Symmetriegruppen, die Termen in einer Algebra entsprechen

Lassen Sie mich zunächst anmerken, dass if$\mathsf{SySp}(\mathcal{A})$eine beliebige nichttriviale Gruppe enthält , dann enthält sie beliebig große endliche Gruppen. Das liegt nur daran, wenn$t(x_1,\dots,x_n)$Symmetriegruppe hat$H$, dann für alle$m$-ary Betrieb$s$die Symmetriegruppe des Begriffs$s(t(x_{11},\dots,x_{1n}),\dots,t(x_{m1},\dots,x_{mn}))$ist mindestens so groß wie$H^m$(Da können Sie sich bewerben$H$zu jedem der Sätze von$n$innere Variablen unabhängig).

Nun lass$S$eine unendliche Menge sein (eigentlich reicht es wahrscheinlich für$S$nur nicht leer sein) und let$\mathcal{A}$Seien Sie die freie Algebra auf$S$mit einer kommutativen binären Operation. Das behaupte ich$\mathsf{SySp}(\mathcal{A})$besteht vollständig aus$2$-Gruppen.

Um dies zu beweisen, beachten Sie, dass wir an Elemente von denken können$\mathcal{A}$als Isomorphismusklassen von nichtleeren endlichen Bäumen, in denen alle Nicht-Blattknoten zwei Kinder haben (wir werden diese "Binärbäume" nennen), zusammen mit einer Beschriftung der Blätter durch Elemente von$S$. In ähnlicher Weise können wir einen Term mit einem binären Baum identifizieren, in dem jedes Blatt mit einer unserer Variablen gekennzeichnet ist und zwei Terme äquivalent sind, wenn die entsprechenden gekennzeichneten Bäume isomorph sind. Legen Sie einen Begriff fest$t$und lass$T$sei der entsprechende Binärbaum (ohne Beschriftung). Lassen$H\subseteq S_n$sei die Symmetriegruppe von$t$und lass$G$sei die Automorphismengruppe von$T$. Beachten Sie, dass eine Permutation$\sigma\in S_n$ist in$H$falls es einen Automorphismus gibt$f:T\to T$die jedes Blatt beschriftet sendet$i$zu einem beschrifteten Blatt$\sigma(i)$. Lassen$G_0\subseteq G$sei die aus Automorphismen bestehende Untergruppe$f$die diese Eigenschaft für einige haben$\sigma\in S_n$. Dann haben wir einen surjektiven Homomorphismus$G_0\to H$Senden$f$Zu$\sigma$(Dies ist aufgrund der Anforderung, dass jede Variable tatsächlich in erscheinen muss, wohldefiniert$t$).

Also, um das zu zeigen$H$ist ein$2$-Gruppe, es genügt, das zu zeigen$G_0$ist ein$2$-Gruppe, und dafür genügt es, das zu zeigen$G$ist ein$2$-Gruppe. Mit anderen Worten, es genügt zu zeigen, dass die Automorphismengruppe jedes binären Baums a ist$2$-Gruppe. Dies ist einfach durch Induktion über die Größe des Baumes. Der Basisfall eines einzelnen Blattes ist trivial. Angenommen, wir haben für den Induktionsschritt einen binären Baum$T$bestehend aus einer Wurzel mit zwei Teilbäumen$T_0$Und$T_1$darunter, und wir kennen bereits die Automorphismengruppen von$T_0$Und$T_1$Sind$2$-Gruppen. Es gibt einen Homomorphismus$\operatorname{Aut}(T)\to S_2$die einen Automorphismus von sendet$T$wie es permutiert$\{T_0,T_1\}$. Der Kern dieses Homomorphismus besteht aus den Automorphismen von$T$diese Karte jeweils$T_0$Und$T_1$zu sich selbst, was gerecht ist$\operatorname{Aut}(T_0)\times\operatorname{Aut}(T_1)$. Da beide$S_2$Und$\operatorname{Aut}(T_0)\times\operatorname{Aut}(T_1)$Sind$2$-Gruppen, folgt daraus$\operatorname{Aut}(T)$ist ein$2$-Gruppe.

(Allgemeiner gesagt könnten Sie anstelle einer einzelnen kommutativen binären Operation eine beliebige Sammlung von Operationen in Betracht ziehen, die Symmetriegruppen ergeben haben$G_i$in ihren Eingängen. Dann sollte ein ähnliches Argument zeigen, dass if$\mathcal{A}$ist eine freie Algebra über unendlich viele Generatoren bezüglich solcher Operationen, die Ordnungen von Elementen aus$\mathsf{SySp}(\mathcal{A})$kann nur durch Primzahlen teilbar sein, die einige teilen$|G_i|$.)