Wird die Schwerkraft stärker, je höher man auf einem Berg ist?

Question

Wird die Schwerkraft stärker, je höher man auf einem Berg ist?

Bartlomiej Dlugosz

Ich habe diesen Artikel gesehen, in dem es heißt, dass die Schwerkraft auf dem Gipfel des Berges stärker ist, weil sich unter Ihnen mehr Masse befindet. Ich habe jedoch einige Fragen gelesen, die andere gestellt haben, und die meisten Antworten besagen, dass sich die Masse in der Mitte des Berges konzentriert Erde bedeutet, dass die Schwerkraft nicht stärker wird, je höher du gehst. Ich würde gerne wissen, welche davon es ist, da der Artikel eine ziemlich zuverlässige Quelle ist. Hier ist der Link zum Artikel https://nasaviz.gsfc.nasa.gov/11234

Adil Mohammed

"Die Schwerkraft ist auf dem Gipfel des Berges stärker" Ich glaube, das Wort "stärker" bezieht sich auf einen anderen Punkt auf derselben Höhe und nicht auf einen anderen Punkt auf dem Boden, oder?

rauben

Freundliche Erinnerung: Um die Frage zu beantworten, posten Sie eine Antwort, keinen Kommentar. Einige entfernt.

Nilay Ghosh

Beantwortet das deine Frage? Nehmen wir bei der Problemlösung für alle Höhen die Schwerkraft = 9,8 m/s² an? Warum oder warum nicht?

Antworten (6)

Wird die Schwerkraft stärker, je höher man auf einem Berg ist?

"Die Schwerkraft ist auf dem Gipfel des Berges stärker" Ich glaube, das Wort "stärker" bezieht sich auf einen anderen Punkt auf derselben Höhe und nicht auf einen anderen Punkt auf dem Boden, oder?
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Beantwortet das deine Frage? Nehmen wir bei der Problemlösung für alle Höhen die Schwerkraft = 9,8 m/s² an? Warum oder warum nicht?

Johannes Jäger · Answer 1

Sie erhalten unterschiedliche Antworten von der NASA und anderen Quellen, da sie über etwas andere Dinge sprechen.

Die NASA spricht von der Beschleunigung des GRACE-Satelliten in Richtung Erde, während er verschiedene Regionen umkreiste. Als es zum Beispiel über den Himalaya ging, war die Beschleunigung (Schwerkraft) überdurchschnittlich hoch.

Andere Quellen sprechen über den Unterschied in der Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft in Bodennähe, verglichen mit dem Anstieg des Himalayas würde die Beschleunigung abnehmen. Das liegt daran, dass Sie, obwohl darunter mehr Masse wäre, die Entfernung von der Erde vergrößert haben.

Mehr Details:

Am Fuße eines kegelförmigen Massebergs $m$ , Radius $r$ und Höhe $r$ , die Erdbeschleunigung ist $g$ , aufgrund der Erde der Masse $M$ , Radius $R$ .

\begin{matrix} (1) & G = \frac{G M}{R^{2}} \end{matrix}

$g=\frac{GM}{R^2}\tag1$

der Unterschied in der Schwerkraft nach dem Besteigen des Berges ist

\begin{matrix} (2) & \frac{G M}{{(R + R)}^{2}} + \frac{G M}{{(\frac{3}{4} R)}^{2}} - G \end{matrix}

$\frac{GM}{{(R+r)}^2}+\frac{Gm}{{(\frac{3}{4}r)}^2} - g\tag2$

Die 3/4 ist auf die Position des COM eines Kegels zurückzuführen. Mit 1) ist es

\begin{matrix} (3) & G ((1 + \frac{R}{R})^{- 2} + \frac{16 M R^{2}}{9 M R^{2}} - 1) \end{matrix}

$g\bigl((1+\frac{r}{R})^{-2}+\frac{16mR^2}{9Mr^2}-1\bigr)\tag3$

Aus Formeln für das Volumen einer Kugel und eines Kegels und unter der Annahme gleicher Dichte

\begin{matrix} (4) & \frac{M}{M} = \frac{R^{3}}{4 R^{3}} \end{matrix}

$\frac{m}{M} = \frac{r^3}{4R^3}\tag4$

so wird 3) in Bezug auf $g$

\begin{matrix} (5) & j = (1 + \frac{R}{R})^{- 2} + \frac{4 R}{9 R} - 1 \end{matrix}

$y= (1+\frac{r}{R})^{-2}+\frac{4r}{9R}-1\tag5$ ,

Putten $x = \frac{r}{R}$

\begin{matrix} (6) & j = (1 + X)^{- 2} + \frac{4}{9} X - 1 \end{matrix}

$y= (1+x)^{-2}+\frac{4}{9}x-1\tag6$

das plotten

zeigt, dass es für alle realistischen kegelförmigen Berge eine Abnahme der Erdbeschleunigung gibt.

