Klären Sie den Satz von Birkhoff (in der universellen Algebra)

Im Unterricht haben wir gesagt, dass die Theorie der Felder als Folge des Satzes von Birkhoff nicht nur durch Gleichungen axiomatisierbar ist. Insbesondere haben wir gesehen, dass das Produkt zweier Körper im Allgemeinen nur ein Ring ist. Ich verstehe jedoch nicht, warum, wenn wir eine Sprache mit verwenden$(+,\cdot,-,\frac {1}{}, 1,0)$, Wo$+$Und$\cdot$sind die binären Operationen von Summe und Produkt,$-$Und$\frac 1 {}$sind die unären Operationen, die die Inversen ergeben, und$1,0$sind die beiden üblichen Konstanten. Es scheint mir, dass in dieser Sprache die Theorie der Felder axiomatisierbar ist, indem man zu den Axiomen eines Rings (das sind alles Gleichungen) das Axiom hinzufügt$\frac 1 x \cdot x=1$, das ist auch eine Gleichung. Wahrscheinlich fehlen mir einige Hypothesen zur Sprache im Theorem von Birkhoff, aber ich sehe keine davon. Thaks für jede Klärung