Strahlen Gravitationswellen isotrop?

Nein, Gravitationswellen werden nicht isotrop abgestrahlt. In der Schwachfeldgrenze ( dh weit entfernt von den Quellen) wird die von einem Gravitationssystem emittierte Strahlung durch die dritte zeitliche Ableitung seines Quadrupolmoments bestimmt, das als Tensor entlang der Sichtlinie projiziert werden muss, um nachzugeben ein (skalarer) Energiefluss. Diese Projektion gibt die Winkelabhängigkeit des Energieflusses an.

Dass man das Quadrupolmoment beachten muss, ist leicht verständlich: Das Dipolmoment einer Massenverteilung lässt sich immer exakt einstellen$0$wenn der Koordinatenursprung im Systemschwerpunkt gewählt wird. Das Monopolmoment ist die Gesamtsystemmasse, die erhalten bleibt (in der Schwachfeldgrenze), daher ist das Monopolfeld in großen Entfernungen immer vorhanden$-GM/r$, eine Zeitkonstante, also keine Strahlung. Der erste physikalisch relevante Term ist also das Quadrupolmoment,$D_{ab}$.

Wir können den exakten Ausdruck verwenden, um das Obige zu präzisieren. Berufung$X_{ab}$die dritte Ableitung von$D_{ab}$, der über eine Wellenperiode gemittelte Energiefluss in einem Raumwinkelelement$d\!\Omega$in die Richtung$\vec n$, Wo$\vec n$ein Einheitsvektor ist, ist (Landau & Lifshitz, Field Theory, Bd. 2, Kap.13) ist:

$$d\!I = \frac{G}{144\pi c^5}\left((X_{ab}n_an_b)^2 + 2X_{ab}X_{ab} -4 X_{ab}X_{ac}n_b n_c \right) d\!\Omega$$

Offensichtlich,$n_a$sind die Bestandteile von$\vec n$. Der Tensor$D$ist definiert als

$$D_{ab} \equiv \int (3x_a x_b -r^2 \delta_{ab}) \rho d\!V$$

welche Shows$D$symmetrisch und spurlos sein ,$D_{aa} = 0$. Beide Eigenschaften gehen auf über$X \equiv d^3 D/dt^3$, so dass wir immer ein solches Achsensystem wählen können$X$ist (zumindest augenblicklich) diagonal und spurlos:

$$X =\left(\begin{matrix}X_1 & 0 & 0 \\ 0 & X_2 & 0 \\ 0 & 0 & -(X_1+X_2) \end{matrix}\right)$$

Das symmetrischste$X$kann sein, indem man hat$X_1 =X_2$, aber es gibt keine Möglichkeit, dass es haben kann$X_3=X_1=X_2$, weil es spurlos ist. Wenn wir uns jetzt entscheiden$\vec n$ist die Richtung, die durch identifiziert wird$X_1$, wir haben

$$d\!I = \frac{G}{144\pi c^5}\left(4X_2^2+4X_1X_2 \right) d\!\Omega$$

während wenn wir nehmen$\vec n$in der Richtung von$X_3$wir finden:

$$d\!I = \frac{G}{144\pi c^5}\left( 2X_1^2 + 2 X_2^2 \right) d\!\Omega$$

was sich von der vorherigen Formel unterscheidet, ob$X_1 = X_2$oder nicht.