Klassifizieren setzt abstrahierte Orte anhand ihrer strukturellen Eigenschaften

Wenn Sie versuchen, Sie richtig zu verstehen, versuchen Sie zu sagen, in welcher Art von Umgebung Sie sich innerhalb des Raums befinden, aber nicht unbedingt dessen genauen Standort.

Betrachten Sie zum Beispiel die reellen Zahlen mit der üblichen Topologie. Jeweils zwei offene Intervalle sind isomorph, also eine Teilmenge von gegeben$\mathbb{R}$Sie möchten sagen: "Dies ist ein offenes Intervall." auch wenn Sie die genauen Endpunkte nicht angeben können.

Was Sie kursiv beschrieben haben, nimmt im Wesentlichen alle Unterstrukturen von$L$und klassifizieren sie nach Isomorphieklassen. Wenn wir die Einführung in die Logik unterrichten, führen wir das Konzept des Isomorphismus der Struktur in einer Sprache erster Ordnung ein. Ich werde hier die Definition geben, der Einfachheit halber werde ich die Sprache so minimieren, dass sie nur eine binäre Beziehung, eine unäre Funktion und ein konstantes Symbol hat.

Vermuten$L$ist eine Sprache mit$R$, eine binäre Beziehung;$F$, eine unäre Funktion; Und$c$eine Konstante.

Lassen$M,N$zwei Strukturen für die Sprache sein$L$. Die Funktion$f\colon M\to N$ist ein Isomorphismus von Strukturen, wenn:

1. $f$ist eine Bijektion;
2. $f(c^M)=c^N$(das ist$f$übersetzt die Konstanten der Sprache);
3. für jeden$a,b\in M$die Beziehung$\langle a,b\rangle\in R^M\iff \langle f(a),f(b)\rangle\in R^N$(das ist$f$bewahrt die Beziehung$R$); Und
4. für jeden$a\in M$wir haben$f(F^M(a)) = F^n(f(a))$(das ist$f$kommutiert mit dem Funktionssymbol$F$)

Man könnte nur eine Möglichkeit der Erhaltung der Interpretation verlangen und das hinzufügen$f^{-1}$auch diese Eigenschaften haben.

In gewisser Weise bedeutet dies, wie Sie interpretieren$L$in der Struktur$M$und in$N$ist genau das gleiche. Natürlich kann es zwischen zwei Strukturen viele Isomorphismen geben, sogar zwischen einer Struktur und sich selbst kann es unendlich viele geben.

Dieser Begriff ist ein allgemeiner Weg, um den Isomorphismus vieler Strukturen in der Mathematik zu betrachten, seien es lineare Räume (durch lineare Operatoren, die bijektiv sind), topologische Räume (durch Homöomorphismus) und so weiter.

Jetzt fügen wir auch den Begriff der Substruktur hinzu. Da die Sprache nur Relationen enthält, vereinfacht sie die Dinge (da Funktionen etwas mehr Arbeit erfordern):

Vermuten$L$ist eine Sprache ohne Funktionssymbole und Konstanten, und$M$ist eine Struktur von$L$.

Ein Unterbau$N$von$M$(normalerweise bezeichnet$N < M$) ist eine Struktur von$L$so dass das Universum von$N$ist eine Teilmenge des Universums von$M$; Und$R^N = R^M\cap |N|\times|N|$(Wo$|N|$ist das Universum von$N$).

Wenn die Sprache Konstanten und Funktionen hat, verlangt man das$N$enthält auch alle Konstanten und wird unter den Funktionen geschlossen, aber in Ihrem Fall ist es der einfache Fall wie$S$besteht nur aus Relationen.

Endlich kommen wir zu dem Punkt, was mir scheint, dass Sie in Ihrem kursiven Text eine Sprache haben, die Sie anrufen$S$und eine Struktur dafür$L$, jetzt versuchen Sie, alle Unterstrukturen von zu klassifizieren$L$durch Isomorphieklassen.

Was die Transformationsgruppe betrifft, bin ich mir nicht sicher, ob ich diesen Teil Ihrer Frage verstehe, und ich würde meiner Antwort gerne weitere Informationen hinzufügen, wenn Sie Fragen oder Erläuterungen zur Frage selbst haben.

Eine letzte Anmerkung, die mir in den Sinn kommt, ist, dass manchmal, wenn man über Teilmengen spricht, eine Logik zweiter Ordnung erforderlich ist (nämlich in der Lage zu sein, Teilmengen des Universums zu quantifizieren), aber die Ideen, die ich oben beschrieben habe, funktionieren ungefähr auf die gleiche Weise.