Reibungskräfte und der Virialsatz

Question

Reibungskräfte und der Virialsatz

Furchtlose Jungfrau

Stellen Sie sich ein System vor, bei dem die auf das System wirkende Gesamtkraft aus konservativen Kräften besteht $F'$ und Reibungskräfte $f^i$ , Wo $f^i$ hängt von der Geschwindigkeit ab. Es soll gezeigt werden, dass für ein solches System der Virialsatz in der Form gilt

\begin{matrix} (1) & \bar{T} = - \frac{1}{2} \sum \bar{{F_{ich}}^{'} \cdot R_{ich}} . \end{matrix}

$\overline{T}~=~-\frac{1}{2}\sum\overline{{F_i}'\cdot r_i}. \tag{1}$

Ich habe eine Menge definiert

\begin{matrix} (2) & G = \sum_{ich} P_{ich} \cdot R_{ich} . \end{matrix}

$G=\sum_i p_i\cdot r_i. \tag{2}$ Die Gesamtkraft auf das System

\begin{matrix} (3) & \dot{P_{ich}} = F = F_{ich}^{'} + F_{ich} . \end{matrix}

$\dot{p_i}=F=F_i'+f_i.\tag{3}$

Unter Zeitableitung von $G$ und Zeitmittelung über Grenze $0$ Zu $\tau$ . Wenn der Zeitraum als zu groß oder periodisch angenommen wird, wird der Zeitdurchschnitt von $\frac{dG}{dt}$ verschwindet. Um zu zeigen, dass der Virialsatz gilt, muss ich nur beweisen, dass der zeitliche Mittelwert von $\sum{f_i.\dot{r_i}}$ über einen Zeitraum, der ins Unendliche geht oder das System periodisch ist $\tau$ ist Null.

dh,

\begin{matrix} (4) & \frac{1}{τ} \int_{0}^{τ} F_{ich} (\dot{R_{ich}}) . \dot{R_{ich}} D T \end{matrix}

$\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}{f_i(\dot{r_i})}.\dot{r_i}dt\tag{4}$ ist Null in der Grenze

τ \to \infty

$\tau\to\infty$ oder

τ

$\tau$ ist periodisch. Aber wie kann ich es beweisen. Für den einfachen Fall, wenn ich nehme

f_{i} (\dot{r_{i}}) = {\dot{r}}_{i}

$f_i(\dot{r_i})=\dot{r}_i$ , also wird das Integral zu

\begin{matrix} (5) & \frac{1}{τ} \int_{0}^{τ} {\dot{R_{ich}}}^{2} D T \end{matrix}

$\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}{\dot{r_i}}^2dt\tag{5}$ Ich weiß nicht, wie ich hier weiter vorgehen soll.

Antworten (1)

Reibungskräfte und der Virialsatz

QMechaniker · Answer 1

In dieser Antwort erinnern wir nur an den Standardansatz, der für eine Reibungskraft der Form arbeitet

\begin{matrix} (A) & {\vec{F}}_{ich} = - k_{ich} {\vec{v}}_{ich}, \end{matrix}

$\vec{f}_i~=~-k_i \vec{v}_i,\tag{A}$ Wo

k_{i}

$k_i$ ist eine Konstante (die von der abhängen kann

i

$i$ 'tes Teilchen), dh Stokes' Drag .

Erstens, die Virialmenge verbessern/ändern/ersetzen $G$ in Gl. (2) hinein $\begin{matrix} (B) & G := \sum_{ich} {{\vec{P}}_{ich} \cdot {\vec{R}}_{ich} + \frac{1}{2} k_{ich} R_{ich}^{2}}, \end{matrix}$ $G~:=~\sum_i \left\{\vec{p}_i\cdot \vec{r}_i+\frac{1}{2}k_i r_i^2\right\},\tag{B}$ damit die zeitliche Ableitung von der Reibungskraft unabhängig wird: $\begin{matrix} (C) & \begin{aligned} \dot{G} \overset{(B)}{=} & \sum_{ich} {{\vec{P}}_{ich} \cdot {\vec{v}}_{ich} + ({\dot{\vec{P}}}_{ich} + k_{ich} {\vec{v}}_{ich}) \cdot {\vec{R}}_{ich}} \\ \overset{(A) + (3)}{=} & 2 T + \sum_{ich} {\vec{F}}_{ich}^{'} \cdot {\vec{R}}_{ich} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \dot{G}~\stackrel{(B)}{=}~&\sum_i \left\{\vec{p}_i \cdot \vec{v}_i+(\dot{\vec{p}}_i+k_i \vec{v}_i)\cdot \vec{r}_i\right\}\cr ~\stackrel{(A)+(3)}{=}&2T+\sum_i \vec{F}^{\prime}_i\cdot \vec{r}_i.\end{align}\tag{C}$
Zweitens, berufen Sie sich auf vernünftige Annahmen über die Verbesserung $G$ (Periodizität oder Beschränktheit, so dass die linke Seite von Gl. (C) im zeitlichen Mittel verschwindet), um den Virialsatz (1) zu zeigen.

Reibungskräfte und der Virialsatz

Furchtlose Jungfrau

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QMechaniker

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