Rotationsabplattung

Question

Rotationsabplattung

robjohn

Ich versuche, das Ausmaß der Abflachung zu berechnen, das durch die Planetenrotation verursacht wird. Ich stelle mir die Schwerkraft, die zur Zentrifugalkraft hinzugefügt wird, die durch die Rotation des Planeten verursacht wird, wie folgt vor:

$\hspace{4cm}$ Kräfte

Das heißt, an dem fraglichen Punkt, am Breitengrad $\phi$ , der Abstand von der Rotationsachse ist $r\cos(\phi)$ . Somit wäre die Zentrifugalkraft $\omega^2r\cos(\phi)$ in einer Richtung senkrecht zur Rotationsachse. Die radialen und tangentialen Komponenten wären $\omega^2r\cos^2(\phi)$ Und $\omega^2r\cos(\phi)\sin(\phi)$ , bzw.

Meine Annahme ist, dass sich die Oberfläche des Planeten so anpassen würde, dass sie senkrecht zur effektiven wäre $g$ ; das heißt, die Summe der Gravitations- und Zentrifugalkräfte. Dies würde zu der Gleichung führen

\frac{D R}{R D ϕ} = - \frac{ω^{2} R \cos (ϕ) Sünde (ϕ)}{G - ω^{2} R \cos^{2} (ϕ)} .

$\frac{\mathrm{d}r}{r\,\mathrm{d}\phi}=-\frac{\omega^2r\cos(\phi)\sin(\phi)}{g-\omega^2r\cos^2(\phi)}.$ Wir können hier mehrere Annahmen treffen, und davon werde ich ausgehen

ω^{2} r

$\omega^2r$ ist klein im Vergleich zu

g

$g$ . So bekommen wir

\int_{Gl}^{np} \frac{D R}{R^{2}} = - \frac{ω^{2}}{G} \int_{0}^{π / 2} \cos (ϕ) Sünde (ϕ) D ϕ

$\int_{\text{eq}}^{\text{np}}\frac{\mathrm{d}r}{r^2} =-\frac{\omega^2}{g}\int_0^{\pi/2}\cos(\phi)\sin(\phi)\,\mathrm{d}\phi$ was dazu führt

\frac{1}{R_{np}} - \frac{1}{R_{Gl}} = \frac{ω^{2}}{2 G}

$\frac1{r_{\text{np}}}-\frac1{r_{\text{eq}}} =\frac{\omega^2}{2g}$ Und

1 - \frac{R_{np}}{R_{Gl}} = \frac{ω^{2} R_{np}}{2 G} .

$1-\frac{r_{\text{np}}}{r_{\text{eq}}} =\frac{\omega^2r_{\text{np}}}{2g}.$ Numerische Auswertung und Wikipedia scheinen jedoch darauf hinzudeuten, dass dies das Doppelte von dem sein sollte, was ich bekomme. Das ist,

1 - \frac{R_{np}}{R_{Gl}} = \frac{ω^{2} R^{3}}{G M} = \frac{ω^{2} R}{G} .

$1-\frac{r_{\text{np}}}{r_{\text{eq}}} =\frac{\omega^2r^3}{Gm} =\frac{\omega^2r}{g}.$ Was mache ich falsch?

robjohn

Ich sehe, dass dies mit Warum ist die Erde so fett? zusammenhängt. . Eine Möglichkeit für den Fehler in meiner Berechnung könnte die Richtung der Schwerkraft sein, die von einem abgeflachten Sphäroid erzeugt wird. Dies scheint jedoch von der Massenverteilung innerhalb des Sphäroids abzuhängen. Der Faktor von

2

$2$ zwischen meiner Schätzung und der von Wikipedia scheint die Massenverteilung die Ursache zu sein.

robjohn

@WojciechMorawiec: Durch Symmetrie sollte die Integration durch die südliche Hemisphäre bringen

r_{eq}

$r_{\text{eq}}$ zurück zu

r_{np}

$r_{\text{np}}$ .

Wille

@robjohn Der Faktor zwei scheint in der Antwort auf die Frage, auf die Sie sich bezogen haben, erklärt zu werden - aufgrund der schlechten Annäherung, die Erde in Ihrer Berechnung zunächst als Kugel zu behandeln.

robjohn

@Will: Wenn das der Fall wäre, würde ich erwarten, dass der Fehler von der Dichtekarte des abgeflachten Sphäroids abhängt. Die Formel in Wikipedia ist nicht speziell für die Erde, aber sie ist doppelt so hoch wie ich, scheinbar unabhängig von der Dichte.

robjohn

Ich gehe davon aus, dass die Wikipedia-Formel unausgesprochene Annahmen enthält und dass das Ergebnis durch die durch die Abflachung verursachte Massenumverteilung beeinflusst wird. Wenn jemand eine vollständigere Antwort oder eine Formel hat, die tatsächlich funktioniert, um die Abflachung eines rotierenden Planeten zu berechnen, bin ich immer noch interessiert.

