Sagt der klassische Elektromagnetismus wirklich die Instabilität von Atomen voraus?

Ich werde versuchen, eine kurze Zusammenfassung dessen zu geben, was ich unten geschrieben habe. Ich verstehe, dass es sehr lang ist und entschuldige mich, wenn ich deine Zeit verschwende.

Ich habe das Liénard-Wiechert-Potential und die Lorentz-Kraftformel verwendet , um Bewegungsgleichungen für geladene Teilchen abzuleiten, die die nicht beinhalten E Und B Felder. Ich verwende dies in einem Zwei-Körper-Problemaufbau mit zwei Ladungen und möchte sehen, ob die resultierenden Gleichungen zu spiralförmigen Umlaufbahnen führen.

Genauer gesagt setze ich die Formeln für ein E 2 Und B 2 von Liénard-Wiechert in die Lorentz-Kraftformel gegeben F 12 ( R 1 ( T ) , T ) = Q 1 ( E 2 ( R 1 ( T ) , T ) + R ˙ 1 ( T ) × B 2 ( R 1 ( T ) , T ) ) und verwenden Sie die klassische Bewegungsgleichung M 1 R ¨ 1 ( T ) = F 12 ( R 1 ( T ) , T ) . Eine zweite Gleichung wird für Teilchen 2 unter Verwendung der Ausdrücke für erhalten E 1 Und B 1 stattdessen.

Die vollständigen Gleichungen sind kompliziert, also nehme ich eine Grenze, wenn die Masse des Kerns gegen unendlich geht, und (vorausgesetzt, meine Berechnungen sind korrekt) erhalte ich eine einfachere Bewegungsgleichung, die formal mit der der Planetenbewegung um die Sonne identisch ist. Dies sagt für die meisten Anfangsbedingungen elliptische Trajektorien voraus.

Die Sorge ist, dass die resultierende Bewegung stabil ist, und dies scheint dem zu widersprechen, was die üblichen Berichte darüber sagen, dass der klassische Elektromagnetismus die Stabilität der atomaren Umlaufbahn nicht erklären kann.

Wenn Sie mehr Details wünschen, können Sie auch lesen, was ich unten geschrieben habe.

Nehmen wir für einen Moment an, dass wir klassisch arbeiten und das Planetenmodell für das Atom (der Einfachheit halber Wasserstoff) als einen positiv geladenen Kern verwenden, der von einem negativ geladenen Elektron auf ähnliche Weise umkreist wird, wie Planeten um die Sonne kreisen.

Die übliche Geschichte besagt, dass das Elektron, das um den Kern kreist, eine Beschleunigung erfährt, die dazu führt, dass das Elektron elektromagnetische Wellen ausstrahlt. Es wird davon ausgegangen, dass die Energie dieser Strahlung über die Larmor-Formel im Laufe der Zeit von der Gesamtenergie des Elektrons abgezogen wird , und daher sagt das Modell einen Zusammenbruch der Elektronenbahn über einen kurzen Zeitraum voraus, da der Radius der Bahn abnehmen muss, um dies zu kompensieren für die verminderte Energie des Elektrons.

Auf die Gefahr hin, dass es für sachkundigere Personen lächerlich klingt, möchte ich diese Annahme mit den folgenden Überlegungen in Frage stellen (nur um mein eigenes Verständnis des Problems zu verdeutlichen). Mir scheint, dass dieses Problem nur entsteht, weil wir davon ausgehen, dass das elektromagnetische Feld unabhängig von den es erzeugenden Ladungen existiert und Energie und Impuls selbst trägt.

Aber es scheint möglich, die Grundlagen des (klassischen) Elektromagnetismus zu beschreiben, ohne auf das Konzept der elektromagnetischen Felder zurückzugreifen, indem man eine Kombination aus dem Lorentz-Kraftgesetz und dem Liénard-Wiechert-Potential verwendet . Insbesondere kann man die expliziten Ausdrücke für die ersetzen E Und B Felder aus den Liénard-Wiechert-Formeln in die Lorentz-Kraftformel, um die Kraft zwischen zwei geladenen Teilchen abzuleiten, die sich auf beliebigen Bahnen im Raum bewegen. Man kann dann mit Hilfe der Newtonschen Mechanik oder ihrer speziellen relativistischen Korrektur eine klassische Bewegungsgleichung für die Teilchen herleiten.

Explizit erhalten wir dieses System von zwei ODEs, wobei M 1 , M 2 , Q 1 , Q 2 sind die Massen und Ladungen der beiden Teilchen, R 1 ( T ) , R 2 ( T ) sind die Pfade und andere Größen sind auf der Wikipedia-Seite für das Liénard-Wiechert-Potential definiert:

M 1 R ¨ 1 ( T ) = μ 0 C 2 Q 1 Q 2 4 π ( 1 + [ R ˙ 1 ( T ) × [ N 2 ( T R ) C × ] ] )

[ N 2 ( T R ) − β 2 ( T R ) γ 2 2 ( T R ) ( 1 − N 2 ( T R ) ⋅ β 2 ( T R ) ) 3 | R 1 ( T ) − R 2 ( T R ) | 2 + N 2 ( T R ) × ( ( N 2 ( T R ) − β 2 ( T R ) ) × β ˙ 2 ( T R ) ) C ( 1 − N 2 ( T R ) ⋅ β 2 ( T R ) ) 3 | R 1 ( T ) − R 2 ( T R ) | ]

M 2 R ¨ 2 ( T ) = μ 0 C 2 Q 1 Q 2 4 π ( 1 + [ R ˙ 2 ( T ) × [ N 1 ( T R ) C × ] ] )

