Rolle der numerischen Werte des Polytropenindex

Wie @CountTo10 betonte: Es ist schwierig, eine "realistische" Zustandsgleichung (EoS) zu erhalten: Um Neutronensterne mit realistischen Massen, Radien und Gradienten zu erhalten, bräuchte man ein EoS, das verschiedene Polytrope für die verschiedenen Regionen enthält. Die richtigen zu finden und ein geeignetes, thermodynamisch konsistentes EoS mit ihnen zu konstruieren, ist schwierig und das Ergebnis wird nicht einzigartig sein.

Wenn man jedoch an einem einfachen EoS interessiert ist, das nur aus einem Polytrop besteht, um Numerik zu testen oder einfach nur herumzuspielen, kann ich die von zum Beispiel Bonazzola et al. Vorgestellten empfehlen. 1993 :

$$\begin{align} \epsilon(n)&=m_Bn+\frac{\kappa\epsilon_0}{\gamma-1}\left(\frac{n}{n_0}\right)^\gamma,\\ p(n)&=\kappa\epsilon_0\left(\frac{n}{n_0}\right)^\gamma. \end{align}$$

Wo$n$ist die Baryonenzahldichte,$\epsilon$die Energiedichte u$p$der Druck.$\kappa$Und$\gamma$sind dimensionslose Größen,$m_B$ist die mittlere Baryonenmasse$m_B=931.2\,\mathrm{MeV}$Und$n_0$Und$\epsilon_0$sind beliebige Zahl und Energiedichten. Für Neutronensternmaterie sind so zum Beispiel Werte um die Kerndichte angebracht$n_0=0.1\, \mathrm{fm}^{-3}$Und$\epsilon_0=m_B n_0=93.1\, \mathrm{MeV}\mathrm{fm}^{-3}$. Mit diesen Werten geeignet$\kappa$sind da$0.05$Und$\gamma\sim2$. Die obigen Beziehungen können invertiert werden, um einen Ausdruck zu geben$\epsilon(p)$:

$$\epsilon(p)=\frac{m_B}{n_0} (\frac{p}{\kappa\epsilon_0})^{1/\gamma}+ \frac{p}{\gamma-1}.$$ Mit einer solchen Zustandsgleichung kann man die allgemeinen relativistischen Sternstrukturgleichungen (TOV-Gleichungen) lösen, um Massen und Radien in Abhängigkeit von EoS und zentralem Druck (oder äquivalenter zentraler Dichte) zu erhalten:

Links Masse über Radius und rechts Masse über zentraler Baryonendichte. Die Kreuze markieren Sterne mit maximaler Masse, die Punkte Sterne mit bestimmten Kompaktheiten und die gestrichelten Linien instabile Konfigurationen. Die drei Kurven entsprechen unterschiedlichen polytropen EoS mit$(\kappa|\gamma)$.

Wie Sie sehen können, sind die Konfigurationen ziemlich empfindlich gegenüber kleinen Änderungen$\kappa$Und$\gamma$da beide die Gesamtsteifigkeit des EoS beeinflussen:$\gamma$insbesondere im Hochdruckbereich u$\kappa$besonders im Niederdruckbereich.

Alle drei hier gezeigten funktionieren einwandfrei: Massen und Radien sind auf typischen Neutronensternskalen und Dichte- und Druckgradienten sehen auch nicht schlecht aus. Aber die äußeren Schichten der Neutronensterne und die Radien im Detail sind nicht realistisch, dafür bräuchte man ein EoS für die Kruste; entweder ein anderes Polytrop oder ein realistisches, tabelliertes EoS wie BPS oder NV. Aber zum Testen der Numerik und zum Herumspielen sind diese Polytrope gut geeignet.

In meinen Berechnungen setze ich das EoS mit mittlerer Steifigkeit mit ein$\kappa=0.05$Und$\gamma=2$da es eine schöne maximale Masse von 2,233 Sonnenmassen und schöne Zwischenradien um 15 km hat. Man könnte sicherlich ein bisschen herumspielen, um durch Anpassung auf 2 Sonnenmassen mit kleineren Radien zu kommen$\kappa$Und$\gamma$leicht.

Ich stelle fest, dass Sie kürzlich eine Antwort auf eine verwandte Frage erhalten haben: Druck und Dichte eines Neutronensterns .

Ich kann nur diesen Auszug und Bilder von einer Wikiseite, die Sie vielleicht schon gelesen haben, Wikipedia Polytropes, hinzufügen und (unzureichend, wie ich schätze) vorschlagen, dass Sie zwischen der (leider) kleinen Auswahl an verschiedenen bereitgestellten Modellen angemessen interpolieren.

Beispielmodelle nach Polytropenindex

Dichte (normiert auf durchschnittliche Dichte) gegen Radius (normiert auf Außenradius) für ein Polytrop mit Index n=3.

Neutronensterne werden gut durch Polytrope modelliert, deren Index etwa im Bereich zwischen = 0,5 und n = 1 liegt.

Ein Polytrop mit Index n = 1,5 ist ein gutes Modell für vollständig konvektive Sternkerne (wie die von Roten Riesen), Braune Zwerge, riesige Gasplaneten (wie Jupiter) oder sogar für Gesteinsplaneten.

