Sind Spannungen diskret, wenn wir weit genug hineinzoomen?

Bei statischen Aufladungen lautet die Beziehung V (Spannung) = Q (Ladung) / C (Kapazität). Die Kapazität ist eine Funktion von Form, Größe und Abstand zwischen Objekten, die alle kontinuierliche Werte sind. (Nun, ich nehme an, Sie könnten argumentieren, dass Form und Größe auf den atomaren Abstand des Objektmaterials quantisiert sind, aber Sie können nicht dasselbe für die Entfernung sagen.) Also, obwohl der Ladungsterm quantisiert ist, die Kapazität – und daher , die Spannung — ist es nicht.

Spannung ist eine stetige Funktion. Wenn Sie eine bestimmte Entfernung von einer (Punkt-) Gebühr entfernt sind$q$, das Potenzial ist

Durch Anpassen des Werts von$r$zu allem, was Sie wollen (nicht quantisiert), können Sie jedes gewünschte Potenzial erhalten. Und ja, wenn Sie eine Analog-Digital-Konvertierung durchführen, werden Sie eine bestimmte Menge an Informationen "zerstören".

Die Frage ist immer "ist das von praktischer Bedeutung"? Wenn ja, müssen Sie sich einen Konverter mit höherer Auflösung bauen ...

Die Spannung kommt nicht direkt von der Ladung des Elektrons. Es ist die Energie pro Ladung. Die Ladungsträger können diskret sein, aber die Energie ist es nicht.

Wir können leicht ein Potential erzeugen, indem wir einen Draht durch ein Magnetfeld bewegen. Das Potential ist proportional zur Geschwindigkeit des Drahtes, die ein kontinuierlicher Wert ist.

Es ist kein grundlegendes Merkmal des elektrischen Potentials, aber:

Wenn Sie ein polykristallines Metall haben und eine glatte Oberfläche schneiden und polieren, zeigen die unterschiedlich orientierten Bereiche nach außen eine andere Netzebene . Kristalle, die entlang verschiedener Ebenen geschnitten werden, können leicht unterschiedliche Austrittsarbeiten haben , und daher wird das elektrische Potential sehr nahe an einem solchen Leiter zufällig auf dem Niveau von einigen Millivolt variieren. Dies wird manchmal als "Patch-Effekt" bezeichnet und kann mit der Casimir-Kraft ( siehe zB ) und anderen kleinen elektrostatischen Effekten vergleichbar sein.

Ich bin eigentlich ziemlich überrascht, dass keine der anderen vorhandenen Antworten (zum Zeitpunkt des Schreibens) Schussgeräusche erwähnt. Also, ich würde gerne ein bisschen darüber reden, aber da es auch eine Prämie gibt, die speziell nach dem spielt, wie die Quantenfeldtheorie mit Spannungen spielt, habe ich auch ein paar Dinge dazu zu sagen.

In der Elektronik gibt es viele Formen von Rauschen. Zum Beispiel gibt es (ungefähr) weißes thermisches Rauschen (auch Johnson-Nyquist-Rauschen genannt , bei dem es sich um Spannungsschwankungen handelt, die durch die thermische Bewegung von Elektronen in Widerständen im gesamten Gerät verursacht werden. Es gibt auch$1/f$Rauschen, das oft als Rosa- oder Flickerrauschen bezeichnet wird, da es ursprünglich in Vakuumröhren beobachtet wurde (ein niederfrequentes visuelles Flackern), obwohl ich glaube, dass die Ursprünge des Flickerrauschens immer noch nicht sehr gut verstanden sind.

Schrotrauschen ist eine andere Art von Rauschen, das durch die Diskretisierung elektrischer Ladungen in Elektronen verursacht wird. Grundsätzlich ist die Idee, dass Strom durch einen Übergang fließt, wie eine Diode, eine Vakuumröhre oder irgendetwas anderes. Der Effekt ist in den meisten Anwendungen kleiner als die anderen erwähnten Rauscharten, daher wird er manchmal übersehen, ist aber dennoch vorhanden. Die Idee ist, dass der Strom, der durch einen Übergang fließt, uns die durchschnittliche Anzahl von Elektronen pro Sekunde angibt, die ihn passieren, aber die Anzahl der Elektronen, die den Übergang tatsächlich in einem festen Zeitintervall passieren, ist ein Poisson-Prozess, und daher gibt es einige Schwankungen über den Mittelwert der Anzahl der Elektronen, und dann implizieren diese Schwankungen Schwankungen des Stroms (und damit der Spannung) im Stromkreis.