[ N 1 ( T R ) − β 1 ( T R ) γ 1 2 ( T R ) ( 1 − N 1 ( T R ) ⋅ β 1 ( T R ) ) 3 | R 2 ( T ) − R 1 ( T R ) | 2 + N 1 ( T R ) × ( ( N 1 ( T R ) − β 1 ( T R ) ) × β ˙ 1 ( T R ) ) C ( 1 − N 1 ( T R ) ⋅ β 1 ( T R ) ) 3 | R 2 ( T ) − R 1 ( T R ) | ]

Wo N 2 ( T R ) = R 1 ( T ) − R 2 ( T R ) | R 1 ( T ) − R 2 ( T R ) | , β 2 ( T R ) = R ˙ 2 ( T R ) C Und γ 2 ( T R ) = 1 1 − | β 2 ( T R ) | 2 , und ähnlich für N 1 ( T R ) , β 1 ( T R ) Und γ 1 ( T R ) . Die verzögerte Zeit ist implizit durch die Gleichung definiert T R = T − 1 C | R 1 ( T ) − R 2 ( T R ) | . Ich habe die Notation leicht missbraucht, indem ich die Kreuzproduktbegriffe "ausklammerte", um zu vermeiden, dass Dinge dupliziert werden. Hoffentlich ist dies klar genug.

Dies kann auf ein System von verallgemeinert werden N geladene Teilchen in ähnlicher Weise. Ich habe die Berechnungen aufgrund der offensichtlichen Komplexität der resultierenden Bewegungsgleichung nicht selbst durchgeführt, aber im Prinzip könnte man überprüfen, ob die Lösungen dem entsprechen, was vorhergesagt wird, wenn das Elektron spiralförmig in den Kern hinunterfährt, oder ob es zu etwas Ähnlichem führt elliptische Bahnen.

Meine Intuition sagt mir, dass wir nicht die Art von Abwärtsspirale beobachten werden, die vorhergesagt wird, wenn man annimmt, dass in diesem Aufbau Energie in den elektrischen Feldern im gesamten Raum gespeichert ist. Stattdessen betrachten wir die E Und B Felder als nützliche mathematische Abstraktionen, um den oben gegebenen Ausdruck in besser handhabbare Komponenten zu vereinfachen. Die Interpretation des Poynting-Vektors wäre eine Energieflussdichte, die nur dann existiert, wenn andere Ladungen vorhanden sind, die durch die Felder beschleunigt werden. Insbesondere das atomare Stabilitätsproblem würde das Vorhandensein zusätzlicher Ladungen in der Nähe des Wasserstoffatoms erfordern, was offensichtlich als Mehrkörperproblem die Bahn des Elektrons durch zusätzliche Kraftterme beeinflussen würde. In diesem Szenario würde es eine Energieübertragung zwischen dem Elektron und anderen Ladungen in der Nähe geben. Aber selbst dann ist nicht klar, dass das Elektron automatisch Energie verliert, weil die nahen Teilchen wiederum strahlen und mit der Bewegung des Elektrons koppeln.

Wir können die obigen Gleichungen vereinfachen, indem wir annehmen, dass die Masse von Teilchen 2 sehr groß ist, so dass es in einem Trägheitsbezugssystem effektiv stationär bleibt und sich am Ursprung befindet. Dann vereinfachen sich die obigen Gleichungen stark und wir haben die folgende Bewegungsgleichung für Teilchen 1 (mit R 2 ( T ) = 0 ):

M 1 R ¨ 1 ( T ) = μ 0 C 2 Q 1 Q 2 4 π R 1 ( T ) | R 1 ( T ) | 3

das ist nur die Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens, das sich in einem elektrostatischen Potential mit der Coulomb-Kraft bewegt. Dieses einschränkende Modell ist formal identisch mit dem Modell eines Planeten, der ein massives Objekt unter Newtonscher Gravitation umkreist, und wir haben eindeutig elliptische Umlaufbahnen. Daher wäre es falsch zu behaupten, dass der klassische Elektromagnetismus Instabilitäten des Atoms vorhersagt (zumindest in diesem Grenzfall mit sehr massiven Kernen), wenn wir die angeblich in den EM-Feldern gespeicherte Energie nicht berücksichtigen. Außerdem wird das Selbstenergieproblem eines geladenen Teilchens beseitigt (die Integration der "Energiedichte des elektrischen Felds" über alle Räume ergibt ein unendliches Ergebnis, was einfach eine bedeutungslose Berechnung wäre, da in einem solchen Feld keine tatsächliche Energie gespeichert ist). .

Ich hoffe, das, was ich oben gesagt habe, war ausreichend klar, und ich wäre neugierig, ob Lösungen für die von mir beschriebenen Bewegungsgleichungen berechnet (oder etwas angenähert) wurden, um klassische Umlaufbahnen eines Elektrons um den Kern vorherzusagen.

Beachten Sie auch, dass ich die Gültigkeit der Quantenmechanik und detaillierterer Materietheorien nicht in Frage stelle. Ich frage mich nur, ob das spezifische Problem der atomaren Instabilität, das angeblich von der klassischen Elektromagnetik vorhergesagt wird, nur aufgrund der angenommenen Existenz von elektromagnetischen Feldern entsteht, die Energie tragen, oder ob eine feldfreie Formulierung der Elektromagnetik unter Verwendung der obigen Bewegungsgleichungen ebenfalls diesem Problem unterliegt . Ich bin sicher, dass es andere Probleme gibt, die dieses Modell nicht lösen kann, wie etwa die Existenz diskreter Atomemissions- und -absorptionsspektren. Aber die wichtige Beobachtung, die ich machen wollte, ist, dass wir ausgehend von den klassischen Maxwell-Gleichungen und der Lorentz-Kraft das Liénard-Wiechert-Potential ableiten können und dann die expliziten Bewegungsgleichungen oben ableiten und schließlich die Existenz von vergessen können E Und B Felder. Dies führt zu einem klassischen Modell eines Zweikörperatoms mit stabilen Bahnen.