Antworten (2)

Rotationsabplattung

Ich sehe, dass dies mit Warum ist die Erde so fett? zusammenhängt. . Eine Möglichkeit für den Fehler in meiner Berechnung könnte die Richtung der Schwerkraft sein, die von einem abgeflachten Sphäroid erzeugt wird. Dies scheint jedoch von der Massenverteilung innerhalb des Sphäroids abzuhängen. Der Faktor von $2$ zwischen meiner Schätzung und der von Wikipedia scheint die Massenverteilung die Ursache zu sein.
@WojciechMorawiec: Durch Symmetrie sollte die Integration durch die südliche Hemisphäre bringen $r_{\text{eq}}$ zurück zu $r_{\text{np}}$ .
@robjohn Der Faktor zwei scheint in der Antwort auf die Frage, auf die Sie sich bezogen haben, erklärt zu werden - aufgrund der schlechten Annäherung, die Erde in Ihrer Berechnung zunächst als Kugel zu behandeln.
@Will: Wenn das der Fall wäre, würde ich erwarten, dass der Fehler von der Dichtekarte des abgeflachten Sphäroids abhängt. Die Formel in Wikipedia ist nicht speziell für die Erde, aber sie ist doppelt so hoch wie ich, scheinbar unabhängig von der Dichte.
Ich gehe davon aus, dass die Wikipedia-Formel unausgesprochene Annahmen enthält und dass das Ergebnis durch die durch die Abflachung verursachte Massenumverteilung beeinflusst wird. Wenn jemand eine vollständigere Antwort oder eine Formel hat, die tatsächlich funktioniert, um die Abflachung eines rotierenden Planeten zu berechnen, bin ich immer noch interessiert.

QMechaniker · Answer 1

Wie aus Newtons Schalensatz bekannt ist , ist das Gravitationsfeld $g(r)=\frac{GM}{r^2}$ Außerhalb einer kugelsymmetrischen Massenverteilung ist die gleiche wie bei der Gesamtmasse $M$ saßen in der Mitte.

Es scheint, dass OP die Abflachung der Erde unter der vereinfachenden Annahme berechnen möchte, dass die Rückwirkung (die die umverteilte Masse auf das Gravitationsfeld der Erde hat) ignoriert werden kann. Mit anderen Worten, wir nehmen an, dass das Gravitationsfeld nur durch den Monopolbeitrag gegeben ist $g(r)=\frac{GM}{r^2}$ , und wir vernachlässigen höhere Multipolmomente in einer Multipolentwicklung .

I) Das hat Mark Eichenlaub in diesem Phys.SE-Beitrag getan. Zum Vergleich ersetzen wir den Breitengrad $\phi$ mit dem Polarwinkel $\theta=\frac{\pi}{2}-\phi$ . Die potentielle Gesamtenergie ist eine Summe aus der potentiellen Energie des Gravitationsmonopols und der potentiellen Energie der Zentrifugalkraft

\begin{matrix} (1) & U = - \frac{G M}{R} - \frac{(ω R Sünde θ)^{2}}{2} . \end{matrix}

$U~=~- \frac{GM}{r}-\frac{(\omega r \sin \theta)^2}{2}. \tag{1}$

Der Punkt ist nun, dass (in diesem idealisierten Modell) die Erdoberfläche eine Äquipotentialfläche ist . ("Sonst würde das Wasser in den Ozeanen sich beeilen, um sich neu zu verteilen.") Der Vergleich von Äquator und Nordpol führt zu

\begin{matrix} (2) & G (A) H \approx \frac{G M}{B} - \frac{G M}{A} \overset{(1)}{=} \frac{(ω A)^{2}}{2} > 0, \end{matrix}

$g(a)h~\approx~\frac{GM}{b}-\frac{GM}{a}~\stackrel{(1)}{=}~\frac{(\omega a)^2}{2}~>~0,\tag{2}$

Wo $a$ Und $b$ sind der äquatoriale bzw. der polare Radius der Erde; Und $h:=a-b\ll a$ ist der gesuchte Höhenunterschied. Gleichung (2) führt genau zu Mark Eichenlaubs Monopolergebnis für $h$ , welches ist $\frac{2}{5}$ kleiner als das Quadrupolergebnis .

II) Wenn wir andererseits Gl. (1) erhalten wir genau die Kraftgleichgewichtsformel von OP

\begin{matrix} (3) & 0 = D U = (G (R) - (ω Sünde θ)^{2} R) D R - (ω R)^{2} Sünde θ \cos θ D θ . \end{matrix}

$0~=~\mathrm{d}U~=~\left(g(r)-(\omega\sin \theta)^2 r\right)\mathrm{d}r -(\omega r )^2\sin \theta \cos \theta \mathrm{d}\theta. \tag{3}$

An diesem Punkt ignoriert OP die radiale Abhängigkeit von $g(r)$ , und behandelt sie als Konstante $g$ . Dieses Modell entspricht einer potentiellen Gesamtenergie

\begin{matrix} (4) & v = G R - \frac{(ω R Sünde θ)^{2}}{2} . \end{matrix}

$V~=~ gr-\frac{(\omega r \sin \theta)^2}{2}. \tag{4}$

Ein Vergleich von Äquator und Nordpol führt dazu

\begin{matrix} (5) & G H = G B - G A \overset{(4)}{=} - \frac{(ω A)^{2}}{2} < 0, \end{matrix}

$gh~=~g b-ga~\stackrel{(4)}{=}~-\frac{(\omega a)^2}{2}~<~0, \tag{5}$

die eher eine ausgedehnte Erde als eine abgeflachte Erde vorhersagt .