Für Everest, wenn es ein Kegel wäre, $x=0.0014$ und die Verringerung der Schwerkraft ist $y=0.002g$ , also das Übliche $9.81$ wird ungefähr $9.79 \;\text{m}\,\text{s}^{-2}$ .

Wäre das gleiche für die Erdoberfläche. Wenn jemand auf dem Himalaja stünde, wäre die dort gemessene Erdbeschleunigung nicht wegen der dortigen Massenkonzentration etwas größer und natürlich niedriger, weil sie weiter vom Erdmittelpunkt entfernt ist. Wirken also nicht beide Faktoren gegeneinander? Welche dominiert, hängt von der genauen Situation ab.
Ja, es gibt zwei gegensätzliche Faktoren, aber insgesamt wird die Stärke der Schwerkraft auf dem Gipfel eines Berges geringer, da der Hauptfaktor die Entfernung von der Erde ist.
Intuitiv nimmt die Feldstärke mit der Masse zu, aber mit dem Quadrat der Entfernung ab, sodass viel Masse erforderlich ist , um eine kleine Zunahme der Entfernung auszugleichen. (Asymptotisch, $n^2$ wächst schneller als $n$ , selbst wenn $c_1n_0 > c_2n_0^2$ für einige Konstanten $c_1$ , $c_2$ , Und $n_0$ . Schließlich gewinnt die Potenzierung für immer.)
@silverrahul "Wenn jemand auf dem Himalaya stand, wird die an diesem Punkt gemessene Erdbeschleunigung aufgrund der dortigen Massenkonzentration nicht etwas mehr sein?" Welche Massenkonzentration? Wo auch immer Sie sind, betrachten Sie die Masse einer Kugel, die auf Sie zentriert ist. Wenn Sie sich auf einer flachen Ebene befinden, enthält die Hälfte davon dichte Masse des Planeten Erde. Wenn Sie sich auf einem Berggipfel befinden, ist dieser Anteil viel geringer.
Dies ist qualitativ korrekt, aber ich glaube nicht, dass Sie die Gravitationskraft eines Kegels annähern können, indem Sie sie durch eine Punktmasse am CM des Kegels ersetzen. Das würde auf große Entfernungen ungefähr funktionieren, aber wir sprechen davon, auf der Spitze des Kegels zu stehen.
Nachdem ich nun die Rechnung durchgegangen bin, erhalte ich die Erdbeschleunigung an der Spitze eines Kegels mit Masse $m$ , Höhe $r$ und kreisförmige Basis des Radius $r$ Ist $3 G m (2 - \sqrt{2})/r^2$ . Dies ist nicht ganz dasselbe (aber ziemlich nahe an) dem Wert, den Sie gefunden haben; $3(2-\sqrt{2}) \approx 1.7574$ während $16/9 \approx 1.7778$ .
@Michael Seifert Vielleicht hast du recht (werde mir das mal anschauen), aber da wir ja schon einen nicht wirklich kegelförmigen Berg durch einen Kegel annähern, ist die Änderung sehr gering, fast vernachlässigbar
@Michael Seifert hat es sich jetzt angesehen, ja du hast recht, danke für den Hinweis, das war mir nicht aufgefallen, aber der Graph hat sich nicht wirklich viel verändert, geht davon aus $y=-1.55x$ Zu $y=-1.56x$ für niedrig (Berggröße) $x$ , aber da der Punkt mit dem bestehenden Modell gemacht wurde, bleibt die Antwort beim 16/9.
Es könnte auch erwähnenswert sein, dass es aufgrund der Rotation der Erde auch eine Komponente der Zentrifugalkraft gibt, die der Schwerkraft entgegengesetzt ist (wenn auch nicht genau entgegengesetzt, es sei denn, Sie befinden sich an einem der Pole). sind auf dem Äquator). Dadurch wird die an der Oberfläche gemessene Schwerkraft verringert. Ich weiß nicht, wie groß dies im Vergleich zu den beiden von Ihnen erwähnten Faktoren ist, aber ich vermute, dass es ziemlich signifikant sein könnte.
Der Kommentar von @ Nathaniel ist korrekt und dieser Effekt wird nicht in die Berechnung der Antwort einbezogen. Dieser Effekt macht es noch sicherer, dass die gefühlte Schwerkraft auf der Bergspitze geringer ist als die Schwerkraft am Fuß des Berges.
Die Zentrifugalbeschleunigung hat maximale Größe $\omega^2R$ oder ungefähr $5.3\times 10^{-9}R$ , wäre die Differenz dieser Beschleunigung zwischen Meeresspiegel und der Spitze des Mount Everest höchstens 8849m hoch $5\times 10^{-5}$ m/s^2, es ist viel kleiner als die anderen betrachteten Dinge und kann daher ignoriert werden.