Dies scheint keine Frage zu sein.
Die Frage ist, ob dieses klassische Modell die Instabilität des Atoms vorhersagt und ob es wirklich eine Folge des klassischen Elektromagnetismus ist.
Kommentare sind nicht für längere Diskussionen gedacht; Dieses Gespräch wurde nach den ersten Paaren, die für die Verbesserung der Frage relevant waren, in den Chat verschoben .
@Tob Ich glaube, dass hier irgendwo eine gute Frage steht, aber es ist ein wirklich langer Beitrag. Könnten Sie einige Details weglassen, um es etwas kürzer zu halten? Oder wenn es wirklich notwendig ist, viele Details zu haben, zumindest eine kürzere Zusammenfassung der Frage am Anfang, die die Leute lesen können, um ein klares Gefühl dafür zu bekommen, was Sie fragen, dann können Sie mehr Details eingeben danach.
Ich entschuldige mich, wenn ich zu ausführlich war. Ich ziehe es vor, alle meine Gedanken aufzuschreiben, um so viele Missverständnisse wie möglich auszuräumen. Ich hatte Angst, dass eine zu kurze Prägnanz dazu führen würde, dass die Leute falsche Annahmen über mein Problem treffen.
@DavidZ Ich habe am Anfang der Frage eine Zusammenfassung hinzugefügt. Ist das besser?
Das hilft auf jeden Fall. Danke! Es ist jetzt in Ordnung, aber ich denke, es könnte noch mehr helfen, ein wenig mehr Details in der Zusammenfassung zu haben , vielleicht ein oder zwei relevante Gleichungen. Es sollte sicher sein, Ihre Zusammenfassung etwa 50 % länger als jetzt zu machen, aber wahrscheinlich nicht viel länger.
Ich habe ein bisschen mehr Details hinzugefügt (erklärt, wie ich die Bewegungsgleichungen von Lorentz und Liénard-Wiechert bekomme).
Ich wäre überrascht, wenn sich die Gleichungen wirklich bis zu dem vereinfachen, was Sie sagen, dass sie einfach im Limit funktionieren M 2 >> M 1 . Wohin geht zum Beispiel der große Klammerbegriff? Wie verschwindet die verzögerte Zeit aus den Gleichungen?
@jacob1729 Ich habe in einigen Kommentaren, die in den Chat verschoben wurden, etwas ausführlicher erklärt, wie ich das Limit begründet habe (siehe den dritten Kommentar oben).

Antworten (5)

Das wesentliche konzeptionelle Problem in Ihrer Behandlung ist die Tatsache, dass Sie davon ausgehen, dass die Strahlung irgendwie ausschließlich aus Teilchen hervorgehen sollte A wirkt auf Teilchen B . Das stimmt nicht, die Strahlung (und Strahlungsreaktion) kommt vom Teilchen B auf sich wirken! Um dies zu verstehen, müssen Sie überlegen A Und B zunächst endliche Körper zu sein. Dann tritt die Strahlung schematisch auf als:

  1. alle Ladungen im Körper B ihr eigenes elektromagnetisches Potential auf ihren Nullkegeln "aussenden". | R → − R → B | − C T = 0 ,

  2. Körper A beschleunigende Ladungen im Körper B ,

  3. und schließlich die beschleunigten Ladungen darin B Wechselwirkung mit einem Teil des elektromagnetischen Potentials von innen B (Punkt 1.)!

(Sie können tauschen B Und A um die Strahlung von Teilchen zu bekommen A sowie.)

Wenn sich der Staub gelegt hat, können Sie eine Begrenzung der Körpergrößen auf Null nehmen und Sie erhalten die berühmte Abraham-Lorentz-Dirac- Kraft, die auf beide wirkt A oder B :

F μ A L D = μ Ö Q 2 6 π M C [ D 2 P μ D τ 2 − P μ M 2 C 2 ( D P v D τ D P v D τ ) ]

Dennoch ist die Ableitung dieses Ergebnisses sowohl konzeptionell als auch technisch bekanntermaßen herausfordernd. Der Grund dafür ist, dass Sie den Körper behandeln B Als unendlich kleines Teilchen sollte es nicht in der Lage sein, mit Daten auf seinem eigenen Lichtkegel zu interagieren, denn das würde bedeuten, dass es sich jenseits der Lichtgeschwindigkeit bewegt! Andererseits liegt das Teilchen an einem eigenen Lichtkegel an T = 0 Und R → = R → B , und das Potential und die Lorentzkraft divergieren genau an dieser Stelle!

Der einzige Weg, dies streng zu lösen, besteht darin, wie oben bereits erwähnt, anzunehmen, dass die fraglichen Körper von endlicher räumlicher Ausdehnung und endlicher Ladungsdichte sind. Dann nehmen Sie die Grenze der Größe, die auf Null geht. Dies wurde 2009 von Gralla, Harte & Wald sorgfältig überarbeitet , und ich empfehle dieses Papier für weitere Informationen. (Der Grund, warum dieses Thema in letzter Zeit verstärktes Interesse gefunden hat, ist die Tatsache, dass Gravitationswellen-Inspiralen kleiner astrophysikalischer Objekte mit stellarer Masse in supermassereiche Schwarze Löcher genau in der Näherung eines "selbst erzwungenen Teilchens" behandelt werden können, siehe Barack & Pound , 2018 .)

Sie können die Larmor-Formel aus einer bestimmten störungsbezogenen Annäherung der ALD-Kraft ableiten, die als Ordnungsreduktion bezeichnet wird. Zuerst nimmst du die D P μ / D τ für das Teilchen ohne Strahlungsreaktion und fügen Sie es ein F μ A L D . Dann ist die Larmor-Formel genau die Rate, mit der diese Kraft dem Teilchen Energie entzieht.