Da wir eine diskrete Anzahl von Elektronen haben, die über unseren Übergang springen, haben wir auch (ungefähr) diskrete Sprünge im Strom (und damit in der Spannung) damit zu tun, weshalb mir Schrotrauschen in den Sinn kam, als ich diese Frage sah. All dies ist natürlich nur eine halbklassische Näherung, die nur von der Diskretisierung der Ladung in Elektronen Gebrauch macht und keine grundlegende Diskretisierung des Potentials darstellt.

Lassen Sie mich also kommentieren, wie die Quantenfeldtheorie (QFT) dazu beiträgt, da das Kopfgeld danach fragt. Die kurze Antwort, die ein wenig enttäuschend sein könnte, lautet, dass selbst in QFT keine Diskretisierung des Potenzials erfolgt, aber lassen Sie mich ein wenig erklären, anstatt es einfach dabei zu belassen.

Der Name und die Sprache rund um QFT scheinen zu implizieren, dass Felder und alles andere "quantisiert" im Sinne von "diskretisiert" sind, aber dies sind eigentlich unterschiedliche Dinge: Nur weil etwas quantisiert ist, heißt das nicht, dass es diskretisiert ist. Schauen wir uns also an, was Quantisierung zumindest grob bedeutet. Als Haftungsausschluss wird alles, was ich hier sage, ein bisschen informell sein. Um ein vollständiges Bild davon zu bekommen, was vor sich geht, müsste man wirklich ein wenig QFT kennen, dem viele Bücher gewidmet sind.

In einer klassischen (Feld-)Theorie haben wir eine Reihe von Feldern und wir spezifizieren den "Zustand" des Systems, indem wir eine bestimmte Feldkonfiguration spezifizieren. So sind zum Beispiel in der Elektrodynamik unsere Felder das Potential$V$und das Vektorpotential$\vec A$, die wir normalerweise zu einem 4er-Vektor zusammensetzen$A_\mu$die wir als "das" Vektorpotential bezeichnen. Um zu spezifizieren, was vor sich geht, müssten wir nur ein Vektorpotential spezifizieren, das den Maxwell-Gleichungen gehorcht.

In einer Quanten-(Feld-)Theorie "befördern" wir alle unsere Felder zu Operatoren und um den Zustand unseres Systems zu spezifizieren, spezifizieren wir einen Vektor in einem Hilbert-Raum (ein Vektorraum mit einem Begriff des inneren Produkts und einigen anderen technischen Feinheiten). anstatt eine Feldkonfiguration anzugeben, die den Bewegungsgleichungen gehorcht. So hätten wir zum Beispiel in der Elektrodynamik jetzt 4 Operatoren$\hat A_\mu$die auf Vektoren in unserem Hilbertraum wirken.

Abgesehen von einigen Feinheiten, die für die Idee, auf die ich hinaus will, nicht wichtig sind, können wir in QFT tatsächlich etwas tun, das die Dinge der klassischen Mechanik ähnlicher macht. Sehen Sie, da der Hilbert-Raum ein Vektorraum ist, können wir eine Basis von Vektoren frei wählen, wie wir wollen. Der "normale" und "schöne" Weg, eine Basis zu wählen, besteht darin, die Eigenvektoren einiger Operatoren zu verwenden, wie z$\hat A_\mu$.

Es gibt einige technische Probleme mit der Eichinvarianz, aber hier ist das Bild, das wir im Auge behalten sollten. Stellen Sie sich vor, Sie spezifizieren überall in Raum und Zeit eine Feldkonfiguration und sagen dann einfach$|A(everywhere)\rangle$ist der Zustand, der dieser Konfiguration entspricht, die wir uns vorgestellt haben. Dann gilt per Definition$\hat A_\mu(x)|A(everywhere)\rangle = A_\mu(x)|A(everywhere)\rangle$wo$\hat A_\mu(x)$ist der Vektorpotentialoperator am Ort$x$in Raum und Zeit während$A_\mu(x)$ist der Wert des Vektorpotentials bei$x$die wir uns vorgestellt haben.

