Übertragungsleitung: Anpassung der charakteristischen Impedanz

Die Impedanzanpassung ist schwierig, aber die Rolle einer Viertelwellen-Übertragungsleitung besteht darin, eine Impedanz auf eine andere abzubilden. Die tatsächliche Impedanz der Leitung stimmt weder mit der Eingangs- noch mit der Ausgangsimpedanz überein – dies ist durchaus zu erwarten.

Wenn jedoch bei einer bestimmten Frequenz eine korrekt ausgelegte Viertelwellenleitung mit der richtigen Impedanz eingefügt wird, erscheint die Ausgangsimpedanz perfekt an den Eingang angepasst. In Ihrem Fall macht der Transformator das$20\Omega$Impedanz erscheinen, als ob es a ist$100\Omega$Impedanz bedeutet keine Fehlanpassung. Im Wesentlichen leitet es die Wellen von einem Wellenwiderstand zum anderen.

Der einfachste Weg, dies zu visualisieren, ist auf einem Smith-Diagramm, zeichnen Sie die beiden Punkte 0,4 ($20\Omega$) und 2 ($100\Omega$). Zeichnen Sie dann einen Kreis, der auf der Widerstands-/Realachse zentriert ist (Linie in der Mitte), der beide Punkte schneidet. Sie werden feststellen, dass dieser Punkt bei 0,894 ($44.7\Omega$), wenn Ihre Berechnungen korrekt sind. Dies ist unten unter gezeigt$500\mathrm{MHz}$, aber die Frequenz ist nur wichtig, wenn man die elektrische Länge in eine physikalische Länge umrechnet.

Ein Viertelwellentransformator dreht einen bestimmten Punkt um$180^\circ$um seine charakteristische Impedanz auf dem Smith-Diagramm (das ist$\lambda/4 = 90^\circ$vorwärts plus$90^\circ$umkehren).

Warum genau das so ist, ist komplex. Aber das Endergebnis einer langen Ableitung ist das für eine Übertragungsleitung der Impedanz$Z_0$mit einer Impedanzlast verbunden$Z_L$und mit Länge$l$, dann ist die Impedanz am Eingang gegeben durch:

$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\left(\beta l\right)}{Z_0+jZ_L\tan\left(\beta l\right)}$$

Das ist eine hässliche Gleichung, aber es passiert einfach so, wenn die elektrische Länge$\beta l$ist$\lambda/4$($90^\circ$), der$\tan$Teil geht ins Unendliche, wodurch die Gleichung vereinfacht werden kann zu:

$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_0}{Z_L}=\frac{(Z_0)^2}{Z_L}\rightarrow Z_0=\sqrt{\left(Z_{in}Z_L\right)}$$

Daher kommt deine Rechnung.

Wenn der Viertelwellentransformator vorhanden ist, erscheint die Last als an die Quelle angepasst. Mit anderen Worten, der Transformator passt seine beiden Schnittstellen an, nicht nur das Eingangsende.

An dieser Gleichung können Sie auch erkennen, warum der Transformator nur für eine einzige Frequenz funktioniert - weil er auf die physikalische Länge angewiesen ist$\lambda/4$. Sie können tatsächlich (im Allgemeinen mit fortschrittlichen Design-Tools) eine ungefähre Übereinstimmung über einen Bereich von Frequenzen erzielen - im Grunde eine nahe genug, aber nicht exakte Übereinstimmung.

An der Kreuzung zwischen den Linien 2 und 3 wird es eine Reflexion geben. Tatsächlich muss es eine geben, damit dies funktioniert.

Was du tust, ist, dass du das wählst$Z_0$der Linie 2, so dass die Reflexion am 2/3-Übergang nach der Ausbreitung zurück zum 1/2-Übergang die Reflexion am 1/2-Übergang genau aufhebt. Sie richten destruktive Interferenz für die reflektierten Wellen und konstruktive Interferenz für die übertragenen Wellen ein.

Beachten Sie, dass diese Technik nur bei einer bestimmten Frequenz perfekt funktionieren kann, da Linie 2 eine Viertelwellenlänge lang sein muss.