EDIT: Eine breitere historische Diskussion

Jan Lálinský erinnerte mich daran, dass es Formulierungen der klassischen Elektrodynamik gibt, die 1) mit den meisten Vorhersagen der Maxwell-Gleichungen in der Kontinuumsgrenze übereinstimmen (bei einem bestimmten Postulat des „absorbierenden Universums“) und 2) wo das „Punktteilchen“ nicht das ist Grenze eines endlichen Körpers und verspürt keine Eigenkraft. Eine kurze Übersicht über diese "Schwarzschild-Tetrode-Fokker(-Frenkel)" (STF)-Elektrodynamik wurde 1949 von Wheeler & Feynman gegeben .

Je nachdem, wie genau Sie das „Absorber-Universum“, das quasi-neutrale Ensemble von Teilchen weit entfernt von Ihrem System, umsetzen, ist auch das planetare Atom in der STF-Elektrodynamik meist instabil. Dies liegt daran, dass die Energie dem Atom durch das Ensemble weit entfernter Teilchen gestohlen und (wenn auch möglicherweise langsamer) dissipiert wird. Einerseits ist dies eine nette „Machianische“ Variante der Elektrodynamik, da der Begriff des Feldes aus den physikalischen Teilchen hervorgeht und die Teilchen keine Energie ausstrahlen würden, wenn es keine anderen Teilchen gäbe, an die sie die Energie weiterleiten könnten . Auf der anderen Seite neigt die STF-Elektrodynamik dazu, merkwürdige nicht-lokale Eigenschaften zu haben, wie zum Beispiel, dass das Absorberuniversum vor einer unendlichen Zeit von einer Aktion auf das Teilchen „weiß“.Die Aktion selbst tritt auf! Das macht die Theorie für mich physikalisch unbefriedigend.

Betrachten Sie das folgende Beispiel eines Pulsars , dessen Puls wir detektieren und dessen Rotationsgeschwindigkeit sich infolge des Strahlungsenergieverlusts verlangsamt. In der Mainstream-Elektrodynamik sprechen wir über elektromagnetische Wellen, die vom Pulsar Äonen lang durch den Weltraum reisen, als unabhängige energietragende Einheiten, während die STF-Theorie diesem Bild widerspricht. Während in der Mainstream-Elektrodynamik die Welle dem Pulsar die Energie entzog und ihn dazu brachte, seine Rotationsgeschwindigkeit zu verlangsamen, wird der Pulsar in der STF-Theorie verlangsamt (oder nicht), dank der Tatsache, dass er "weiß", dass energieaufnehmende Objekte wie z denn deine Antenne wird in tausend Jahren da sein!!!

Letztendlich sind sowohl die üblichen Teilchen+Feld- als auch die STF-Theorien falsch, und die korrekte Theorie der Elektrodynamik fundamentaler Punktteilchen ist die Quantenelektrodynamik (und letztendlich noch mehr das Standardmodell), daher ist dies eher eine akademische Diskussion. Ich finde das STF-Bild jedoch grob undidaktisch im Vergleich zum Verständnis der klassischen Elektrodynamik als Theorie des elektromagnetischen Feldes, das von endlichen Kontinua stammt, die wir manchmal auf ungefähre Punktteilchen beschränken.

Das ist sehr interessant, also sollte ich bei der Analyse wirklich die endliche Ausdehnung der geladenen Körper berücksichtigen, bevor ich irgendwelche Grenzen nehme? Ich denke, diese Art der Berechnung wird viel komplizierter sein, ich werde versuchen, den von Ihnen erwähnten Papieren zu folgen.
Ich weiß, dass man im Gravitationsfall kugelförmige Körper als Punktteilchen in der Region außerhalb ihres Radius behandeln kann, daher würde ich nicht intuitiv erwarten, dass dies qualitativ unterschiedliche Ergebnisse liefert, aber ich denke, die elektromagnetischen Gleichungen könnten sich aufgrund der unterschiedlich verhalten endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit.
@TobErnack: Die gravitative Eigenkraft tritt nicht in der Newtonschen Gravitationstheorie auf, sondern nur in der relativistischen Gravitation (allgemeine Relativitätstheorie), wo die Lichtgeschwindigkeit auch eine Grenze für die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Feldes darstellt. Sie können die elektromagnetische Eigenkraft auch auf andere, weniger strenge Weise ableiten. Eine davon besteht darin, die Hälfte der fortgeschrittenen plus die Hälfte der verzögerten Liénard-Wiechert-Potentiale zu nehmen, die von erzeugt werden B , und berechnen Sie die Lorentzkraft, auf die das Feld wirkt B sich von ihnen. Die Unendlichkeiten heben sich auf und Sie erhalten die ALD-Kraft.
> "Das ist nicht wahr, die Strahlung (und Strahlungsreaktion) kommt von dem Teilchen, das auf sich selbst einwirkt!" Dies ist richtig, soweit wir über erweiterte kostenpflichtige Distributionen sprechen. Aber nicht unbedingt für Punktladungen - es gibt konsistente Theorien von punktgeladenen massiven Teilchen, die frei von Selbstwechselwirkung sind, wie die Tetrode-, die Fokker- und die Frenkel-Formulierung.
@JánLalinský Ich stimme zu, dass Sie, sobald Ihre Partikel wirklich Partikel sind, eine Büchse der Pandora öffnen und ihnen viele mögliche Bewegungsgleichungen zuschreiben können, die sogar in Dinge wie Aktionsprinzipien eingebettet werden können. Aber ich denke, dass die von Ihnen erwähnten Theorien weder 1) grundsätzlich richtig, 2) praktisch für ungefähre Berechnungen, noch 3) gut für den Unterricht zu diesem Thema sind. Also im Prinzip ja, aber das war es auch schon. Ich habe eine Bearbeitung zu diesem Effekt hinzugefügt.
@Void Ich stimme zu, dass die auf Absorberbedingungen basierenden Theorien kein guter Kandidat für einen Graduiertenkurs zur EM-Theorie sind, sie sind nicht sehr plausibel. Die Absorberbedingung wurde jedoch später von Wheeler und Feynman eingeführt und ist überhaupt nicht notwendig, um die Punktteilchentheorie zu formulieren. In der Version von Frenkels Formulierung mit rein retardierten Feldern (er selbst betrachtete Summe aus halb fortgeschrittenem, halb retardiertem Feld) ist der Strahlungswiderstand einer Antenne eine Folge der gegenseitigen retardierten Kräfte der geladenen Teilchen, die aufeinander einwirken, eine höchst natürliche Bild.
Ich denke, der Strahlungswiderstand könnte als die Tatsache angesehen werden, dass die Lagrange-Funktion des Systems geladener Teilchen, die sich in der Antenne bewegen, möglicherweise zeitasymmetrisch ist (aus dem von Ihnen angegebenen Grund), was zu einer Verletzung der Energieerhaltung führt. Um die lokal periodische Bewegung (in der Antenne) aufrechtzuerhalten, muss daher Energie von dem mit der Antenne verbundenen Stromkreis zugeführt werden, was zu dem beobachteten Strahlungswiderstand führt. Man könnte sagen, dass dann innerhalb der Antenne lokal Energie gespart wird, aber das Gesamtsystem inklusive der Schaltung verliert wieder Energie, was als Strahlung interpretiert wird.

