Hat Axiomatisierbarkeit in der Logik nullter Ordnung wichtige Konsequenzen?

Dies wird normalerweise als universell axiomatisierbar bezeichnet , da die Axiome alle implizite universelle Quantoren über den freien Variablen haben. Es gibt verschiedene nette Eigenschaften von universell axiomatisierbaren Theorien, die in einführenden Modelltheoriebüchern diskutiert werden.

Zum Beispiel, wenn$M$Und$N$sind Strukturen in einer Sprache erster Ordnung$L$Und$M$ist eine Unterstruktur von$N$, dann jedes universelle$L(M)$Satz wahr in$N$stimmt darin$M$. Das bedeutet, wenn$N$erfüllt eine universell axiomatisierte Theorie$T$Und$M$ist eine Unterstruktur von$N$Dann$M$befriedigt auch$T$. Das Tarski-Łoś-Theorem der Modelltheorie stellt die Umkehrung fest: Eine beliebige Theorie erster Ordnung hat genau dann eine Axiomatisierung durch universelle Sätze, wenn die Klasse der Modelle der Theorie unter Substrukturen abgeschlossen ist.

Dies impliziert sofort, dass z. B. Teilbestellungen in der Sprache erfolgen$(<,=)$haben eine universelle Axiomatisierung, weil eine Unterstruktur einer partiellen Ordnung in dieser Sprache wieder eine partielle Ordnung in dieser Sprache ist. Dichte Teilordnungen haben in dieser Sprache jedoch keine universelle Axiomatisierung, weil$\mathbb{Z}$in seiner üblichen Reihenfolge ist eine Unterstruktur von$\mathbb{Q}$in seiner üblichen Reihenfolge.

Die Feldtheorie ist in der üblichen Feldsignatur nicht allgemein axiomatisierbar$(0,1,+,\cdot, =)$. Dies liegt daran, dass die Axiome, die die Existenz von Inversen besagen, nicht rein universell sind (und$\mathbb{Z}$ist eine Unterstruktur von$\mathbb{R}$in dieser Sprache). Wenn man versucht, dies zu umgehen, indem man unär hinzufügt$-$Und$^{-1}$Funktionen, das führt zu anderen Problemen - zum Beispiel dann$\mathbb{R}$ist in der erweiterten Sprache kein Feld mehr, da man zunächst ein beliebiges Element für angeben muss$0^{-1}$, und verschiedene Auswahlmöglichkeiten von$0^{-1}$führen zu nicht isomorphen Strukturen, die alle entsprechen$\mathbb{R}$.