Ich habe Zweifel an der Anwendung von KVL, wenn ein Induktor in einer Schaltung zum Einsatz kommt

Aber gemäß dem Faradayschen Gesetz und dem Lenz-Gesetz wissen wir, dass die EMF über dem Induktor tatsächlich eine induzierte EMF ist, die der Änderung des Flusses entgegenwirkt, der durch die Wicklung fließt. EMK=-L di/dt. Wenn ja, warum vernachlässigen wir das negative Vorzeichen beim Schreiben von KVL-Gleichungen?

Das negative Vorzeichen im Faradayschen Gesetz ergibt sich aus der Tatsache, dass die Spannung über dem Induktor eine induzierte EMK ist, die jeder Änderung des magnetischen Flusses und des Stroms entgegenwirkt, im Gegensatz zu einem Potentialabfall aufgrund des Stromflusses wie im Fall von a Widerstand. Wie unten dargestellt wird, gibt es keinen Konflikt mit KVL. Zunächst die Grundgleichungen:

Aus dem Faradayschen Gesetz

Oder

Die erste Gleichung besagt, dass jeder Versuch, den Strom in Nullzeit zu ändern, zu einer unendlichen induzierten EMK führt, um dieser Änderung entgegenzuwirken. Entsprechend besagt die zweite Gleichung, dass sich der Strom in einem Induktor nicht in Nullzeit ändern kann ($dt=0$). Daher ist beispielsweise der Induktorstrom unmittelbar nach einem Schaltereignis gleich dem Induktorstrom unmittelbar vor dem Schaltereignis.

Die Abbildungen 1-3 unten zeigen eine RL-Reihenschaltung, eine Batterie und einen Schalter. Sie demonstrieren den Fall, in dem eine EMK in einem Induktor induziert wird, der einem Anstieg des Stroms durch den Induktor entgegenwirkt, während KVL erfüllt wird

Abb. 1 beginnt mit offenem Schalter und ohne Stromfluss im Stromkreis. Die gesamte Batteriespannung erscheint über dem Schalter und erfüllt KVL.

Abb. 2 zeigt die Zeit$t=0$der Schalter ist geschlossen. Im Augenblick nach dem Schließen des Schalters ($t=0+$) wird über der Induktivität eine Spannung induziert, die der Batteriespannung entspricht, jedoch der Batteriespannung entgegengesetzt ist, so dass im Moment des Schließens des Schalters kein Strom fließt. Pro KVL ist die Summe der Spannungen gleich Null ($+V_{B}-V_{L}=0$) ohne Stromfluss.

Beachten Sie, dass bei einem Widerstand anstelle der Induktivität in Abb. 2 die Polarität der Spannung über dem Widerstand die gleiche wie bei der Induktivität wäre, aber Strom durch den Widerstand fließen würde, während anfänglich kein Strom in der Induktivität fließt. Das liegt daran, dass die Spannung über dem Induktor tatsächlich eine aktive EMK-Quelle ist, genau wie eine Batterie, die dem Stromfluss entgegenwirkt, im Gegensatz zu einem Spannungsabfall über einem Widerstand aufgrund des Stromflusses und eines Spannungsabfalls

Mit fortschreitender Zeit nimmt die Spannung über der Induktivität ab und der Strom- und Spannungsabfall über dem Widerstand nimmt zu.

Abb. 3 zeigt die Schaltung mit lange geschlossenem Schalter. Der Strom im Stromkreis erreicht ein Maximum und ändert sich nicht mehr zeitlich. Gemäß der ersten Gleichung oben,$L\frac{di_{L}(t)}{dt}=0$,$v_{L}(t)=0$, Und$L_{L}(t)=\frac{V_{B}}{R}$.

Und wie lautet die Gleichung auch in dem Fall, wenn der Strom durch die Induktivität plötzlich abnimmt? Ich habe auch Zweifel daran, wie der Strom plötzlich abnimmt. Bitte klären.

Jeder Versuch, den Strom plötzlich zu reduzieren, führt zu einer EMK, deren Polarität darin besteht, einem plötzlichen Stromabfall entgegenzuwirken. Zur Veranschaulichung siehe Abbildungen 4 und 5 unten.

Abb. 4 zeigt die Bedingungen, wenn der Schalter lange geschlossen ist. Die Spannung über der idealen Induktivität ist Null und der Strom in der Induktivität ist es$V_{B}/R_1$. Es kommt kein Strom rein$R_2$da die Spannung über$R_2$ist Null.

In Abb. 5 wird der Schalter plötzlich geöffnet, so dass die Batterie den Induktor nicht mehr mit Strom versorgen kann. Da sich der Strom in der Spule nicht augenblicklich ändern kann, muss der Strom in der Spule gemäß der zweiten Gleichung im Moment nach dem Öffnen des Schalters derselbe sein wie im Moment vor dem Öffnen des Schalters. Damit dies geschieht, wird in der Induktivität eine EMK mit der gezeigten Polarität induziert, damit sie den Strom durchtreiben kann$R_2$. Schließlich fallen Strom und Spannung auf Null, wenn die gesamte in der Induktivität gespeicherte Energie (1/2 LI$^2$) wird zerstreut$R_2$.