Silberrahul · Answer 2

Hier wirken zwei Faktoren gegeneinander. Einer ist die Verteilung der Erdmasse in der Nähe der Stelle, die in der Nähe der Berge höher ist und dazu neigt, die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft an dieser Stelle zu erhöhen. Und der andere Faktor ist der Abstand von der ganzen anderen Masse zu den anderen Teilen der Erde, die in der Nähe des Berges ebenfalls höher ist und daher dazu neigt, die Erdbeschleunigung zu verringern.

Das Nettoergebnis hängt von der Größe dieser beiden gegenläufigen Effekte ab und hängt von den besonderen Details des betreffenden Berges ab.

Aber der in der anderen Antwort angesprochene Punkt ist richtig in Bezug auf die bestimmte NASA-Seite, die Sie verlinkt haben. Das ist keine Karte der Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft auf der Erdoberfläche. Das ist eine, die von einem Satelliten im Orbit gemessen wird. Für einen Satelliten im Orbit ist der zweite Faktor offensichtlich vernachlässigbar, daher dominiert nur der erste Faktor, und daher zeigen die Berggebiete eine höhere Erdbeschleunigung.

Daniel · Answer 3

Wahrscheinlich nicht von alleine.

Die Erdbeschleunigung eines kugelsymmetrischen Körpers ist gegeben durch:

G = \frac{G M}{R^{2}}

$g = \frac{GM}{r^2}$ Wo

r

$r$ ist der Abstand vom Mittelpunkt. Unter der Annahme der einheitlichen Dichte wäre dies:

G = \frac{4 π}{3} \frac{G ρ R_{0}^{3}}{R^{2}}

$g = \frac{4\pi}3\frac{G\rho R_0^3}{r^2}$ Wo

R_{0}

$R_0$ ist der Radius des Körpers. Beim Stehen auf der Oberfläche (

r = R_{0}

$r=R_0$ ), dies wird

G_{0} = \frac{4 π}{3} G ρ R_{0}

$g_0 = \frac{4\pi}3 G\rho R_0$

Lassen Sie uns etwas für zwei Extremfälle rechnen:

1) Betrachten wir zunächst einen kugelförmigen "Berg" mit Radius $R_1$ ( $R_1 \ll R_0$ ) und gleicher Dichte $\rho$ . Die Gravitationsbeschleunigung, wenn man auf der Spitze dieses "Berges" steht, ist:

\begin{aligned} G & = \frac{4 π}{3} G ρ (\frac{R_{0}^{3}}{(R_{0} + 2 R_{1})^{2}} + R_{1}) = (\frac{R_{0}^{2}}{(R_{0} + 2 R_{1})^{2}} + \frac{R_{1}}{R_{0}}) G_{0} \\ \equiv (\frac{1}{(1 + 2 ϵ)^{2}} + ϵ) G_{0} = (1 + \frac{(ϵ - 1) (1 + 2 ϵ)^{2} + 1}{(1 + 2 ϵ)^{2}}) G_{0} = (1 + ϵ \frac{4 ϵ^{2} - 3}{(1 + 2 ϵ)^{2}}) G_{0} < G_{0} \end{aligned}

$\begin{split} g&=\frac{4\pi}3G\rho\left(\frac{R_0^3}{(R_0+2R_1)^2} + R_1\right) = \left(\frac{R_0^2}{(R_0+2R_1)^2} + \frac{R_1}{R_0}\right) g_0 \\ &\equiv \left(\frac1{(1+2\epsilon)^2} + \epsilon\right) g_0 =\left(1 + \frac{(\epsilon - 1)(1+2\epsilon)^2 + 1}{(1+2\epsilon)^2}\right)g_0 =\left(1 + \epsilon\frac{4\epsilon^2 - 3}{(1+2\epsilon)^2}\right)g_0 < g_0 \end{split}$ Wo

ϵ = R_{1} / R_{0} ≪ 1

$\epsilon = R_1/R_0 \ll 1$ . Die Ungleichheit

g < g_{0}

$g<g_0$ Folgt aus

0 < ϵ < \sqrt{3} / 2

$0<\epsilon<\sqrt3/2$ .

