Tensor vierten Ranges für Stressenergie

Question

Tensor vierten Ranges für Stressenergie

Physik
Kovarianz
generelle Relativität
Stress-Energie-Impuls-Tensor

lurscher

Der Weyl-Tensor entspricht dem Riemann-Tensor im Vakuum

C_{μ v η λ} = R_{μ v η λ}

$C_{\mu \nu \eta \lambda} = R_{\mu \nu \eta \lambda}$

Da wundere ich mich über den Tensor

T_{μ v η λ} = C_{μ v η λ} - R_{μ v η λ}

$T_{\mu \nu \eta \lambda} = C_{\mu \nu \eta \lambda} - R_{\mu \nu \eta \lambda}$

und wie es mit dem Stress-Energie-Tensor 2. Rang zusammenhängt $T_{\mu \nu}$ . Insbesondere sind beide Tensoren in denselben Domänen null und ungleich null, also müssen sie verwandt sein. Andererseits sagt die allgemeine Relativitätstheorie, dass Materie die Geometrie nur durch den Tensor 2. Ranges beeinflusst, sodass theoretisch kein Tensor höherer Ordnung mehr Informationen über die Materiefelder enthalten sollte als das, was er (der Tensor 2. Rang) bereits tut

Ich versuche herauszufinden, ob der Tensor 4. Rang so interpretiert werden kann, dass er mehr Informationen über die Energie-Materie-Felder enthält oder ob die zusätzlichen Freiheitsgrade streng geometrisch sind. Die Frage ist relevant, um alternative Formulierungen der Materiekrümmungsbeziehung zu betrachten, die in einer vernünftigen Grenze zur Einstein-Gleichung tendieren

Antworten (2)

Tensor vierten Ranges für Stressenergie

Benutzer26872 · Answer 1

Dieses Objekt ist mit dem Schouten-Tensor verwandt ,

S_{A B} = \frac{1}{N - 2} (R_{A B} - \frac{R}{2 (N - 1)} G_{A B}) .

$S_{ab} = \frac{1}{n-2}\left(R_{ab} - \frac{R}{2(n-1)} g_{ab}\right).$ Wir finden

{C_{A B}}^{C D} - {R_{A B}}^{C D} = - 4 S_{[A}^{[C} δ_{B]}^{D]} .

${C_{ab}}^{cd} - {R_{ab}}^{cd} = -4 S_{[a}^{[c} \delta_{b]}^{d]}.$ Wie @Luboš Motl erwähnt, hängt dieser Tensor nur vom Ricci-Tensor und der skalaren Krümmung ab. Das heißt, es "weiß" nicht mehr als Ricci - auf der Geometrieseite ist es nichts Neues.

Es macht keinen Sinn zu fragen, wie das zusammenhängt $T_{ab}$ ohne die Einstein-Gleichungen oder eine explizite "alternative Formulierung". Wenn die Einstein-Gleichungen angenommen werden können, ist es eine einfache Übung, sie zu verwenden $R = -\frac{2}{n-2} 8\pi T$ Und $R_{ab} = 8\pi(T_{ab} - \frac{1}{n-2} g_{ab}T)$ .

Lubos Motl · Answer 2

Man kann Ihren Tensor einfach berechnen und vereinfachen $T_{4}$ . Nach der Definition des Weyl-Tensors ist es offensichtlich, dass Ihre

T_{A B C D} = - \frac{2}{N - 2} (G_{A [C} R_{D] B} - G_{B [C} R_{D] A}) + \frac{2}{(N - 1) (N - 2)} R G_{A [C} G_{D] B}

$T_{abcd} = -\frac{2}{n-2} (g_{a[c}R_{d]b} - g_{b[c}R_{d]a}) + \frac{2}{(n-1)(n-2)} R g_{a[c} g_{d]b}$ Auch ohne Verwendung von Bewegungsgleichungen ist Ihr Tensor also nur eine Funktion des Ricci-Tensors (und des Ricci-Skalars, der sowieso die Spur des Ricci-Tensors ist). In dem Vakuum, in dem der Ricci-Tensor durch Einsteins Gleichungen ohne rechte Seite verschwindet, verschwindet also tatsächlich auch Ihr Tensor.

Es ist völlig unlogisch, diesen Tensor als „Verallgemeinerung des Stress-Energie-Tensors“ zu bezeichnen, da er, wie Sie ihn definiert haben, nur von der Metrik und ihren Ableitungen abhängt. Sie können den Ricci-Tensor in der obigen Formel auch durch das entsprechende Vielfache des Spannungs-Energie-Tensors (mit der umgekehrten Spur) ersetzen, indem Sie die Einstein-Gleichungen verwenden. Dann wirst du das sehen $T$ mit vier Indizes kann in der Tat von Objekten wie erhalten werden $T_{ab} g_{cd}$ .

