Sind Axiome Annahmen und sollten sie minimiert werden?

Sind Axiome nichts anderes als Annahmen und, falls ja, sollten sie gemäß Ockhams Rasiermesser minimiert werden?

Gibt es beim Postulieren wissenschaftlicher Theoreme, die im Gegensatz zu Axiomen einer Beweisprüfung unterliegen, aber Axiome berücksichtigen, formale Systeme, die zumindest versuchen, die Menge der Axiome oder Annahmen zu quantifizieren, die dem Theorem vorausgehen? Einfach gesagt, können wir Theoreme danach sortieren, wie viel ihres Inputs axiomatisch akzeptierte Annahmen sind?

Ich denke, die kurze und offensichtliche Antwort wäre sicher, aber manchmal ist es einfach unmöglich, es zu minimieren. Aber ja, definitiv sind Axiome Annahmen, die logisch notwendig sind, um eine Theorie weiter voranzutreiben, Annahmen, die nicht bewiesen werden können.
Wie wäre es mit einem formalen System, das Theoreme oder sogar Ideen basierend auf der Menge an axiomatischen Eingaben quantifiziert?
was ist hier dein Ziel? Minimierung der Axiome? Theorien basierend auf der Menge der darin enthaltenen Axiome auswählen?
Herauszufinden, ob es ein Formatsystem gibt, um abzuschätzen, auf wie vielen Axiomen ein Theorem aufbaut
Wir postulieren keine Theoreme, sondern beweisen sie anhand von Axiomen.
Für Mathematik gibt es ein spezielles Forschungsprogramm: Reverse Mathematics .
@amphibient: Zählen ist hier keine sehr nützliche Maßnahme. Tatsächlich können wir zeigen, dass es vollständig degeneriert: Jede (endlich axiomatisierbare) Theorie kann durch ein einziges Axiom gegeben werden, daher ist der Begriff nicht interessant. Die Konstruktion ist einfach: Nehmen Sie einfach Ihre bevorzugte endliche Axiomatisierung. Ihre Konjunktion ist ein einziges Axiom, das der gesamten Sammlung logisch entspricht.
nicht bloßes Zählen, Quantifizieren – ein System zur Bewertung des Gewichts von axiomatischen Eingaben
Occams Rasiermesser ist eine Heuristik, es ist kein unerschütterliches Gesetz. Es kann (und hat sich in vielen Fällen herausgestellt), dass die Wahrheit sehr komplex ist und viele Annahmen erfordert, die das Rasiermesser verletzen (wenn Sie das Rasiermesser so verstehen). Allerdings ist Sparsamkeit meist gut, wenn auch nicht nur aus pragmatischen Gründen.

Antworten (1)

In Bezug auf "in Übereinstimmung mit Occam's Razor" sollten Sie Annahmen nicht minimieren – im Gegenteil, Sie sollten sie maximieren .

Bei Occams Rasiermesser geht es nicht um Annahmen, sondern um „Entitäten“; zB das Zitat

Entitäten dürfen nicht ohne Notwendigkeit vermehrt werden. Quelle: Wikipedia

Beim Razor geht es darum, zu viele Freiheitsgrade zu haben – wenn Ihre Theorie viel Flexibilität hat, um Beobachtungen zu ermöglichen, dann haben wir nicht wirklich viel gelernt, wenn Sie Beobachtungen machen, die mit der Theorie übereinstimmen.

Wenn wir die Alternative haben, eine Theorie, die unflexibel ist und nur einen engen Bereich von Beobachtungen aufnehmen kann, dann lernen wir viel, wenn die Theorie konsequent mit der Beobachtung übereinstimmt!

Bei einer gegebenen Theorie kann das Hinzufügen eines zusätzlichen Axioms die Anzahl der Ergebnisse, die mit der Theorie übereinstimmen , nur verringern ! Der einzige Effekt, den ein Axiom haben kann, besteht darin, dass Sie neue Aussagen beweisen können – und das bedeutet, dass die Negationen dieser Aussagen nicht mehr mit der Theorie übereinstimmen!

Hier gibt es jedoch einen verschleierenden Faktor; aus irgendeinem Grund wird oft in die entgegengesetzte Richtung diskutiert.

Betrachten Sie beispielsweise den Übergang von der Beschreibung des 3-Raums über die euklidische Geometrie zu einer Beschreibung über eine allgemeine Riemannsche Mannigfaltigkeit.

In diesem Vergleich wird die euklidische Geometrie durch Hinzufügen der zusätzlichen Annahme "der metrische Tensor ist durch diese spezifische Formel gegeben" erhalten. Aus irgendeinem Grund würde dieser Vergleich jedoch häufiger in die entgegengesetzte Richtung formuliert: dass Riemannsche Mannigfaltigkeiten erhalten werden, indem die Annahme hinzugefügt wird, "angenommen, der metrische Tensor ist nicht durch die Standardformel gegeben".

Der Übergang zur Riemannschen Mannigfaltigkeitsbeschreibung des 3-Raums hat definitiv die Entitäten vervielfacht, aber es hat die Menge an Annahmen reduziert , die Sie über die Natur des 3-Raums machen müssen.

Was ist in diesem Zusammenhang eine Entität? Wenn Sie es nicht in einen Kontext stellen, ist es ein nutzloser Begriff.
Minimierende oder maximierende Annahmen ... sind immer noch Annahmen.
Sind Axiome Annahmen und sollten sie minimiert werden?
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