Daher wird ein "stacheliger" Berg, der grob durch eine Kugel angenähert werden könnte, wahrscheinlich eine geringere Oberflächengravitation auf seiner Spitze haben als der planetarische Durchschnitt.

2) Betrachten wir nun ein Hochplateau (ebenfalls von gleicher Dichte $\rho$ ), der sich lang genug erstreckt, dass seine Schwerkraft in der Mitte seiner Oberfläche durch die Schwerkraft einer unendlichen Platte angenähert werden kann, aber im Vergleich zum gesamten Planeten immer noch vernachlässigbar ist, dh ein Höhenplateau $h$ und horizontale Dimension $l$ so dass $h \ll l \ll R_0$ .

Gravitationsbeschleunigung einer unendlichen Ebene ist $g_{\text{plane}} = 2\pi G\sigma$ , Wo $\sigma$ ist die Oberflächendichte, die für das Plateau steht $\rho h$ . Die Erdbeschleunigung beim Stehen auf dem Plateau beträgt dann ungefähr:

\begin{aligned} G & = \frac{4 π}{3} G ρ \frac{R_{0}^{3}}{(R_{0} + H)^{2}} + 2 π G ρ H = (\frac{R_{0}^{2}}{(R_{0} + H)^{2}} + \frac{3 H}{2}) G_{0} \\ \equiv (\frac{1}{(1 + 2 ϵ)^{2}} + 3 ϵ) G_{0} = (1 + \frac{(3 ϵ - 1) (1 + 2 ϵ)^{2} + 1}{(1 + 2 ϵ)^{2}}) G_{0} \\ = (1 + ϵ \frac{12 ϵ^{2} + 8 ϵ - 1}{(1 + 2 ϵ)^{2}}) G_{0} < G_{0} \end{aligned}

$\begin{split} g&=\frac{4\pi}3 G\rho \frac{R_0^3}{(R_0+h)^2} + 2\pi G\rho h = \left( \frac{R_0^2}{(R_0+h)^2} + \frac{3h}2 \right)g_0 \\ &\equiv \left(\frac1{(1+2\epsilon)^2} + 3\epsilon\right) g_0 =\left(1 + \frac{(3\epsilon - 1)(1+2\epsilon)^2 + 1}{(1+2\epsilon)^2}\right)g_0 \\ &=\left(1 + \epsilon\frac{12\epsilon^2+8\epsilon-1}{(1+2\epsilon)^2}\right)g_0 < g_0 \end{split}$ Wo

ϵ = 2 R_{0} / h ≪ 1

$\epsilon = 2R_0/h \ll 1$ . Auch hier folgt die Ungleichung aus

ϵ

$\epsilon$ positiv und ausreichend klein sein. In diesem Fall weniger als

(\sqrt{7} - 2) / 3

$(\sqrt7-2)/3$ .

In beiden Fällen stellt sich heraus, dass die Oberflächengravitation niedriger sein wird als der planetarische Durchschnitt. Es ist vernünftig anzunehmen, dass alle vernünftigen Berge kleine Erhebungen sind, die bezüglich ihrer Erdbeschleunigung zwischen einer Kugel und einem (unendlichen) Plateau liegen. Wenn daher gleichförmige Dichten angenommen werden, werden sie dies tun

Alle vorstehenden Überlegungen erfolgten jedoch unter der Annahme einer einheitlichen Dichte. Wenn der Berg im Vergleich zum Rest des Planeten eine ausreichend höhere Dichte hat (weniger wahrscheinlich) oder wenn die ungleichmäßige Dichte auf dem Planeten auf bequeme Weise verteilt ist (wahrscheinlicher), dann ist die Schwerkraft auf der Spitze des Berges stärker. Beachten Sie jedoch, dass dies an der Dichte liegt, nicht am Berg. In einem typischen Fall ist die Oberflächengravitation tatsächlich wahrscheinlich niedriger.

Josef h · Answer 4

Die Stärke der Schwerkraft variiert von Punkt zu Punkt auf der Erdoberfläche, da die Erde keine gleichmäßige Massenverteilung aufweist. Die Bilder in dem von Ihnen bereitgestellten Link sind ein Beweis dafür.

Die Stärke des Gravitationsfeldes der Erde ist gegeben durch

A = \frac{G M}{R^{2}}

$a=\frac{GM}{r^2}$ Wo

M

$M$ ist die Masse der Erde,

G

$G$ ist die Gravitationskonstante, und

r

$r$ ist die Entfernung vom Erdmittelpunkt.

