Unendliche Summe definiert durch ∫exxdx∫exxdx\int \frac{e^x}{x}dx vs. Exponentialfunktion Taylor-Reihe

Kürzlich, als ich mit der partiellen Integration herumhantierte, bemerkte ich, dass es möglich ist, unendliche Reihen zu definieren, die zu einem Integral führen. Mein Mathematiklehrer bemerkte dies und sagte mir, ich solle suchen

∫ e X X D X

von dem ich bereits wusste, dass es keine elementare Funktionsdefinition gibt. Nachdem ich einige Male nach Teilen integriert hatte, stellte ich fest, dass dies zur Summierung führte

e X ∑ k = 1 ∞ ( k − 1 ) ! X k + C

oder eher

e X X ∑ k = 0 ∞ k ! X k + C

Was für mich der Taylor-Reihendefinition von e ^ x sehr ähnlich sah:

∑ k = 0 ∞ X k k !

Darin

k ! X k − 1 = X k k !

Gibt es eine Form zwischen dem, was ich gefunden habe, und der Taylor-Reihe der Exponentialfunktion, die ich noch nicht verstehe?

Um das, was Sie tun, rigoros zu machen, versuchen Sie es mit einem (konvergenten) bestimmten Integral, wie z ∫ 1 j e X X D X . Ich denke, Ihr Ansatz führt in diesem Fall zu einer nicht konvergenten asymptotischen Erweiterung. Dies ist immer noch ein bedeutungsvolles Objekt (aber nicht so, wie Sie es in gewöhnlichen Kalkülen gesehen haben).
@Ian Okay, ich werde sehen, was ich von dort bekommen kann.
@Ian Was hast du mit "Dies ist immer noch ein bedeutungsvolles Objekt" gemeint?
Nicht konvergente asymptotische Entwicklungen haben eine Bedeutung, aber nicht im Sinne von N gegen unendlich streben. Stattdessen haben sie eine Bedeutung im Sinne des Parameters X tendenziell zu einem festen Wert, wenn N wird endlich gehalten. en.wikipedia.org/wiki/Asymptotic_expansion
@Ian Ich habe das Integral gelöst, das du mir gegeben hast - es scheint so ∫ A B e X X D X ist nur konvergent für A , B > 1 oder A , B < − 1 .
Nein, das stimmt nicht, es ist für jeden konvergent 0 < A , B < ∞ .
@Ian Oo das habe ich nicht gefunden. Ich habe es wahrscheinlich falsch gemacht, ich werde mehr recherchieren und sehen, was ich vermasselt habe.
Dazu gibt es nicht viel zu sagen: Wenn 0 < A ≤ B < ∞ Dann [ A , B ] ist ein beschränktes Intervall, auf dem e X / X ist kontinuierlich.

Antworten (1)

Sie sind gerade über die Funktion Exponentialintegral (Ei) gestolpert, die eine nicht-elementare Funktion ist. Ohne zu sehr ins Detail zu gehen, bedeutet dies, dass die Funktion nicht vollständig vereinfacht werden kann, und wir können sie bestenfalls als Reihe ausdrücken, wie Sie es getan haben.

Ich glaube jedoch, dass die folgende Erweiterung aufgrund der Einfachheit weiter verbreitet ist:

∫ e X X D X = ∫ 1 X ∑ k = 0 ∞ X k k ! = ∑ k = 0 ∞ ∫ X k − 1 k ! = ∑ k = 0 ∞ X k k ! ⋅ k

Ich weiß, was es ist, ich versuche, die Verbindung zwischen ihm und der Taylor-Reihendefinition der Exponentialfunktion zu finden.
Nun, die Verbindung besteht darin, dass es das Integral der Taylor-Reihe geteilt durch ist X . Scheint nicht viel mehr zu sein XD
Ja, aber die Summation faktorisiert das e^x aus, aber die Summation behält immer noch die multiplikative Inverse des Summanden in der Taylor-Reihendarstellung von e^x.
Unendliche Summe definiert durch ∫exxdx∫exxdx\int \frac{e^x}{x}dx vs. Exponentialfunktion Taylor-Reihe
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v