Bedeutung von 1dt√1dt\frac{1}{\sqrt{dt}} beim stochastischen Antrieb

Ich führe eine 2D-Flüssigkeitssimulation mit einem stochastischen Antrieb durch F in einem doppelt periodischen Kasten, dh Lösen

∂ ∇ 2 ψ ∂ T = J ( ψ , ∇ 2 ψ ) + F ,
Wo J ist eine Poisson-Klammer.

Der Zwang, den ich gewählt habe, ist von der Form

F = ∑ k , l C Sünde ⁡ ( k X + a k ) Sünde ⁡ ( l j + β l ) ,
wo die Wellenzahlen k Und l werden aus einem dünnen Kreisring ausgewählt, der bei zentriert ist k F (ein gemeinsames Rezept) und a k Und β l sind Phasen, die gewissermaßen stochastisch sind (dazu später mehr). (Wenn k = 0 oder l = 0 man braucht eine etwas andere Behandlung, aber das ist ein kleines Detail).

Das kann man zeigen ∫ D 2 X ψ ∂ ∇ 2 ψ ∂ T = − ∂ E ∂ T Wo E ist die gesamte kinetische Energie. Wir können dies verwenden, um die Energieinjektionsrate aus dem Antrieb zu berechnen:

ε = − ⟨ F ξ ⟩ = N C 2 4 k F 2 ,
Wo ∇ 2 ξ = F Und N ist die Anzahl der Wellenvektoren im Kreisring. Dies motiviert die Wahl C = 2 k F ε N .

Nun müssen wir eine zeitliche Korrelation für das Forcieren vorschreiben. Die Standardauswahl ist weißes Rauschen, dh F zeitlich deltakorreliert ist. In (zum Beispiel) Anhang A von Srinivasan und Young (2012) wählen die Autoren die Phasen iid aus einer gleichmäßigen Verteilung aus und behaupten, dass der Antrieb normalisiert werden muss 1 / δ T ( δ T der Zeitschritt des Integrationsalgorithmus ist), um sicherzustellen, dass er deltakorreliert ist. Dies wirft zwei Fragen auf, mit denen ich zu kämpfen habe:

  1. Wie genau führt dies zu einem Delta-korrelierten Antrieb? Ich habe einige Probleme, es analytisch zu zeigen.
  2. Was ist nun mit der Energieinjektionsrate? Ändert es sich nicht um den Faktor 1/ δ T ? Und sind die Abmessungen jetzt nicht beeinträchtigt?

Darüber hinaus muss, wie im selben Anhang ausgeführt wird, in einem Runge-Kutta-Algorithmus das Erzwingen während des Verlaufs eines Zeitschritts einigermaßen glatt gehalten werden, so dass sie in diesem Papier die Phasen innerhalb eines Zeitschritts linear auswählen Interpolation. Ich finde es schwierig, dies mit der von mir verwendeten Bibliothek zu implementieren, daher hatte ich die Idee, die Phasen stattdessen durch ihren eigenen Random Walk zu aktualisieren:

a k ( T + δ T ) = a k ( T ) + δ T η
mit η ∼ N ( 0 , σ 2 ) , und das gleiche für die β l . Dann kann man zeigen, dass dies auf die Korrelationsfunktion führt

⟨ F ( X , 0 ) F ( X , T ) ⟩ = N C 2 4 exp ⁡ ( − | T | / τ )
Wo τ = 1 / σ 2 . Dieses Erzwingen ist insofern schön, als es schön und glatt ist und Sie die Korrelationszeit steuern können ... es sei denn, Sie möchten weißes Rauschen. Daher eine dritte Frage:

  1. Lässt sich diese Zwangsvorschrift einfach so einstellen, im Limit τ → 0 , ist die Forcierung zeitlich weiß? Hat, sagen wir, Normalisierung F von 1 / τ arbeiten?

Vielen Dank im Voraus an alle, die mir dabei helfen können.