John Lighton Synge hatte eine ähnliche Idee und analysierte numerisch die Bewegungsgleichungen für zwei entgegengesetzt geladene Teilchen beliebiger Massen, bei denen nur retardierte EM-Kräfte vorhanden sind.

JL Synge, Zum elektromagnetischen Zweikörperproblem. , Proc. Roy. Soc. A 177 118–39 (1940)

https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rspa.1940.0114

Er stellte fest, dass das System immer noch zusammenbricht, aber je größer der Massenunterschied ist, desto langsamer geschieht dies. Für das Wasserstoffatom stellte sich heraus, dass die Zeit des Zusammenbruchs hundertmal länger war als die Zeit, die naiv aus der Larmor-Formel erhalten wurde.

Der Zusammenbruch ist auf eine einfache, aber vielleicht zu einfache Annahme zurückzuführen: dass die auf ein Teilchen wirkende Kraft nur eine verzögerte EM-Kraft aufgrund des anderen Teilchens ist. Da die Bewegung der Partikel antikorreliert ist (wenn sich eines nach links bewegt, bewegt sich das andere nach rechts), strahlt das System EM-Energie ab.

Wenn wir in den Modellhintergrund EM-Strahlung einführen, die auf beide Teilchen wirkt (zusätzliche Kräfte), ist der Kollaps nicht mehr unvermeidlich, da die abgestrahlte Energie durch die Hintergrundstrahlungskräfte geliefert werden kann. Dazu gibt es einige Abhandlungen - mehr dazu siehe auch meine Antwort hier:

