Wären Sie schwerelos im Zentrum der Erde?

Richtig. Wenn Sie die Erde in Kugelschalen aufteilen, dann hebt sich die Schwerkraft der Schalen "über" auf und Sie spüren nur die Schalen "unter" Ihnen. Wenn du in der Mitte bist, ist nichts „unter dir“.

Referenz von Wikipedia Gauss & Shell Theorem .

{Ich verwende einige vereinfachende Begriffe, aber ich möchte Oberflächenintegrale und radiale Flussgleichungen nicht herausbrechen}

Bearbeiten: Obwohl das Innere der Schale klassischerweise Schwerelosigkeit hat, wird es relativistisch auch keine Schwerelosigkeit haben . Am perfekten Zentrum können sich die Kräfte ausgleichen, was zu einer instabilen Lösung führt, was bedeutet, dass eine kleine Störung in der Position zu Kräften führt, die diese Störung übertreiben.

Die einfachste Art, darüber nachzudenken, ist, dass es im Zentrum der Erde um Sie herum Masse gibt, sodass Sie aus allen Richtungen die gleiche Gravitationskraft erhalten. Die Züge heben sich auf, sodass Sie keine Beschleunigung erhalten.

Nimmt man für die Erde eine konstante Dichte an (was streng genommen nicht stimmt, aber für diese Darstellung nahe genug ist), fällt die Erdbeschleunigung linear von 1g an der Oberfläche auf 0 im Erdmittelpunkt. Sie würden also eine Null erhalten, wenn Sie auf eine Waage im Mittelpunkt der Erde treten würden.

Die kompliziertere Erklärung ist, dass die Erdbeschleunigung die Ableitung des Gravitationspotentials ist. Dieses Potential ist im Erdmittelpunkt minimal und wächst quadratisch bis zur Erdoberfläche. Dann steigt er mit geringerer Rate weiter an. Da genau der Mittelpunkt flach ist (wie der Boden eines Tals), ist die Ableitung, die ein Maß für die Änderungsrate ist, Null, und es gibt keine Beschleunigung.

Obwohl Sie dort schwerelos wären, sind die Auswirkungen der Schwerkraft interessanterweise im Zentrum der Erde am größten. Sie erhalten zum Beispiel mehr Gravitationszeitdilatation als an der Oberfläche.

Ich mag Antworten, die an Symmetrie appellieren, also beantworte ich diese mit einer Frage: Wenn Sie in der Mitte wären, in welche Richtung würden Sie fallen? Das sagt uns, dass Sie dort schweben bleiben könnten.

Im Folgenden bezieht sich der Begriff "Ladung" entweder auf Masse oder auf elektrische Ladung und der Begriff "Inverse Square Law" bezieht sich entweder auf das Newtonsche Gravitationsgesetz bzw. auf das Coulombsche Gesetz.

ABSCHNITT 1

A. Das Abstandsquadratgesetz für Kugeln mit einheitlicher Oberflächenladungsdichte

Satz A: Sei eine Kugel mit Radius$\:\rm{R}\:$mit gleichmäßiger Oberflächenladungsdichte$\:\rho_{s}\:$und leerer Innenraum. Dann:

(a1) die auf eine Punktladung ausgeübte Kraft$\:\xi\:$im Inneren oder auf der Oberfläche der Kugel, wie in Abb. 01, ist Null (löscht sich aus). Hinsichtlich der Potentiale ist die gesamte Kugel (Oberfläche + Inneres) ein Äquipotentialbereich .

(a2) die auf eine Punktladung ausgeübte Kraft$\:\xi\:$im Äußeren der Kugel, wie in Abb. 03, ist gleich der Kraft, die von einem Punktteilchen im Zentrum der Kugel ausgeübt wird, dessen Ladung gleich seiner gesamten Oberflächenladung ist$\:\Xi_{s}=\rho_{s}\cdot4\pi{\rm{R}}^{2}\:$. In Bezug auf Potentiale entspricht das Potential außerhalb der Kugel dem, das durch ihre gesamte Oberflächenladung erzeugt wird$\:\Xi_{s}\:$auf seine Mitte konzentriert.

