Sind die diskreten Hexachorden einer Tonreihe immer entweder die gleiche Mengenklasse oder z-bezogen?

Für zukünftige Leser möchte ich eine vollständige Antwort auf die Frage synthetisieren, damit sie nicht nur in einem Link in einem Kommentar vergraben ist.

1.

Wie die Antwort von Robert Fink andeutet, lautet die TL; DR-Antwort auf die Frage Ja, das letzte Hexachord einer Tonreihe ist entweder das gleiche wie das erste Hexachord oder sein z-Partner.

2.

Eine etwas längere Antwort, die von einem Nicht-SE-Freund vorgeschlagen wurde, lautet wie folgt: Die Ergänzung einer beliebigen Mengenklasse jeder Größe (d. h. die Mengenklasse der Noten, die aus allen 12 Möglichkeiten im traditionellen westlichen System übrig bleiben, sobald Sie es haben die Noten des ursprünglichen Satzes entfernt) sind immer gleich, unabhängig von den spezifischen Noten. Zum Beispiel haben die Noten D, D#, F#, G# – ein Mitglied des All-Intervall-Tetrachords (0146) – das Komplement C, C#, E, F, G, A, A#, B, ein Mitglied von (01234689) . Ein völlig anderes Mitglied von (0146) wäre G, A, C, C#; aber seine Ergänzung – D, D#, E, F, F#, G#, A#, B – ist immer noch Mitglied von (01234689).

Offensichtlich gilt dies immer noch für Hexachords. Sobald Sie das erste Hexachord einer traditionellen 12-Ton-Reihe haben, ist das verbleibende Hexachord per Definition das Komplement des ersten. Um die ursprüngliche Hypothese zu beweisen, bleibt nur noch die Tatsache, dass das Komplement jedes Hexachords entweder es selbst oder sein z-Partner ist, wie durch einen Blick auf eine beliebige Hexachord-Liste wie die im Anhang von Straus' Einführung in das Post-Tonale verifiziert werden kann Theorie .

3.

Ein etwas formellerer Beweis von Steven K. Blau wurde in einem Link von Micah bereitgestellt, das vollständige Papier ist hier: http://www.maa.org/sites/default/files/269122711809.pdf

Ich gebe eine kurze Zusammenfassung. Wenn wir ein beliebiges Hexachord auswählen, nennen wir es A, dann impliziert es ein komplementäres Hexachord (B), das seine Vollendung in einer Tonreihe markiert. Wir können uns diese beiden Hexachords in einem Zifferblattdiagramm wie folgt vorstellen:

     _B    ^A    _{A
  B               B
 A                 A
  B               A
      B        B}
          ^A

Jetzt stellen wir uns vor, eine der A-Noten mit einer der B-Noten zu tauschen, ich mache einen Tausch der 2-Uhr- und 3-Uhr-Positionen.

     _B    ^A    _{A
  B               A
 A}               ^⤹ _B ^⤣
  _{B               A
      B        B}
          ^A

Die einzigen Intervalländerungen in A werden durch identische Intervalländerungen in B ergänzt. Zum Beispiel war die A-Note, die früher um 3 Uhr war, 3 Halbtöne von der A-Note um 12 Uhr entfernt, aber jetzt nur noch 2 weg. Dies ändert den konstituierenden Intervallinhalt des A-Hexachords, aber wir haben gleichzeitig das H-Hexachord dahingehend geändert, dass die B-Note, die früher bei 2 Uhr stand, auch 3 Halbtöne von der B-Note bei 5 Uhr entfernt war und jetzt nur noch 2 ist ein Weg. Mit anderen Worten, zur gleichen Zeit, in der wir eines der Intervalle in A von IC3 auf IC2 geändert haben, haben wir auch eines der Intervalle in B auf genau die gleiche Weise geändert. Der Artikel unter diesem Link deckt alle Möglichkeiten ab (obwohl ich denke, dass der Autor versehentlich n + 1 und n an einer Stelle umkehrt)

Daher ist der Intervallinhalt der beiden Hexachords immer gleich, was auch immer der Fall ist, was nur eine andere Art zu sagen ist, dass die diskreten Hexachords jeder Reihe entweder dieselbe Mengenklasse haben oder z-bezogen sind. QED

Ja, das stimmt. Wir bezeichnen es in der Branche als The Hexachordal Combinatoriality Theorem. Es kann mathematisch bewiesen werden, aber ich kann es hier nicht für Sie tun (ohne einige traumatische Schulerfahrungen noch einmal zu erleben). :)