Stimmt es, dass das 3-Körper-Problem nicht mit den vier Grundfunktionen Radikale und Integrale gelöst werden kann?

In gewissem Sinne ist sogar die Lösung des Zweikörperproblems als Funktion der Zeit im Hinblick auf die elementaren Funktionen unlösbar. Das Problem ist, dass die Lösung die Lösung für die Umkehrung des Kepler-Problems beinhaltet,$M = E - e \sin E$. Diese Umkehrfunktion ist transzendent und kann nicht durch die elementaren Funktionen ausgedrückt werden. Das heißt, es ist ziemlich einfach zu lösen$E$in beliebiger Genauigkeit.

Beim Dreikörperproblem gibt es zwei trivial lösbare Spezialfälle. Dies sind die dreieckigen Lagrange-Punkte (L4 und L5) für das eingeschränkte kreisförmige Dreikörperproblem. Die drei linearen Lagrange-Punkte sind Lösungen für Polynome fünfter Ordnung, und die Lösungen können nicht unter Verwendung der elementaren Funktionen ausgedrückt werden. Aber noch einmal, es ist ziemlich einfach, die Positionen der drei drei linearen Lagrange-Punkte unter Verwendung von Näherungsverfahren zu lösen.

Diese eingeschränkten Drei-Körper-Problem-Lagrange-Punkte sind Sonderfälle. Der allgemeine Fall des Drei-Körper-Problems ist notorisch unlösbar in Bezug auf die elementaren Funktionen. Es gibt eine unendliche Reihenlösung, aber niemand verwendet sie. Vor über einem Jahrhundert gab es einen Preis für die Lösung des Drei-Körper-Problems. Karl Frithiof Sundman wurde dieser Preis 1912 für den Nachweis verliehen, dass eine Lösung in Form einer unendlichen Reihe existiert, in der die Terme immer größer werdende Potenzen der Kubikwurzel der Zeit sind. Der Grund, warum niemand diese Lösung verwendet, ist, dass die Anzahl der erforderlichen Begriffe sehr groß sein kann. Acht Millionen Begriffe sind nicht annähernd genug. Es liegt eher in der Größenordnung von$10^{8000000}$Bedingungen.