Das klassische elektrodynamische Atom

Das ist auch eine nette Antwort. Ich habe auch über einige numerische Lösungen für die von mir erwähnten Gleichungen nachgedacht, also bin ich froh, dass jemand anderes die Arbeit vorher gemacht hat. Ich schätze also, der Zusammenbruch würde aus der Tatsache resultieren, dass die Kraft aufgrund ihrer komplizierten Abhängigkeit von der verzögerten Zeit weder zentral noch konservativ ist?
Ich denke, die Tatsache, dass sich der Kollaps mit zunehmender Masse des Kerns zeitlich weiter wegbewegt, bestätigt, dass meine Berechnungen richtig sind und dass der Grenzfall stabile Umlaufbahnen ergibt. Aber da die Massen in Wirklichkeit endlich sind, werden die Kräfte nur noch viel komplizierter und der Zusammenbruch wird unvermeidlich.
Im Nachhinein erkenne ich, dass dies vielleicht offensichtlich hätte sein sollen. Energie- und Impulserhaltung ergeben sich in der Regel aus konservativen und zentralen Kräften. Wenn man es also mit den seltsamen Kräften zu tun hat, die von EM ausgehen, ist es wahrscheinlich, dass diese Eigenschaften einfach nicht gelten. Um also Energie und Impuls zu erhalten, schließen wir diese Strahlungsterme ein, die "aus dem System herausgehen". Tatsächlich denke ich, dass diese Antwort direkter auf die Fragen eingeht, die ich hatte (um nichts von der großartigen Antwort von Void wegzunehmen), also werde ich sie wahrscheinlich akzeptieren.
Ich denke, es sollte klar gesagt werden, dass das Beispiel von Synge Energie aus dem Nichts macht, wie Synge selbst in der Einleitung des Papiers zugibt . Sie können dies sehen, indem Sie das Maxwell-Feld berechnen, das von den Partikeln stammt. In der Null-Masse-Verhältnis-Grenze ist es sogar ein Perpetuum Mobile, das seine Umgebung auf ewig mit Strahlungsenergie versorgt.
@Void Synge sagt eigentlich etwas anderes. Er stellt klar, dass die Energie nicht erhalten bleibt, wenn der übliche Spannungs-Energie-Tensor [auf den Poynting-Formeln - basierend] angenommen wird , sondern dass es eine Erhaltung geben würde, wenn ein modifizierter Energie-Tensor verwendet würde. Dieser modifizierte Tensor, von dem er sprach, wäre im Wesentlichen derselbe wie der, den Frenkel in seiner Arbeit von 1925 eingeführt hat, basierend auf den Lorentz-Kraft-Termen in den Bewegungsgleichungen ohne Eigenkräfte. Synge war wahrscheinlich nicht vertraut oder entschied sich, Frenkels Arbeit nicht zu erwähnen, als er seine Arbeit oben beendete.
@Void, danke übrigens für den Link zu Synges Papier, ich habe es der Referenz in meiner Antwort hinzugefügt.
Literaturhinweis zu den früheren Arbeiten zum „modifizierten Energietensor“: J. Frenkel, Zur Elektrodynamik punktförmiger Elektronen , Zeits. F. Phys., 32, (1925), p. 518-534. dx.doi.org/10.1007/BF01331692
@Void, natürlich kann das System von Punktteilchen, die sich durch umgekehrte quadratische Kraft anziehen, im Prinzip eine unbegrenzte Menge an Energie freisetzen, indem es sich willkürlich nahe aneinander nähert.
Ich halte eine Verletzung des Energieerhaltungssatzes nicht unbedingt für einen Widerspruch zum Modell. Die Energieerhaltung kann (je nachdem, wie Energie definiert wird) entweder als empirische Tatsache oder als Tautologie angesehen werden. Für den Fall, dass Energie als explizite Funktion der Flugbahn der Teilchen definiert wird, wäre das Ergebnis von Synge, dass die Energie nicht erhalten bleibt, was zum Kollapsproblem führt. Aus tautologischer Sicht bleibt Energie immer erhalten, was die Existenz von Energie impliziert, die woanders hingeht, was wir "Strahlung" nennen.
Ich könnte mich auch irren, aber wenn die Anfangsbedingungen nicht speziell so gewählt werden, dass sie zu einer Kollision führen, würde die Energieabgabe nicht unendlich werden. Auch der Standpunkt, dass das System Energie für immer abstrahlt, muss den Energieverlust im Teilchensystem selbst berücksichtigen, damit sich die Dinge ausgleichen. Ich denke, das Problem ist, dass die empirische Tatsache, dass das Atom nicht kollabiert, einfach zeigt, dass Maxwell + Lorentz-Kraft + Punktteilchen + verzögerte Kräfte kein genaues Modell des Atoms sind. Aber im Prinzip hätte es richtig sein können, wenn die experimentellen Ergebnisse anders gewesen wären.
Für den Grenzfall des Massenverhältnisses Null zitiert Synge Sommerfelds Arbeit, wo er auch zu dem Schluss kam, dass die Flugbahnen nicht "entartet" sind (was meiner Meinung nach bedeutet, dass er stabile Umlaufbahnen hatte). Bei der Definition von Energie als explizite Funktion der Flugbahnen der Teilchen würde er vermutlich zu dem Schluss kommen, dass die Energie tatsächlich erhalten bleibt und dass keine zusätzlichen Strahlungsterme mehr erforderlich sind (für diesen speziellen Grenzfall, der eindeutig ist unphysikalisch, aber konsistent). Sie würden ein Perpetuum Mobile erhalten, wenn Sie sich dennoch dafür entscheiden würden, hypothetische Strahlungsbedingungen hinzuzufügen.
Dass das Atom nicht kollabiert, passiert auch im Punktteilchenmodell, wenn die Hintergrundstrahlung berücksichtigt wird. Aber nur zwei Teilchen im Universum, die keine anderen EM-Felder als diese beiden erzeugen, werden kollabieren.

Dieses Thema interessiert mich seit langem, und nach allem, was ich finden kann, scheint mir, dass die Theorie der elektromagnetischen direkten Teilchenwechselwirkung nicht weit genug entwickelt ist, um Ihre Frage zu beantworten. Der Grund dafür ist, dass die Gleichungen, mit denen Sie arbeiten, nicht irgendeine Art von ODEs sind, sondern Verzögerungsdifferentialgleichungen. Soweit ich weiß, gibt es keine allgemeine Lösung von 2 Teilchen, die auf diese Weise für 2 Dimensionen oder mehr direkt interagieren. Ich denke, in 1 Dimension hat das Problem nur dann eine globale Lösung, wenn die Ladungen das gleiche Vorzeichen haben (obwohl ich mich irren könnte und der attraktive Fall auch gelöst werden könnte).

Ich habe eine Gruppe gefunden, die diese Frage auf interessante Weise angeht. Sie arbeiten mit einem Formalismus, bei dem sie eine direkte Teilcheninteraktion entlang des Lichtkegels UND die Maxwellschen Gleichungen für das Feld annehmen (in denen die Felder eindeutig durch die Flugbahnen der Teilchen und nicht durch unabhängige, dynamische Freiheitsgrade vorgegeben sind). Sie haben einige Ergebnisse, die zeigen, dass einige Lösungen für dieses System auch Lösungen für das direkte Teilchenwechselwirkungssystem sind. Ihr Ansatz ist sehr mathematisch, aber ich werde hier Links zu ihrer Arbeit für Ihr Interesse bereitstellen, obwohl ich nicht qualifiziert bin, ihren Ansatz zu überprüfen: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8113/49/44/ 445202/pdf https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03605302.2013.814142 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039616000243 https://arxiv.org/abs/1603.05115

Aus meiner Lektüre der Dinge: Wenn Sie ein Universum von nur zwei Teilchen betrachten, wären ihre Umlaufbahnen völlig stabil. Jede Instabilität kommt von der Wechselwirkung des Zwei-Teilchen-Systems mit einem größeren Bad aus vielen, vielen Teilchen. Dieses Phänomen kann durch die Dirac-Abraham-Lorentz-Kraft erfasst werden, die aus diesen komplizierten Vielteilchen-Wechselwirkungen entsteht. In der Standardtheorie kann dies als eine Art Fudge-Faktor zu Maxwells Gleichungen hinzugefügt werden, aber dabei werden eine Menge Komplikationen eingeführt, und die resultierenden ODEs sind mathematisch möglicherweise nicht gut aufgestellt. Nichtsdestotrotz bildet die Standard-Maxwell-Lorentz-Theorie die Grundlage der Quantisierung, die zu QED führt, aber man kann stattdessen direkte Teilchentheorien quantisieren.