Während wir also in der klassischen Mechanik den Zustand des Systems durch eine Feldkonfiguration spezifizieren konnten, die Maxwells Gleichungen gehorchte, können wir in der QFT den Zustand des Systems durch (eine lineare Kombination von) Feldkonfigurationen spezifizieren, die Maxwells Gleichungen gehorchen können oder nicht Gleichungen.

Das ist die Hauptidee, die ich erreichen wollte: Selbst in QFT können wir immer noch einige unserer Überlegungen zu Feldkonfigurationen aus der klassischen Mechanik importieren, nur mit ein paar neuen Schnickschnack. Noch wichtiger ist, dass wir hier zu keinem Zeitpunkt auf einen Begriff der Quantisierung der Feldkonfiguration selbst stoßen. Während also einige Dinge in der QFT quantisiert werden, ist es nicht alles, und insbesondere das elektrische Potential ist es nicht. Zumindest nicht mehr als klassisch (was im Fall des Schrotrauschens, das ich bereits erwähnt habe, ungefähr der Fall ist).

Spannungen im Mikromaßstab
Spannung ist ein Konzept der makroskopischen Elektrodynamik (auch Elektrodynamik kontinuierlicher Medien ) – das heißt, es ist ein Konzept, das auf Volumina anwendbar ist, die eine makroskopische Anzahl von Atomen enthalten, obwohl sie für andere praktische Zwecke unendlich klein behandelt werden können (z Schreiben von Maxwell-Gleichungen als Differentialgleichungen). Auf einer Mikroskala kann die Spannung nicht eindeutig definiert werden, da einige ihrer Eigenschaften nicht gelten: zB die konzentrierte SchaltungDie Beschreibung gilt nicht für mikroskopische Schaltkreise, dh aufgrund der Quantenkohärenz können wir eine Spannung über einem Gerät / Schaltkreis nicht als Summe von Spannungen an seinen nachfolgenden Elementen betrachten. Ein weiterer wichtiger Punkt auf mikroskopischer Ebene ist, dass Spannung nicht mit der Potentialdifferenz, sondern mit dem elektrochemischen Potential besser identifiziert werden kann .

Landauer-Formel
Im Standardansatz zum Transport in Nanostrukturen, dem Landauer-Büttiker-Formalismus , werden Spannungen als chemische Potentiale der Leitungen (Elektroden) betrachtet, die das Gerät mit der Außenwelt verbinden und den Stromfluss im Ungleichgewicht aufrechterhalten. Diese Ansicht wird weiter verallgemeinert auf Situationen ohne Interaktion, z. B. unter Verwendung des Mair-Wingreen-Formalismus .

Coulomb-Blockade
Einige der Antworten haben die diskrete Natur von Elektronen erwähnt - in der Tat, wenn Elektronen durch einen kleinen Bereich eines Raums tunneln - einen Quantenpunkt oder sogar einen einfachen Halbleiterübergang hoher Qualität - beginnt die Diskretion der Ladung eine Rolle zu spielen und führt zu Ergebnissen in dem als Coulomb-Blockade bekannten Phänomen, bei dem der Strom durch das Gerät nur bei bestimmten Spannungswerten über dem Übergang möglich ist, die durch die Kapazität des letzteren bestimmt werden. Die Spannung ist hier im Landauer-Büttiker-Sinne zu verstehen und ist dennoch kontinuierlich.

Verweise

• Introduction to Mesoscopic Physics von Joe Imry ist das Standardwerk über die Entwicklungen im kohärenten Transport auf der Mikroskala (schwache und starke Lokalisierung, Unordnung, Kohärenzlänge, Landauer-Büttiker-Formalismus usw.)
• Quantum Kinetics in Transport and Optics of Semiconductors von Haug und Jauho skizziert neuere Entwicklungen im Nichtgleichgewichtstransport unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen.

Ich interpretiere Spannung als die statische Differenz des chemischen Potentials zwischen zwei Leitern. Ich gehe davon aus, dass die Geometrie konstant ist, wie es für ein Gerät sinnvoll ist. Mit diesen Annahmen ist die Spannung diskret, da sie von der diskreten Anzahl von Ladungsträgern auf jedem Leiter abhängt.