Simulation des Flüssigkeitsflusses mit der Euler-Gleichung

Zur ersten Hälfte Ihrer Frage: Ihr allgemeines Verständnis scheint richtig zu sein. Berücksichtigen Sie die Massendichte, um Ihre Frage zu beantworten, wie Sie feststellen können, ob sich Flüssigkeit in einer bestimmten Zelle befindet$m(x,y,t)$steht in einer leeren Zelle. Es ist einfach null. Dies wird bereits nahtlos von Ihrem Gleichungssystem gehandhabt.

Bezüglich der zweiten Hälfte Ihrer Frage ist dies ein sehr breites Thema. Die Simulation von Flüssigkeiten ist in der Regel schwierig, und es gibt viele Methoden, die in verschiedenen Situationen geeignet sind (zum Beispiel ist einer der beiden Algorithmen, mit denen ich am besten vertraut bin, sehr gut in der Auflösung von Stößen, aber nicht so gut in der Modellierung bestimmte Instabilitäten wie Rayleigh-Taylor, während die zweite gut bei Instabilitäten ist, aber schlecht zum Auflösen von Schocks). Anstatt zu versuchen, Ihnen eine große Einführung in das Thema zu geben, für die Sie wahrscheinlich einfach versuchen sollten, ein gutes Buch zu finden, zeige ich Ihnen ein Konzept, von dem ich hoffe, dass es Ihnen hilft, in die faszinierende Welt der numerischen Methoden einzusteigen.

Der klassische Ausgangspunkt für numerische Lösungen von Differentialgleichungen ist die Wärmegleichung in einer Dimension, weil sie einfach und relativ leicht zu lösen ist:

$$\frac{\partial u}{\partial t}-\alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$$

Betrachten Sie die zeitliche Ableitung. Eine mathematische Definition der Ableitung lautet:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$

Eine mögliche Näherung dieser Ableitung besteht darin, den Grenzwert nicht als zu nehmen$\Delta t\rightarrow0$, sondern einfach einen kleinen Wert auswählen$\Delta t$, geben:

$$\frac{\partial u}{\partial t}\approx\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$

Ein ähnlicher Ansatz kann für die räumliche Ableitung verwendet werden, um zu gelangen (eine von mehreren möglichen Annäherungen):

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\approx\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)}{\Delta x^2}$$

Wenn man all dies in die Wärmegleichung einfügt und ein wenig neu anordnet, erhält man:

$$u(x,t+\Delta t) = u(x,t) + \frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}\left[u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)\right]$$

Beachten Sie, dass der nächste Zustand des Systems (at$t+\Delta t$, auf der linken Seite) wird vollständig in Bezug auf den aktuellen Zustand des Systems ausgedrückt (at$t$) auf der rechten Seite. Sie können dies also auf einem Computer codieren und immer wieder neue Zustände mit entsprechend kleinen Auswahlmöglichkeiten auswerten$\Delta x$Und$\Delta t$um die Entwicklung des Systems zu erhalten.

Konzeptionell möchten Sie dasselbe mit Ihrem System von Euler-Gleichungen tun, aber natürlich sind die Gleichungen komplizierter (sie haben mehr Terme und mehr Felder, die Sie im Auge behalten müssen). Denken Sie daran, dass Sie mit einer numerischen Lösung IMMER eine Annäherung konstruieren, sodass Ihre Lösung per Definition einen Fehler enthält. Jetzt geht es darum, (1) zu verstehen, wie genau Ihre Annäherung ist, wann sie gültig, konvergiert usw. ist, und (2) zu versuchen, Ihre Fehler so gering wie möglich zu halten und gleichzeitig angemessene Kosten für Rechenressourcen zu zahlen. Das Beispiel, das ich gegeben habe, ist leicht zu verstehen und gibt für einige einfache Szenarien eine ungefähr richtige Antwort, ist aber im Allgemeinen notorisch schlecht konvergiert und weist große Fehler auf. Aber sobald Sie dieses grundlegende Beispiel verstanden haben, wird es viel einfacher sein, kompliziertere Lösungsschemata nachzulesen.