Die Instabilität entsteht hauptsächlich aufgrund des Fehlens von anderen als verzögerten Kräften. Es gibt eine numerische Lösung der Verzögerungsgleichungen für rein verzögerte Kräfte von JLSynge, siehe meine Antwort. Dann haben selbst zwei Teilchen allein keine stabilen Bahnen. Wenn die Kräfte halb verzögert, halb vorgerückt sind, kann es stabile Umlaufbahnen geben (dies wurde 1924 von Leigh Page untersucht, siehe journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.24.296 ).
Das Vorhandensein ausschließlich verzögerter Kräfte ist eine Folge der Wechselwirkung mit vielen anderen Teilchen. Es macht keinen Sinn, ein Zwei-Teilchen-Universum mit ausschließlich retardierten Kräften zu betrachten. Ich habe vor einiger Zeit eine interessante Analyse zu dieser Annahme auf arxiv I gelesen: arxiv.org/abs/1501.03516 Ich denke, es gibt modernere Beweise für die Existenz stabiler Umlaufbahnen für bestimmte Anfangsdaten, aber ich erinnere mich ehrlich gesagt nicht. Ich glaube nicht, dass es Beweise für die Existenz von Lösungen für alle Sätze von anfänglichen Flugbahndaten in 3 räumlichen Dimensionen gibt.
> "Es macht keinen Sinn, ein Zwei-Teilchen-Universum mit ausschließlich retardierten Kräften zu betrachten." Inwiefern macht es keinen Sinn? Es macht durchaus Sinn als Modell am Computer zu simulieren.
Innerhalb der Absorbertheorie von Wheeler Feynman wird ein Universum aus zwei Teilchen und sonst nichts halb fortgeschrittene, halb verzögerte Kräfte haben. Vollständig verzögerte Kräfte sind nur eine Folge der Wechselwirkungen mit dem Absorber (bestehend aus den restlichen Teilchen des Universums in einer sehr spezifischen thermodynamischen Anordnung). Mein ursprünglicher Kommentar in der Antwort bezog sich auf das hypothetische Universum von nur zwei Teilchen, das ist der Kontext für diese ganze Fragestellung.
Was die Wheeler-Feynman-Absorbertheorie betrifft, haben Sie Recht, aber ich denke, die ursprüngliche Frage konzentrierte sich nicht auf diese Theorie.
Ja, Sie haben Recht, die Frage ist umfassender. Ich habe versucht hervorzuheben, dass das rein verzögerte Modell mit vielen Annahmen beladen ist. Ich habe es in die WF-Theorie eingebettet, um es zu klären, aber vielleicht war das nicht der richtige Ansatz. Es ist einfacher darauf hinzuweisen, dass das rein verzögerte Modell die (mikroskopische) Zeitsymmetrie verletzt.

Ich stimme der Antwort von Void zu, aber ich biete eine andere Seite an: Indem Sie die Masse eines Teilchens viel größer als die des anderen nehmen, haben Sie am Ende eine Ladung, die die gesamte Strahlung unter dem Einfluss des statischen Coulomb-Feldes übernimmt das andere: Ihr Modell eines Elektrons, das einen Kern umkreist, hat die gleiche Bewegungsgleichung wie ein kleiner Körper, der einen viel größeren Körper in einem Newtonschen Gravitationssystem umkreist. Ihr Modell sagt keine Spirale in den Kern voraus, da Sie die Standard-Lorentz-Kraft ohne den Strahlungsdämpfungsterm verwendet haben. Es ist mathematisch korrekt, verletzt aber die Energie- und Impulserhaltung des gesamten Systems, wenn die Strahlung signifikant ist.

Dirac 1 ging dieses Problem an, indem er eine Bewegungsgleichung für eine sich willkürlich bewegende Ladung herleitete, wobei die lokale Energie- und Impulserhaltung für eine die Ladung umgebende Röhre verwendet wurde:

1 / 2 Q 2 ϵ − 1 v ˙ μ − Q v v F μ v = B ˙ μ

Wo Q ist die Ladung, ϵ der Radius des Rohres, v die Vierergeschwindigkeit, F das an die Ladung gebundene Feld, B ein unbestimmter Vierervektor.

Um weiter zu kommen, musste er weitere Annahmen darüber treffen, wie einfach die Gleichung wahrscheinlich sein würde, und eine negative Masse hinzufügen, um den Coulomb-Beitrag zur elektromagnetischen Masse zu kompensieren → ∞ als ϵ → 0 , bekommen:

M v ˙ μ − 2 / 3 Q 2 v ¨ μ − 2 / 3 Q 2 v ˙ 2 v μ = e v v F μ In v

Die Ableitung von Dirac hat den Vorteil, dass die Struktur der Ladung und die Poincare-Betonungen, die sie zusammenhalten, ignoriert werden; im Gegensatz zu früheren Modellen von Lorentz, Abraham und Schott. Es hat jedoch Probleme mit Vorbeschleunigung und Kausalität, was dazu führt, dass es durch die Landau-Lifshitz-Gleichung modifiziert wird.

[1] Dirac, PAM Proc. R. Soc. London A 167, 148 (1938).