Hauptreihensterne wie unsere Sonne und relativistisch entartete Kerne wie die von Weißen Zwergen werden normalerweise durch ein Polytrop mit dem Index n = 3 modelliert, was dem Eddington-Standardmodell der Sternstruktur entspricht.

Ein Polytrop mit Index n = 5 hat einen unendlichen Radius. Es entspricht dem einfachsten plausiblen Modell eines selbstkonsistenten Sternsystems, das erstmals 1883 von A. Schuster untersucht wurde.

Ein Polytrop mit dem Index n = ∞ entspricht einer sogenannten isothermen Sphäre, also einer isothermen selbstgravitativen Gaskugel, deren Struktur identisch ist mit der Struktur eines kollisionsfreien Systems von Sternen wie einem Kugelsternhaufen.

Im Allgemeinen wird die Dichteverteilung mit zunehmendem Polytropenindex stärker in Richtung der Mitte (r = 0) des Körpers gewichtet.

Ein detaillierterer Blick auf den geeigneten zu verwendenden Index wird in diesem Buch behandelt: Neutron Stars: Equations of State :

Ein typisches Beispiel für die in diesem Buch enthaltenen Details und die zur Bestimmung von Zustandsgleichungen verwendete Methodik ist unten aufgeführt:

Wenn$T <<T_F$, die Elektronen sind nahezu frei (§ 4.1.2), und das Magnetfeld kann in einem lokalen Teil der dünnen Außenhülle als konstant (und damit kräftefrei) angesehen werden, Gl. (6.62) gilt für jede Feldstärke B. Damit wird die Struktur der Einhüllenden wieder durch eine selbstähnliche Lösung beschrieben. Allerdings ist der Charakter der Lösung bei$\rho < \rho _B$ist anders. Insbesondere in Gl. (6.63) sollte man den nichtmagnetischen Elektronenrelativitätsparameter ersetzen$x_r$durch den Parameter$x_B$das ist für ein stark quantisierendes Magnetfeld geeignet. Dabei entspricht eine gegebene geometrische Tiefe z einer höheren Dichte p. Wir zeichnen die$\rho (z)$Und$\Delta M(z)$Profile in der Neutronensternhülle für$B = 10^{12}$G und$10^{13}$G. Zum Beispiel das Magnetfeld$B = 10^13$G beeinflusst stark die Dichteverteilung in der Schicht$\rho < \rho_B$N$10^6 g cm^{-3}$, befindet sich$z < 3$M. Nach Gl. (4.30) skaliert die Dichte am unteren Rand dieser Schicht als$B^{3/2}$. Gleichung (4.32) zeigt, dass das EOS in dieser Schicht polytrop ist, aber der Polytropenindex sich von dem at unterscheidet$B = 0$; jetzt ist es gleich$n = 2(y = 3)$oder$n = 1 (y = 2)$für die nichtrelativistischen bzw. ultrarelativistischen Elektronengase.

Hier ist (ein Beispiel) genau das, was Sie brauchen. Dies ist ein Diagramm des adiabatischen Index (definiert als$\gamma = (\rho + P/c^2) dP/d\rho$), versus Dichte, bereitgestellt von Douchin & Haensel (2001) , zusammen mit der entsprechenden Zustandsgleichung (cgs-Einheiten).

Hier wird so viel schöne Physik gezeigt.

Die äußere Kruste hat$\gamma \simeq 4/3$dominiert von idealer EDP aus relativistisch entarteten Elektronen. Der adiabatische Index fällt mit zunehmender Dichte aufgrund des inversen Beta-Zerfalls darunter. Bei$\rho \sim 4\times 10^{11}$g/cm$^3$es kommt zu einer abrupten Erweichung, wenn Neutronen aus den Kernen in der inneren Kruste heraustropfen (äußere und innere Kruste sind durch die gestrichelte Linie getrennt). Wenn dann die Dichte zunimmt, steigt auch die Neutronendichte und der Wert von$\gamma$nähert sich dem nicht-relativistischen Entartungsdruck für die Neutronen (5/3). Die gestrichelte Linie markiert den Übergang von der festen inneren Kruste zu einem flüssigen Kern. Der adiabatische Index wächst dann weiter an, wenn die Neutronen nahe genug kommen, um die abstoßende starke Kernkraft zu spüren. Eine kleine Kerbe im adiabatischen Index markiert das Auftreten von Myonen. Schließlich kommt es bei extrem hohen Dichten zu einer Erweichung durch den zunehmenden Protonenanteil.

Es ist natürlich erwähnenswert, dass die Werte rechts von der gestrichelten Linie theoretisch ziemlich umstritten und unsicher sind. In dieser Zustandsgleichung scheint das (mögliche) Auftreten von extrahadronischen Freiheitsgraden (z. B. Hyperonen) oder ein Übergang in Quark-Materie nicht berücksichtigt zu sein. Diese besondere Variante der Zustandsgleichung sagt eine maximale Masse für einen Neutronenstern von knapp darüber voraus$2.05 M_{\odot}$, ist also gerade mit den aktuellen Beobachtungsbeschränkungen vereinbar.