Rollwinkel für die Schräglage eines Flugzeugs in einem geneigten Flugzeug

Beginnen wir mit einem Flugzeug, das mit konstanter Geschwindigkeit einen Kreis auf Bodenhöhe dreht. Seine Position ist gegeben durch

$$\vec{x}_1(t) = r\begin{bmatrix} \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t) \\ 0 \end{bmatrix}$$ Wo $r$ist der Kurvenradius, $\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit (dh $v/r$), Und $t$ist an der Zeit. Der $x$- Und $y$-Koordinaten sind parallel zum Boden und $z$ist die Höhe der Ebene. Ich weise eine Höhe von zu $0$der Einfachheit halber in die Mitte der Kreisbahn des Flugzeugs.

Da das Flugzeug eine konstante Geschwindigkeit beibehält, müssen wir nur das Flugzeug für den Flug des Flugzeugs neigen. Ich werde dies um die herum tun$y$-Achse.

$$\vec{x}_2(t) = \begin{bmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi) \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{bmatrix} r\begin{bmatrix} \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t) \\ 0 \end{bmatrix} = r\begin{bmatrix} \cos(\omega t)cos(\phi) \\ \sin(\omega t) \\ -\cos(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix}$$

Die Gesamtkraft, die benötigt wird, um diesen Weg aufrechtzuerhalten, ist einfach die Masse des Flugzeugs mal der Beschleunigung ($F=ma$), und die Beschleunigung ergibt sich aus der zweiten Ableitung der Position. Zum Glück der Winkel$\phi$konstant ist, also sind die Ableitungen ziemlich einfach.

$$\vec{a}_2 = \frac{d\vec{x}_2}{dt} = -\omega^2r\begin{bmatrix} \cos(\omega t)cos(\phi) \\ \sin(\omega t) \\ -\cos(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix}$$

Im Flugzeug wirken vier Kräfte: Schub, Luftwiderstand, Gewicht und Auftrieb.

Das Gewicht ist eine Konstante

$$\vec{F}_w = m\vec{g} = mg\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}$$ Wo $g$ist die Erdbeschleunigung.

Um das Flugzeug auf einer konstanten Geschwindigkeit zu halten, müssen der Schub und der Widerstand des Flugzeugs die Komponente der Schwerkraft in der gleichen Richtung wie das Flugzeug ausgleichen. Erstens ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs gegeben durch

$$\vec{v}_2 = r\omega\begin{bmatrix} -\sin(\omega t)cos(\phi) \\ \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix} = v\begin{bmatrix} -\sin(\omega t)cos(\phi) \\ \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix}$$ $$\begin{array}{r l} \vec{F}_T + \vec{F}_d&= -\left(\hat{v}_2 \cdot \vec{F}_g\right)\hat{v}_2 \\ &= mg\sin(\omega t)\sin(\phi)\hat{v}_2 \\ &= mg\sin(\omega t)\sin(\phi)\begin{bmatrix} -\sin(\omega t)cos(\phi) \\ \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix} \end{array}$$

Jetzt muss nur noch alles angeschlossen werden$\Sigma \vec{F} = m\vec{a}$und sehen Sie, was der Lift noch zu tun hat:

$$\vec{F}_T + \vec{F}_d + \vec{F}_g + \vec{F}_L = m\vec{a}_2$$ $$\vec{F}_L = m\vec{a}_2 - \vec{F}_T - \vec{F}_d - \vec{F}_g$$ $$\vec{F}_L = -m\omega^2r\begin{bmatrix} \cos(\omega t)cos(\phi) \\ \sin(\omega t) \\ -\cos(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix} - mg\sin(\omega t)\sin(\phi)\begin{bmatrix} -\sin(\omega t)cos(\phi) \\ \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix} + mg\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$$

Also, ähm, ja. Die Roll- und Nickwinkel sind für einen überhöhten Kreis nicht so einfach. Dies ist nicht eines dieser Probleme, bei denen alles zu einer ordentlichen Formel zusammenfällt.

Wir wissen, dass die Auftriebskraft senkrecht zum Flugzeug steht. Der Rollwinkel (um die Längsachse) ist so, dass die vertikale Komponente der Auftriebskraft gleich dem Gewicht des Flugzeugs ist$mg$und die seitliche Komponente gleich der Zentrifugalkraftanforderung ist$ma$.

Wenn das Flugzeug kippt, hat die Auftriebskraft drei Komponenten: vertikal, seitlich und längs. Wenn Steigungswinkel ist$\phi$, Rollwinkel ist$\Theta$, die drei Komponenten sind

$$F_{longitudinal}=F_{lift}\sin \phi$$ $$F_{vertical}=F_{lift}\cos \phi \cos \Theta =mg$$ $$F_{lateral}=F_{lift}\cos \phi \sin \Theta =ma$$

Rollwinkel ist es trotzdem

$$\arctan(\frac ga)$$

Das Flugzeug benötigt jedoch mehr Schub, um mehr Geschwindigkeit und damit mehr Auftriebskraft zu erreichen. Sonst stürzt das Flugzeug ab. Und es verlangsamt sich, wenn die Tonhöhe positiv ist. Interessantes Thema!