Das Modell mit nur interpartikulären EM-Kräften verstößt nicht gegen die Energieerhaltung, wenn die Energie richtig definiert ist (basierend auf den tatsächlichen Bewegungsgleichungen). Es gibt ein Problem mit der Poynting-Energie in dem Sinne, dass sie unendlich ist, aber das ist kein Problem des Modells, da das Poynting-Theorem für Punktteilchen nicht wirklich relevant ist. Die richtige Energiedefinition auf der Grundlage von Bewegungsgleichungen wurde von Frenkel in seinem Aufsatz J. Frenkel, Zur Elektrodynamik punktförmiger Elektronen , Zeits. F. Phys., 32, (1925), p. 518-534. dx.doi.org/10.1007/BF01331692
Dirac hat das Problem mit den unvollkommenen Bewegungsgleichungen für geladene Körper mit einer räumlichen Ausdehnung ungleich Null angesprochen, und dort ist sein Ergebnis als Schätzung der EM-Eigenkraft in Ordnung. Seine Formeln haben jedoch keine vernünftige Grenze für Punktgebühren. Da ist Frenkels Ansatz viel besser.
Gibt es eine englische Übersetzung von Frenkels Aufsatz?
@TobErnack nicht, dass ich wüsste.
@TobErnack hier gibt es eine aktuelle englische Übersetzung von Prof. DH Delphenich
Danke, interessant, dass es endlich jemand übersetzt hat!

Die vollständigen Gleichungen sind kompliziert, also nehme ich eine Grenze, wenn die Masse des Kerns gegen unendlich geht, und (vorausgesetzt, meine Berechnungen sind korrekt) erhalte ich eine einfachere Bewegungsgleichung, die formal mit der der Planetenbewegung um die Sonne identisch ist. Dies sagt für die meisten Anfangsbedingungen elliptische Trajektorien voraus.

Aus einem Kommentar des OP:

Die Frage ist, ob dieses klassische Modell die Instabilität des Atoms vorhersagt und ob es wirklich eine Folge des klassischen Elektromagnetismus ist

Im Folgenden wird der Stabilitätsteil behandelt:

Die grundlegende Frage ist, ob die Lösungen, die Sie finden, stabil oder metastabil sind, dh eine kleine Störung, wie Strahlung im Feld des anderen, oder atomare Schwingungen, wird das Elektron zum Kern hinunter schicken.

(Ich erinnere mich, dass in den klassischen Lösungen metastabile Zustände existieren können, kann aber die Referenz nicht finden.)

Aus einem Blick durch Ihre Ableitung kann ich nicht verstehen, was Sie mit Strahlung machen, dh wie Sie Ihre Lösung stören könnten, um zu sehen, ob sie stabil oder metastabil ist. Strahlung ist eine experimentelle Tatsache. Eine Ladung strahlt beim Beschleunigen in einem Feld Energie im elektromagnetischen Spektrum ab. Dies ist eine experimentelle Tatsache. Wo ist Strahlung in Ihren Formeln?

Bohr erhielt Planetenlösungen, musste aber eine Quantisierung des Drehimpulses auferlegen, um Stabilität zu haben. (Strahlung würde eine Drehimpulseinheit tragen)

Ich vermute, dass dies bei Ihren Lösungen der Fall ist, sie sind ohne Berücksichtigung der Strahlung metastabil.

Wo ist Strahlung in Ihren Formeln? Das OP versucht, dies aus seiner Arbeit hervorgehen zu lassen. Sie sagen nicht, dass es nicht wahr ist. Daher wäre die Annahme, dass Strahlung existiert, eine Art "Annahme dessen, was Sie zu beweisen versuchen".
@AaronStevens Ich glaube, du missverstehst es. Ein Modell, das das Quantenmodell ersetzen will, MUSS alle Daten beschreiben, und Strahlung tritt nicht um zwei Ladungen auf, es ist ein experimenteller Effekt, dass es um beliebige Ladungen in einer Umgebung beschleunigter Bewegung geht. Selbst wenn er also eine stabile Umlaufbahn findet, sollte bewiesen werden, dass sie auch gegen kleine Störungen stabil ist, ansonsten ist sie metastabil, und diese Metastanle sind auch in der klassischen aus Maxwell-Gleichungen bekannt.
Ich glaube nicht, dass das OP versucht, das Quantenmodell zu ersetzen. Das OP ist sich der experimentellen Tatsache der Strahlung bewusst und diskutiert dies nicht. Ich stimme dem zu, was Sie über stabile Umlaufbahnen sagen, aber dem OP zu sagen, dass sie die Strahlung berücksichtigen müssen, verfehlt den Zweck ihrer Frage vollständig.
@AaronStevens Ich habe klargestellt, auf welchen Teil sich meine Antwort bezieht
Aber Sie fordern immer noch, dass Strahlung in den Gleichungen berücksichtigt wird, während das OP möchte, dass Strahlung aus den Gleichungen hervorgeht
Tatsächlich hatte ich vor, den von mir erwähnten mechanistischen Ansatz zu untersuchen, um zu sehen, ob er zu den gleichen Ergebnissen führt, die durch Strahlungseffekte vorhergesagt werden. Ich wage nicht zu behaupten, dass Strahlung existiert oder nicht, aber ich möchte, dass die Auswirkungen aus dieser Analyse ableitbar sind. Vorausgesetzt natürlich, die Berechnungen sind korrekt und konsistent mit den Gleichungen von Maxwell und Lorentz.
So wie ich die Dinge verstehe, sollte der Strahlungseffekt irgendwie als zusätzlicher Kraftterm auftauchen, der in Voids Antwort erwähnt wurde (die Abraham-Lorentz-Dirac-Kraft). Meine eigenen Berechnungen hatten einen solchen Begriff nicht, also ist die Frage, warum das so ist.
Es könnte sein, dass das Kraftgesetz von Lorentz falsch ist (obwohl dies die Frage nicht wirklich beantworten würde, da es Teil der üblichen Postulate für klassische EM ist). Eine andere Möglichkeit wäre, dass einige meiner Berechnungen mathematisch falsch sind, was ich versucht habe zu überprüfen, aber ich habe noch keine offensichtlichen Fehler gefunden. Eine weitere Möglichkeit ist, dass die Annahmen von punktförmigen Teilchen und unendlicher Masse für den Kern wichtige Effekte vernachlässigen, was Void meiner Meinung nach vorschlägt.
Sagt der klassische Elektromagnetismus wirklich die Instabilität von Atomen voraus?
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