhalten

v

$\mathbf{v}$ leicht.

Die Beschleunigung kann aus der Funktion von berechnet werden $\mathbf{f}$ im Laufe der Zeit und die Masse des Autos ( $m$ ) von

A (T) = (\frac{P}{v} e_{v} - F) / M,

$\mathbf{a}(t)=\left(\frac{P}{v}\mathbf{e}_v-\mathbf{f}\right)/m,$ wo Sie wissen sollten, wie die Reibung mit Geschwindigkeit und Position zusammenhängt.

e_{v}

$\mathbf{e}_v$ ist der Richtungsvektor der Geschwindigkeit

v

$\mathbf{v}$ zum Zeitpunkt

t

$t$ .

Die Position des Autos ist nur ein Zeitintegral der Geschwindigkeit, wobei die Geschwindigkeit nur das Zeitintegral der Beschleunigung ist. Sie können sie leicht berechnen, wenn Sie den Rest der Beziehungen kennen – insbesondere, wie die Reibung mit der Geschwindigkeit zusammenhängt und so weiter. Möglicherweise erhalten Sie eine Reihe von Gleichungen, um das Problem vollständig zu lösen.

Was bedeutet das „v“ in der Beschleunigungsformel für „P/v“? Wenn es Geschwindigkeit ist, würde diese Formel nicht vereinfacht zu: a(t) = (f*e_v-f) / m ?? Also die "v"-Komponente selbst vollständig negieren? Stellen Sie Reibung (f) auch als Reibungsgröße, Reibungskoeffizient, Größe der Normalkraft oder etwas ganz anderes dar?
Sorry für die Verwirrung. Die Bedingung, dass $\mathbf{f}=\frac{P}{v}\mathbf{e}_v$ ist nur gültig, wenn sich das Objekt mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegt, wobei $\mathbf{f}$ ist die Reibungskraft, $\frac{P}{v}\mathbf{e}_v$ ist die treibende Kraft, die vom Motor des Objekts angetrieben wird, und $\mathbf{v}=v\mathbf{e}_v$ ist die Geschwindigkeit mit Amplitude $v$ . Zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$ , der Nettowert von $(\frac{P}{v}\mathbf{e}_v-\mathbf{f})$ liefert die Nettokraft auf das Objekt.

John Alexiou · Answer 3

Hier sind einige einfache Fälle, die von Wie bekomme ich Abstand, wenn die Beschleunigung nicht konstant ist?

Konstante Kraft $P$ , Konstante Reibung $F$ $\begin{aligned} A (v) & = \frac{P}{M v} - \frac{F}{M} = \frac{P}{M} (\frac{1}{v} - \frac{1}{v_{F ich N A l}}) \\ v_{F ich N A l} & = \frac{P}{F} \\ T = \int_{v_{1}}^{v} \frac{1}{A (v)} D v & = \frac{M v_{F ich N A l}^{2}}{P} \ln (\frac{v_{1} - v_{F ich N A l}}{v - v_{F ich N A l}}) - \frac{M v_{F ich N A l} (v - v_{1})}{P} \end{aligned}$ $\begin{align} a(v) & = \frac{P}{m v} - \frac{F}{m} = \frac{P}{m} \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v_{final}}\right) \\ v_{final} &= \frac{P}{F} \\ t = \int \limits_{v_1}^v \frac{1}{a(v)}\,{\rm d}v &= \frac{m v_{final}^2}{P} \ln \left( \frac{v_1-v_{final}}{v-v_{final}} \right) - \frac{m v_{final}(v-v_1)}{P} \end{align}$
Konstante Kraft $P$ , Lineare Reibung $F=\alpha v$ $\begin{aligned} A (v) & = \frac{P}{M v} - \frac{a v}{M} = \frac{P}{M} (\frac{1}{v} - \frac{v}{v_{F ich N A l}^{2}}) \\ v_{F ich N A l} & = \sqrt{\frac{P}{a}} \\ T = \int_{v_{1}}^{v} \frac{1}{A (v)} D v & = \frac{M v_{F ich N A l}^{2}}{2 P} \ln (\frac{v_{1}^{2} - v_{F ich N A l}^{2}}{v^{2} - v_{F ich N A l}^{2}}) \end{aligned}$ $\begin{align} a(v) & = \frac{P}{m v} - \frac{\alpha v}{m} = \frac{P}{m} \left( \frac{1}{v} - \frac{v}{v_{final}^2} \right) \\ v_{final} & = \sqrt{\frac{P}{\alpha}} \\ t = \int \limits_{v_1}^v \frac{1}{a(v)}\,{\rm d}v & = \frac{m v_{final}^2}{2 P} \ln \left( \frac{v_1^2-v_{final}^2}{v^2-v_{final}^2} \right) \end{align}$
Konstante Kraft $P$ , Luftwiderstand $F=\beta v^2$ $\begin{aligned} A (v) & = \frac{P}{M v} - \frac{β v^{2}}{M} = \frac{P}{M} (\frac{1}{v} - \frac{v^{2}}{v_{F ich N A l}^{3}}) \\ v_{F ich N A l} & = \sqrt[3]{\frac{P}{β}} \\ X = \int_{v_{1}}^{v} \frac{v}{A (v)} D v & = \frac{M v_{F ich N A l}^{3}}{3 P} \ln (\frac{v_{F ich N A l}^{3} - v_{1}^{3}}{v_{F ich N A l}^{3} - v^{3}}) \end{aligned}$ $\begin{aligned} a(v) & = \frac{P}{m v} - \frac{\beta v^2}{m} = \frac{P}{m} \left( \frac{1}{v} - \frac{v^2}{v_{final}^3} \right) \\ v_{final} &= \sqrt[3]{\frac{P}{\beta}} \\ x = \int \limits_{v_1}^v \frac{v}{a(v)}\,{\rm d}v & = \frac{m v_{final}^3}{3 P} \ln \left( \frac{v_{final}^3-v_1^3}{v_{final}^3-v^3} \right) \end{aligned}$

Das Geschwindigkeitsprofil ist zu komplex, als dass der letzte Fall in diese Antwort aufgenommen werden könnte. Sie können Wolfram Alpha gerne verwenden, um die Integrale selbst zu lösen.

Endgeschwindigkeit und zurückgelegte Strecke mit konstanter, aber begrenzter Leistung

JayDoe

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Gert

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Gert

Xiaodong-Qi

JayDoe

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John Alexiou

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