Ist der Verband der Topologien eine Heyting-Algebra?

Ich habe das gelesen, gegeben X ein Satz, wenn T Ö P ( X ) die Menge aller Topologien über X ist, dann können Sie einen distributiven Verband erzeugen ( T Ö P ( X ) < ∧ , ∨ , 0 , 1 ) . Sie können dies erreichen, wenn Sie interpretieren ∧ als Kreuzung, X ∨ j als die von der Unterbasis {x, y} erzeugte Topologie, 0 als die chaotische Topologie und 1 als die diskrete Topologie. (richtig?) Aber warum hört es dort auf? Ist das nicht auch eine Heyting-Algebra? Wenn Sie einen Verteilungsverband mit 0 und 1 erhalten, müssen Sie nur noch eine Bedingung erfüllen: Es muss das relative Pseudo-Komplement existieren, dh für alle A Und B , da ist ein X so dass

A ∧ X ≤ B .

(siehe formale Definition https://en.wikipedia.org/wiki/Heyting_algebra )

Ich kann nicht sehen, wie ich das beweisen oder widerlegen soll. Gibt es weitere Anforderungen zu erfüllen?

Beachten Sie, dass einige Leute zwar den malerischen Begriff "chaotische Topologie" verwendet haben, es jedoch viel üblicher ist, ihn als "indiskrete Topologie" zu bezeichnen.

Antworten (1)

Das Gitter aller Topologien auf einer gegebenen Menge (mindestens 3 Elemente) ist kein Verteilungsverband, also kann es keine Heyting-Algebra sein.

Siehe Thm 1.6 in The Lattice of Topologies: A Survey von RE Larson und SJ Andima: https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.rmjm/1250130634

Sind Sie sicher, dass die Aufgabe nicht lautet: Beweisen Sie, dass die offenen Mengen jeder Topologie eine Heyting-Algebra bilden? (Was eine ganz andere Behauptung ist.) Oder sprechen sie vielleicht nur über die Zwei-Elemente-Menge?
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