Sind die Elektronen im Zentrum der Sonne entartet oder nicht?

Die Überprüfung auf Elektronenentartung ist eine Frage des Vergleichs der kinetischen Fermi-Energie mit$kT$.

Wenn$E_F/kT \gg 1$, dann können Sie davon ausgehen, dass die Elektronen entartet sind.

Die zentrale Dichte der Sonne ist rund$\rho=1.6\times 10^5$kg/m$^3$und die Anzahl der atomaren Masseneinheiten pro Elektron ist ungefähr$\mu_e =1.5$.

Die Anzahldichte der Elektronen ist daher$n_e =\rho/\mu_e m_u = 6.4\times 10^{31}$M$^{-3}$.

Der Fermi-Impuls ist$p_F = (3n_e/8\pi)^{1/3} h = 1.3\times 10^{-23}$kg ms$^{-1}$. Als$p_F \ll m_e c$dann sind die Elektronen nichtrelativistisch und so$E_F \simeq p_F^{2}/2m_e = 9.3\times 10^{-17}$J.

B. die Temperatur im Solarkern ist$T =1.57\times 10^7$K, dann$E_F/kT = 0.43$. Dieses Verhältnis ist eindeutig zu klein, um die Elektronen überhaupt als teilweise entartet zu betrachten. (Zum Beispiel ist das Verhältnis eher 1000 in einem typischen elektronenentarteten Weißen Zwergstern und etwa 20 im Zentrum eines teilweise elektronenentarteten Braunen Zwergs).

Ich denke, dies stimmt mit einer Behandlung überein, die auf der De-Broglie-Wellenlänge basiert. Die Wurzel dieser Methode ist die Unschärferelation in 3D. Degeneration wird wichtig sein, wenn

$$(\Delta p \Delta x)^3 \simeq (\hbar/2)^3,$$ Wo $\Delta x$ist die Elektronentrennung und $\Delta p$ist eine mittlere Differenz der Elektronenimpulse.

Wenn wir lassen$\lambda \simeq h/\Delta p$, dann sehen wir, dass Entartung wichtig ist, wenn$\Delta x \simeq \lambda/4\pi$. dh eine ernsthafte Entartung setzt ein, wenn die De-Broglie-Wellenlänge um eine Größenordnung größer ist als der Elektronenabstand.

OK, aber das Verhältnis ist auch nicht Null, also gibt es eine kleine Korrektur zur perfekten Gasberechnung des Drucks. Um dies richtig zu berechnen, müssten Sie eine numerische Integration durchführen, um den Druck aufgrund eines sehr leicht entarteten Gases zu finden.

Um zu sehen, ob sich die Mühe lohnt, könnten Sie einfach sehen, wie das Verhältnis des idealen Entartungsdrucks bei dieser Elektronenzahldichte zum perfekten Gasdruck im Kern der Sonne ist.

Grob:

$$\frac{P_{deg}}{P} = \frac{h^2}{20m_e} \left(\frac{3}{\pi}\right)^{1/3} n_{e}^{5/3} \frac{1}{(n_i +n_e) kT},$$ Wo $n_i$ist die Anzahldichte der Ionen im Gas. Wenn wir sagen $n_i \simeq n_e$(es ist tatsächlich etwas kleiner wegen der vorhandenen Heliumkerne), dann trage die anderen Zahlen ein, wir finden das $P_{deg}/P \sim 0.09$. Daraus würde ich schließen, dass man, wenn man den Druck genauer als 10 Prozent berechnen will, die sehr teilweise Entartung der Elektronen im Sonnenkern (und seine genaue Zusammensetzung) berücksichtigen muss.

Eine VIEL formellere Behandlung (siehe zum Beispiel Kapitel 2 von Clayton, D. 1983, Principles of Stellar Evolution and Nucleosynthesis, Univ. of Chicago Press), zeigt, dass der Elektronendruck (die Ionen sind nicht entartet und können als a behandelt werden perfektes Gas) kann geschrieben werden (wenn die Elektronen nichtrelativistisch sind)

$$P_{e} = n_e kT \left(\frac{2F_{3/2}}{3F_{1/2}} \right),$$ wobei der Term in Klammern das Verhältnis angibt, um das der Elektronengasdruck vom Gesetz des perfekten Gases abweicht, und wo $$F_n(\alpha) = \int_{0}^{\infty} \frac{u^n}{\exp(\alpha + u) + 1}\ du,$$ mit $u = E_k/kT$Und $\alpha= -\mu/kT$, Wo $\mu$ist das durch Invertierung gegebene chemische Potential $$n_e = \frac{4\pi}{h^3}(2m_e kT)^{3/2} F_{1/2}(\alpha)$$ Hinweis: $\mu \rightarrow E_F$Wenn $\alpha \ll -1$.

Diese Ausdrücke müssen numerisch ausgewertet oder Tabellen entnommen werden (z. B. Tabelle 2.3 in Clayton 1983). Jedoch,$P_e/n_e kT$Ist$\geq 1$für alle Werte von$\alpha$. Jede Entartung erhöht also immer den Druck über den eines perfekten Gases. Das Bild unten (von Clayton 1983) zeigt, wie$P_e/n_e kT$variiert mit$\alpha$. Clayton sagt, dass „der Gasdruck im Wesentlichen der eines nicht entarteten Gases ist$\alpha>2$".

Wenn wir also einige Zahlen für die Sonne eingeben, finden wir$F_{1/2}(\alpha) = 0.19$und aus Tabelle 2.3 von Clayton erhalten wir$\alpha \simeq 1.45$. Das wiederum bedeutet das$2F_{3/2}/3 \simeq 0.20$. Der Elektronendruck ist also ein Faktor von$\simeq 1.05$größer als das perfekte Gasdruckgesetz bei gleicher Dichte und Temperatur.