Aber wozu soll es gut sein? Wenn Sie fragen, ob dieses Objekt natürlich, nützlich oder durch irgendetwas gerechtfertigt ist, lautet meine Antwort nein. Wenn Sie jedoch von verschiedenen anderen Feldern mit 4-Indizes und Symmetrien des Riemann-Tensors begeistert sind, möchten Sie vielleicht das Folgende lesen 2000er Artikel von Chris Hull (Seite 10 usw.):

http://arxiv.org/abs/hep-th/0011215

Hallo Lumo, ich schätze, dass alles in Bezug auf die Metrik und den Ricci-Tensor ausgedrückt wird. Wenn Sie darüber nachdenken, sollte Ihr Argument auch für den Einstein-Tensor gelten, da er von denselben Größen abhängt. Bedeutet das, dass der Einstein-Tensor "nur von der Metrik und ihren Ableitungen" abhängt? klar, das stimmt einfach nicht.
Ja, offensichtlich hängt Einsteins Tensor nur von der Metrik und ihren Ableitungen ab, ähnlich wie der Riemann-Tensor, Ricci-Tensor, Ricci-Skalar, Weyl-Tensor oder irgendetwas anderes dieser Art. Alle diese Objekte beschreiben die Krümmung der Raumzeit-Geometrie und sonst nichts. WTF? Einsteins Gleichungen verbinden Einsteins Tensor mit dem Spannungs-Energie-Tensor der Materie – so krümmt Materie die Raumzeit – aber diese Gleichungen sind keine Definitionen von beiden Objekten und sie gelten per Definition nicht. Sie sind dynamische Naturgesetze, die gelten, wenn sie gelten.
auch das Argument, dass es als nicht kontrahierte Tensorprodukte des Spannungs-Energie-Tensors 2. Rang und der Metrik ausgedrückt werden kann, ist gültig, aber beachten Sie, dass es auf der Annahme der Einstein-Gleichung beruht. Ich habe versucht, diese Frage eher zu einer Meta-Frage zu machen, ohne die Einstein-Gleichung anzunehmen (die durch Tautologie zum Scheitern führen würde).
Meine erste Formel beruht nicht auf Einsteins Gleichungen. Wenn Sie den Spannungs-Energie-Tensor künstlich in diese rein geometrischen Größen quetschen wollen (und Riemann-Tensor, Weyl-Tensor und all ihre Funktionen und Kombinationen sind rein geometrische Größen, ob Sie wollen oder nicht), müssen Sie offensichtlich Einsteins Gleichungen verwenden, weil sie Nur so kann der Spannungs-Energie-Tensor mit der Geometrie in Beziehung gesetzt werden. Wenn Sie also unlogischerweise den Spannungs-Energie-Tensor in diese geometrischen Diskussionen einführen wollen, ist es Ihre Schuld, nicht meine, dass man Einsteins Gleichungen verwenden muss.
Wie ich gezeigt habe, aber Sie es bisher völlig versäumt haben zu lesen und zu verstehen, hängt Ihr scheinbar 4-Index-Tensor nur vom 2-Index-Ricci-Tensor ab, sodass das ganze 4-Index-Zeug nur zusätzliches Gepäck ist, das den Punkt verschleiert. Ihr Tensor $T$ hat weniger unabhängige Komponenten als der Riemann-Tensor, da er aus einem 2-Index-Tensor, dem Ricci-Tensor, berechnet werden kann. Sie können Gleichungen für Ihren Tensor schreiben $T_4$ aber sie werden immer noch nur Einsteins Gleichungen multipliziert mit sein $g_{cd}$ auf verschiedene einfache Weise.
Ich habe einige Kommentare zu meiner Frage hinzugefügt, die verdeutlichen, dass der Kontext alternative Formulierungen der Krümmungs-Materie-Beziehung in Betracht zieht, hoffe, dass dies die Verwirrung beseitigt
Wenn Sie eine Theorie wollten, die grundlegende Gleichungen hätte, die einen allgemeinen 4-Index-Tensor mit den Riemann-Tensor-Symmetrien einschränken, würden Sie auch die gleiche Anzahl unabhängiger Freiheitsgrade benötigen, die durch diese Gleichungen eingeschränkt sind. Wenn das Basisfeld die Metrik ist $g_{ab}$ , ist es offensichtlich, dass die Gleichungen (erhalten aus der Variation der Aktion in Bezug auf dieses Feld) sein müssen $T_{ab}$ -Stil-Gleichungen, auch. Wenn Sie 4-Index-Gleichungen wünschen, benötigen Sie 4-Index-Grundfelder. Ich habe auf das Hull-Papier verlinkt, das eine solche Theorie diskutiert.
Wenn Sie sagen "weil sie die einzige Möglichkeit sind, wie der Spannungs-Energie-Tensor mit der Geometrie in Beziehung gebracht werden kann", ist es das! das ist, was ich frage. Wenn Sie wissen, wie Sie dies beweisen können, posten Sie dies als Antwort. Danke!
Ich habe bereits erklärt, warum Ihr spekulativer Teil der Frage, die Sie gerade hinzugefügt haben, auf elementaren kindischen Logikfehlern beruht.

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