Aufgrund dieser Erklärung habe ich das Gefühl, dass in Abbildung 2, wenn der Schalter bei t = 0 geschlossen ist, dies dem Anschließen einer Batterie mit derselben EMF entspricht, aber der Pluspol mit dem Pluspol und der Minuspol mit dem Minuspol verbunden ist, sodass kein Potenzialunterschied besteht zwischen ihnen und Nullstrom zu diesem Zeitpunkt.

Das wäre richtig, aber nur für den Augenblick nach dem Schließen des Schalters.

Wenn der Schalter dagegen nach langer Zeit geöffnet wird, wie in Abbildung 5, hat die induzierte EMF über dem Induktor eine ähnliche Polarität wie eine Batterie in einem Stromkreis, in dem Strom vom Minus- zum Pluspol innerhalb der Batterie fließt. Korrigiere mich, wenn ich falsch liege.

Im Wesentlichen ja, aber da herkömmlicher Strom als positiver Ladungsfluss definiert ist (eine unglückliche historische Entscheidung), fließt der Strom vom Pluspol der Batterie zum Minuspol durch den Widerstand$R_{2}$.

Ist in Abbildung 5 nicht 𝑉𝐿=L di/dt ? Und die KVL-Gleichung für die L-𝑅2-Schleife ist -𝑉𝐿+I𝑅2=0, wenn der Strom im Uhrzeigersinn genommen wird

Im Uhrzeigersinn ja. Aber wie ich bereits sagte, ist konventioneller Strom der Fluss positiver (nicht negativer) Ladung. Die Richtung des Stroms würde also wie in Fig. 5 gezeigt gegen den Uhrzeigersinn verlaufen. Aber es ist wirklich egal. KVL wird dann einfach$+V_{L}-IR_{2}=0$. In jedem Fall,$V_{L}=IR_2$und die Lösung der Differentialgleichung für die transiente Bedingung ist die gleiche.

Hoffe das hilft.

wir schreiben die Spannung (oder EMF?) über der Induktivität als EMF = L di/dt. Aber gemäß dem Faradayschen Gesetz und dem Lenz-Gesetz wissen wir, dass die EMF über dem Induktor tatsächlich eine induzierte EMF ist, die der Änderung des Flusses entgegenwirkt, der durch die Wicklung fließt. EMK=-L di/dt. Wenn ja, warum vernachlässigen wir das negative Vorzeichen beim Schreiben von KVL-Gleichungen?

Dies ist ein oft wenig verstandener Aspekt der Schaltungstheorie. In diesem Zusammenhang ist induzierte EMF im Induktor nicht dasselbe Konzept wie Spannung, zumindest nicht im üblichen Sinne „Potentialabfall“, den wir mit Voltmeter oder Oszilloskop messen können und der in der modernen Formulierung von KVL verwendet wird.

Natürlich haben in perfekten Induktoren EMF und Spannung die gleiche Größe (aber entgegengesetzte Wirkung auf den Strom), aber in echten Induktoren mit internem ohmschen Widerstand haben sie nicht einmal die gleiche Größe.

Das Faradaysche Gesetz gibt uns die Formel für induzierte EMF in jedem Induktor (ideal oder real):

Nun müssen wir im Kirchhoffschen Spannungsgesetz alle Spannungen, also Potentialabfälle in der bezeichneten positiven Umlaufrichtung, für alle Elemente eines Stromkreises ausdrücken.

Das Finden und Ausdrücken der Spannung am Induktor ist nicht trivial. Für einen idealen Induktor haben wir Glück, denn aufgrund des Mangels an ohmschem Widerstand muss die auf den Strom in den Spulen wirkende Nettokraft immer effektiv Null sein (kein Widerstand zum Drücken), sodass wir wissen, dass der Potenzialabfall die induzierte EMF genau aufheben muss. Wir haben also einen potenziellen Rückgang in die positive Richtung

Für reale Induktivitäten mit erheblichem ohmschen Widerstand ist diese Beziehung ungültig, da dann in den Spulen der Induktivität der Strom auch die Kraft des ohmschen Widerstands erfährt. Das verallgemeinerte Ohmsche Gesetz impliziert, dass der Strom in einem Drahtstück proportional zur gesamten elektromotorischen Kraft in diesem Drahtstück ist (einschließlich aller Kräfte - induziert, konservativ, nicht-elektromagnetisch usw.). In einer Wicklung eines Induktors haben wir also zwei elektromotorische Kräfte: 1) induzierte elektromotorische Kraft wie oben beschrieben 2) Potentialabfall aufgrund eines elektrostatischen Ladungsfeldes in der Nähe (meistens auf Oberflächen der Leiter im Stromkreis). Wir können diese Beziehung also ausdrücken als

Sie können hier also sehen, dass der Potentialabfall über dem realen Induktor eine andere Größe hat als die induzierte EMF (außer wenn der Strom Null ist).