Die Gruppentheorie kann auf die übliche Weise axiomatisiert werden, indem man sagt, dass es Inverse geben muss, ein Einheitselement und Assoziativität gelten muss, oder sie könnte wie hier in einem "einzelnen Axiom" niedergeschrieben werden . Dies kann auch für Boolesche Algebren , Orthogitter und einige andere algebraische Strukturen durchgeführt werden . Es ist erwähnenswert, dass diese Axiomatisierungen in einer Sprache mit nur einer binären Beziehung oder nur einer binären Beziehung und vielleicht einer Konstante zu sein scheinen. Darüber hinaus scheinen die Axiome selbst zu sein .
Ich sollte sagen, ich würde die Axiomatisierungen, an die ich denke, als "nicht trivial" beschreiben, wobei ein "triviales" Beispiel darin bestünde, einfach die Konjunktion der üblichen Axiome für eine bestimmte Theorie zu nehmen. Je einfacher die Sprache (also die Signatur), desto interessanter fände ich die Axiomatisierung (z. B. ist ein einzelnes Axiom in einer Sprache ohne Konstanten interessanter als eines in einer Sprache mit einer Konstante). Auch je einfacher die Axiomatisierung (zB Nr (oder höher) Formeln), desto interessanter.
Also frage ich jetzt, wann können wir alternative/alternative und interessante Axiomatisierungen für Theorien finden, die dieselben Modelle haben (also als ähnlich/dieselbe Theorie angesehen werden könnten)?
Ein interessantes Beispiel für dieses Phänomen, das weit von den Beispielen entfernt ist, die Sie geben, ist eine Verbesserung von unendlich zu endlich : eine unendliche Menge von Axiomen was sich als endlich axiomatisierbar herausstellt.
Die beiden häufigsten unendlichen Axiomensysteme sind wahrscheinlich (modulo kleine Variationen) Und . Es ist bekannt, dass keine Theorie endlich axiomatisierbar ist, da die Theorie in jedem Fall die Konsistenz jeder ihrer endlichen Teiltheorien beweist – siehe hier für die Fall. Sie haben jedoch Fragmente , die am offensichtlichsten immer noch unendlich axiomatisiert sind, sich aber jetzt als endliche Axiomatisierungen herausstellen, insbesondere durch Beschränkung der relevanten Schemata (Trennung/Ersetzung bzw. Induktion) auf eine feste Ebene einer geeigneten Hierarchie (die Levy- und arithmetische Hierarchien). Die endliche Axiomatisierbarkeit dieser "begrenzten" Fragmente folgt aus der Existenz universeller Formeln in jeder Klasse, wie zum Beispiel, dass das Halteproblem eine vollständige Ce-Menge ist. Dieser "Universalformel"-Trick gibt auch vielen anderen Theorien endliche Axiomatisierbarkeit, zB jeder der "Big Five" in der Rückwärtsmathematik.
Wir haben sogar ein natürliches (ähnliches) Beispiel, das nicht einfach ein Fragment einer besser erzogenen Theorie ist; insbesondere Quines alternative Mengentheorie New Foundations und viele ihrer Varianten.
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