III) Als nächstes geht OP davon aus, dass einer der Zentrifugalterme $(\omega\sin \theta)^2 r \ll g$ in Gl. (3) ist klein und sollte ignoriert werden. Das bedeutet, dass Gl. (3) ist kein perfektes Differential mehr. Allerdings ist ein integrierender Faktor $\frac{1}{r^2}$ , also führt dies zu einem ersten Integral

\begin{matrix} (6) & W = - \frac{G}{R} - \frac{(ω Sünde θ)^{2}}{2} . \end{matrix}

$W~=~ -\frac{g}{r}-\frac{(\omega \sin \theta)^2}{2}. \tag{6}$

Ein Vergleich von Äquator und Nordpol führt dazu

\begin{matrix} (7) & \frac{G H}{A B} = \frac{G}{B} - \frac{G}{A} \overset{(6)}{=} \frac{ω^{2}}{2} > 0, \end{matrix}

$\frac{gh}{ab}~=~\frac{g}{b}-\frac{g}{a}~\stackrel{(6)}{=}~\frac{\omega^2}{2}~>~0, \tag{7}$

was das Monopolergebnis von Mark Eichenlaub (2) bemerkenswert reproduziert. Mit anderen Worten, zwei nicht ganz so kleine Annäherungen von OP haben sich aufgehoben.

Danke für deine Antwort. Ich werde mir etwas Zeit nehmen müssen, um es zu verdauen. Ich bin auch froh, dass Sie einen Link zu Mark Eichenlaubs Frage bereitgestellt haben. Ich werde die Antworten dort auch lesen.

Benutzer1086737 · Answer 2

Benutzer1086737

Problem ist die Annahme:

... davon gehe ich aus $\omega^{2}r$ ist klein im Vergleich zu $g$

Das bedeutet: Die Zentrifugalkraft am Äquator ist vernachlässigbar.
Und das kann nicht wahr sein, denn der Planet wäre eine perfekte Kugel.

(Hinweis: Das Wort „klein“ wurde beim Erstellen der Gleichung als „vernachlässigbar“ verwendet.)

robjohn

Ich schließe den Beitrag der Zentrifugalkraft ein; das ist die

ω^{2} r \cos (ϕ)

$\omega^2r\cos(\phi)$ . Es ist der Beitrag der Umverteilung der Masse, von dem ich annahm, dass er vernachlässigbar ist. Offensichtlich ist es nicht.

Benutzer1086737

Ich meinte Zentrifugalkraft am Äquator (zur Antwort hinzugefügt). Zentrifugalkraft am Äquator ist proportional zu

ω^{2} r

$\omega^{2}r$ und Gravitation ist proportional zu

g

$g$ .

robjohn

Ich gehe davon aus

ω^{2} r

$\omega^2r$ ist klein im Vergleich zu

g

$g$ , nicht dass es unbedeutend wäre. Wenn es unbedeutend wäre, gäbe es überhaupt keine Oblate. Das bedeutet, dass Terme zweiter Ordnung in

ω^{2} r

$\omega^2r$ wird noch kleiner im Vergleich zu

g^{2}

$g^2$ .

Benutzer1086737

Wenn

ω^{2} r

$\omega^2r$ ist klein, aber nicht unbedeutend - kann

ω^{2} r \cos^{2} (ϕ)

$\omega^2r\cos^2(\phi)$ aus dem Integral weggelassen werden?

robjohn

Ich schaue mir die Beiträge der ersten Ordnung an. Seit

ω^{2} r / g ≐ 0.003433

$\omega^2r/g\doteq0.003433$ , Annäherung an den Nenner mit

g

$g$ statt

g - ω^{2} r \cos^{2} (ϕ)

$g-\omega^2r\cos^2(\phi)$ ändert das Ergebnis um höchstens

0.34 %

$0.34\%$ . Das ist viel kleiner als der beobachtete Unterschied.

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Benutzer1086737

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robjohn

Benutzer1086737

robjohn

Erdwölbung und Achsenpräzession

Wie lässt sich die äquatoriale Wölbung der Erde ohne Zentrifugalkraft erklären?

Ist die scheinbare Gravitationskraft auf bestimmte Teile eines rotierenden kugelförmigen Planeten außermittig?

Warum wiegen wir am Äquator weniger, wenn die Zentrifugalkraft überhaupt keine Kraft ist? [Duplikat]

Warum ist die Erde so fett?

Woher wissen wir, dass die Erde keine perfekte Kugel ist?

Kann ein Mensch am Äquator bei Sonnenuntergang höher in die Luft springen als bei Sonnenaufgang?

Wird die Schwerkraft stärker, je höher man auf einem Berg ist?

Was ist die Ursache der Planetenrotation. Keine Orbitalrotation [geschlossen]

Äquator-Wasserleitungsfluss auf Meereshöhe?