Da sie umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung vom Mittelpunkt ist, ist diese Feldstärke umso schwächer, je weiter Sie sich von der Erde entfernen.

Aber die Schwerkraft wirkt, als wäre die gesamte Masse der Erde im Zentrum konzentriert. Das ist nicht wahr. Wenn ich mich neben einer Klippe befinde und von ihrer Höhe falle, wird die Geodäte, der ich folge, anders sein als in dem Fall, in dem es keine Klippe gibt. Was Sie sagen, ist nur weit entfernt vom Objekt wahr, aber wenn wir nah an seiner Oberfläche sind, wird es falsch, dies zu sagen.
Ich sprach nicht von Klippen, sondern von dem Fall im Allgemeinen.
@josefh. Aber im Allgemeinen ist die Erde keine konturlose Kugel, oft gibt es einen Berg, eine Klippe, einen Wolkenkratzer oder einen Hügel in der Nähe. Oder vielleicht ist das Zeug im Untergrund nicht einheitlich. Wenn es in meinem Norden (Untergrund) viel schweres, dichtes Material gibt (Eisen vielleicht) und in meinem Süden unter der Erde viele leere Höhlen gibt, dann neigt sich die Schwerkraft dort, wo ich stehe, sehr leicht nach Norden.
Was @Dast gesagt hat. Tatsächlich verwenden Geophysiker und Geologen empfindliche Beschleunigungsmesser, um dichte Mineralien zu lokalisieren. Siehe en.wikipedia.org/wiki/Gravimetry

Jeppe Stig Nielsen · Answer 5

Wenn Sie ein Satellit sind, der sich 6870 km über dem Erdmittelpunkt befindet und direkt unter Ihnen flaches Land ist, werden Sie eine gewisse Schwerkraft spüren. Wenn Sie zu einem anderen Punkt weitergehen, der ebenfalls 6870 km über dem Zentrum liegt, aber diesmal ein riesiger Berg unter Ihnen ist, dann werden Sie dieses Mal eine etwas größere Schwerkraft spüren .

Wenn Sie eine Person sind, die auf der Erdoberfläche steht, 6370 km über ihrem Mittelpunkt, werden Sie eine gewisse Schwerkraft spüren. Wenn Sie von dort aus einen 4 km hohen Berg besteigen, befinden Sie sich danach 6374 km über dem Erdmittelpunkt. Da Ihre Entfernung vom größten Teil der Erde zunimmt, ist die Schwerkraft, die Sie spüren, etwas geringer .

(In beiden Beispielen sollte der Breitengrad vorher und nachher gleich sein, sonst beeinflusst die Abflachung der Erdform (und im zweiten Beispiel auch die damit verbundene Zentrifugalkraft durch die Erdrotation) das Ergebnis.)

Stapel · Answer 6

Ich habe mir den Link angesehen, den Sie angegeben haben. Ich denke, es bedeutet möglicherweise nicht zu sagen, je höher Sie auf einen Berg gehen, desto stärker ist das Gravitationsfeld. Die Bedeutung der Verbindung, nehme ich an (weil sie erwähnt haben, dass sie von Satelliten gemessen wird, nehme ich an, dass sie Gravitationsfelder in der Höhe der Satelliten gemessen hat, die angeblich während der gesamten Messung gleich geblieben ist) ist ungefähr so: Sie haben die Schwerkraft am gemessen gleiche Höhe rund um den Globus und fanden heraus, dass in dieser Höhe und an Stellen mit Gebirgszügen direkt darunter, wie dem Himalaya, aufgrund der hohen Massenkonzentration das Gravitationsfeld stärker ist. Während gleichzeitigHöhe und an Stellen mit Ozeangräben direkt darunter, wie dem Marianengraben, messen sie aufgrund der geringen Massenkonzentration erwartungsgemäß ein schwaches Gravitationsfeld.

Wird die Schwerkraft stärker, je höher man auf einem Berg ist?

Bartlomiej Dlugosz

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Nilay Ghosh

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Johannes Jäger

Silberrahul

Johannes Jäger

Chepner

Rosie F

Michael Seifert

Michael Seifert

Johannes Jäger

Johannes Jäger

N. Jungfrau

Jeppe Stig Nielsen

Johannes Jäger

Silberrahul

Daniel

Josef h

Jean Baptiste Roux

Josef h

Dast

PM 2Ring

Bill N

Jeppe Stig Nielsen

Stapel

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