Ein Zwischenschluss im Beweis dieses Satzes ist, dass die Größe der Kraft, die von der „Schale“ AKBMA der Kugel auf die Punktladung ausgeübt wird$\:\xi\:$in Abb. 02 ist proportional zu$\:\sin^{2}\omega\:$, wo$\:\omega\:$ist der Winkel, um den jeder Punkt der zyklischen Kante AMBA des Bechers das Liniensegment beobachtet$\:b\:$(das zwischen der Ladung$\:\xi\:$und dem Mittelpunkt der Kugel). Genauer gesagt ist diese Kraft der Größenordnung nach:

Aber diese Kraft wird durch die Kraft aufgehoben, die von der "Schale" CLDNC der Kugel ausgeübt wird, die gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet ist:

Wenn wir also diese beiden "Becher" entfernen, ändert sich die Kraft nicht. Aber wenn wir den "Becher" AKBMA vergrößern, indem wir seine zyklische Kante AMBA nach links verschieben, fällt letztere mit der zyklischen Kante CNDC des linken Bechers CLDNC zusammen. Das Entfernen der beiden Schalen ist dann so, als würden wir die gesamte Kugel entfernen, wobei die Nettokraft unverändert bleibt, dh Null.

Auch in Abb. 02 haben wir

B. Das Abstandsquadratgesetz für Kugeln mit einheitlicher Volumenladungsdichte

Satz B: Sei eine Kugel mit Radius$\:\rm{R}\:$mit gleichmäßiger Raumladungsdichte$\:\rho_{v}\:$. Dann:

(b1) die auf eine Punktladung ausgeübte Kraft$\:\xi\:$im Inneren der Kugel in radialem Abstand angeordnet$\:\rm{r}\:$von ihrem Mittelpunkt ist nach Satz A gleich der Volumenladungsdichte einer Kugel mit Radius$\:\rm{r}\:$,$\:\Xi_{v}\left(\rm{r}\right)=\rho_{v}\cdot \dfrac{4}{3}\pi{\rm{r}}^{3}\:$, auf die Mitte konzentriert. Die Größe dieser Kraft ist:

(b2) die auf eine Punktladung ausgeübte Kraft$\:\xi\:$im Äußeren der Kugel und in radialem Abstand$\:\rm{r}\:$von ihrem Mittelpunkt ist nach Satz A gleich der Volumenladungsdichte einer Kugel mit Radius$\:\rm{R}\:$,$\:\Xi_{v}\left(\rm{R}\right)=\rho_{v}\cdot \dfrac{4}{3}\pi{\rm{R}}^{3}\:$, auf die Mitte konzentriert. Die Größe dieser Kraft ist:

SEKTION 2

Angenommen, die Erde ist eine perfekte Kugel mit einheitlicher Volumenmassendichte. Dann:

Vorschlag C:

(c1) Ein Körper im Erdmittelpunkt ist schwerelos.

(c2) Stellen Sie sich einen Tunnel mit kleinem Querschnitt vor, der über einen ganzen Durchmesser verläuft und somit durch den Erdmittelpunkt verläuft. Ein Körper, der in einem radialen Abstand im Tunnel platziert wird$\:{\rm{r}}_{0}\:$vom Mittelpunkt eine einfache geradlinige harmonische Schwingung mit Mittelpunkt Erdmittelpunkt ausführt, da bei der Schwerkraft die Kraft immer zum Mittelpunkt anzieht und nach Gleichung (B-01) betragsmäßig proportional zum Abstand von diesem Mittelpunkt ist der Anziehungskraft.

Sie wären nicht schwerelos im Zentrum der Erde. Mit anderen Worten, die Erde folgt keiner Geodäte. Lassen Sie mich erklären.

Die Erde ist nicht kugelförmig, sie ist ein abgeplatteter Sphäroid. Die Beschleunigung eines gleichförmigen, nichtsphärischen Körpers in einem sphärischen Gravitationsfeld folgt keinem umgekehrten quadratischen Gesetz. Die Beschleunigung des Massenmittelpunktes ist nicht gleich der Beschleunigung im Massenmittelpunkt. Ein am Erdmittelpunkt befestigter Beschleunigungsmesser würde ca. 1,75 pgal (1,75e-14 m/$\mathrm{s^2}$), nicht null.