Um den ersten Punkt zu beantworten (was ich verstanden habe), müssen Sie die Einheiten richtig machen. Seit < η ( T ) η ( T ' ) >∝ δ ( T − T ' ) Einheiten von η Sind 1 / T . Wenn Sie es in die stochastische Gleichung einfügen D X = A D T + B D T η der letzte Term ist eigentlich proportional zu D T
Ich habe darüber mehr nachgedacht und es ist einfacher für mich, es in Bezug auf den zentralen Grenzwertsatz zu konzeptualisieren, der zeigt, dass, wenn ∂ T ζ = ξ ( T ) für einige zufällig ξ , ζ ( τ ) − ζ ( 0 ) ∼ τ δ T N ( 0 , ⟨ ξ 2 ⟩ ) , also brauchen wir die Normalisierung, um dies sicherzustellen ⟨ ζ 2 ⟩ ∼ T wie eine gute Brownsche Bewegung. Ich versuche immer noch herauszufinden, wie sich dies auf die Rate der Energieinjektion auswirkt ...
Ich glaube, ich habe das Problem der Energieinjektion jetzt ungefähr verstanden. Die Rate der Energieinjektion ist nicht, wie ich schrieb, − ⟨ ξ F ⟩ , Aber − ⟨ ψ F ⟩ . Es liegt nahe, zumindest in einer Art Handbewegung, dass ψ ∼ T ξ (wo nochmal ∇ 2 ξ = F ), so dass die Energieinjektionsrate tatsächlich nur dann zeitlich konstant ist, wenn die Normierung eingeführt wird.
Das Lesen dieses Papiers aip.scitation.org/doi/pdf/10.1063/1.870050 hat mir geholfen, diese konzeptionellen Probleme zu lösen und meinen Fehler zu identifizieren
erwägen Sie, es als Antwort mit einer kurzen Beschreibung der Lösung zu posten

Antworten (1)

Die Notwendigkeit der Normalisierung kann wie folgt veranschaulicht werden. Betrachten Sie nur den Beitrag des Antriebs:

∂ T ζ = F ( T ) .

Wenn wir die Zeit in Schritten diskretisieren δ T , F ist eine Folge von iid-Zufallsvariablen { F ich } mit Mittelwert 0. Dann haben wir (Einstellung ζ ( 0 ) = 0 )

ζ ( T ) = δ T ∑ ich F ich .

Nach dem zentralen Grenzwertsatz, z T ≫ δ T , wir haben

∑ ich F ich ∼ N N ( 0 , ⟨ F 2 ⟩ )
Wo N = T / δ T . Daher

ζ ( T ) ∼ T δ T N ( 0 , ⟨ F 2 ⟩ )
und das ist offensichtlich F muss normalisiert werden 1 / δ T damit seine Entwicklung unabhängig vom Zeitschritt ist.

Mein Problem mit der Energieinjektionsrate war größtenteils auf einen Berechnungsfehler zurückzuführen. Der Kurs ist

ε = − ⟨ ψ F ⟩ ,
nicht − ⟨ ξ F ⟩ (wo nochmal, ∇ 2 ξ = F ). Nach K. Alvelius PoF 11, 1880 (1999) haben wir (unter alleiniger Berücksichtigung des Beitrags des Antriebs zur Dynamik)
ψ = ∫ 0 T D τ ξ ( τ ) ,
So
ε = − ∫ 0 T D τ ⟨ ξ ( τ ) F ( T ) ⟩ .

Meine vorherige, fehlerhafte Berechnung hatte nicht die richtigen Einheiten und übersah eindeutig einen Faktor mit Zeitdimensionen. Im Fall meiner Implementierung des Forcierens folgt die Energieinjektionsrate wie folgt

ε = N C 2 4 k F 2 τ C ( 1 − exp ⁡ ( − | T | / τ C )
.

Nach vielen Korrelationszeiten ist der zweite Term vernachlässigbar und auswählend

C = 2 k F ε N τ C
legt einen gewählten Tarif fest ε . Beachten Sie diesen Faktor 1 / τ C , zuvor verpasst. Diese Normierung sorgt auch im Limit dafür τ C → 0 , wird das Volumen der Korrelationsfunktion korrekt erhalten und man erhält wie gewünscht eine Delta-Funktion.

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