Das unbestimmte Integral ∫Li2(x)1+x√dx∫Li2⁡(x)1+xdx\int\frac{\operatorname{Li}_2(x)}{1+\sqrt{x}}\,dx: Was ist die Strategie, um ein solches unbestimmtes Integral zu erhalten?

Hier gibt es ein Integral, das ich beim Spielen mit dem Online-Rechner von Wolfram Alpha gefunden habe (daher ist es für mich eine Kuriosität, dass es ein unbestimmtes Integral hat).

(1) ∫ Li 2 ⁡ ( X ) 1 + X D X ,
wobei die Funktion im Zähler des Integranden der Polylogarithmus ist

(2) Li 2 ⁡ ( z ) = ∑ k = 1 ∞ z k k 2 ,
Lesen Sie den entsprechenden Artikel von MathWorld, wenn Sie mehr über diese spezielle Funktion erfahren möchten.

Frage. Für mich scheint es schwierig zu sein, das unbestimmte Integral zu bekommen, das uns der Wolfram Alpha Online-Rechner liefert. Aber können Sie mir die Ideen oder ersten Berechnungen zur Berechnung eines solchen unbestimmten Integrals liefern? Das heißt, stellen Sie sich vor, ich müsste einem Freund/Kollegen einen Entwurf über die Strategie erklären, um ein solches unbestimmtes Integral zu erhalten. Was ist dann das Rezept, das ich ihm/ihr erklären muss, um von oben (ohne alle langweiligen Details) das unbestimmte Integral zu rechtfertigen? Vielen Dank.

Als ich spielte, bevor ich eine solche geschlossene Form des unbestimmten Integrals kannte, war meine Absicht, mich zu rechtfertigen

∫ 0 1 Li 2 ⁡ ( X ) 1 + X D X .

Ich sage diese Worte, um meine Absichten darzulegen. Ich glaube, dass dieses bestimmte Integral nichts Besonderes ist, aber ich war daran interessiert, es zu berechnen, als ich den erwähnten CAS fragte.

Vielen Dank @AdrianKeister
Geschlossene Form des bestimmten Integrals existieren durch Zetaund derivative hypergeometricFunktion.
@MariuszIwaniuk: Ich würde sagen, dass eine geschlossene Form in Bezug auf existiert π 2 , Protokoll ⁡ ( 2 ) Und ζ ( 3 ) nur.
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und Hilfe @MariuszIwaniuk
@ user243301 Reicht es aus, Stammfunktion zu finden 0 ≤ X ≤ 1 ? (Der Integrand ist für solche garantiert reell X )
Ja, das ist natürlich der Grund, warum ich hinzugefügt habe, dass mein Zweck darin bestand, das bestimmte Integral über das Einheitsintervall zu berechnen. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und Hilfe @DavidH

Antworten (1)

Eine natürliche Versuchung besteht darin, die Quadratwurzel aus dem Nenner der Integrandenfunktion zu entfernen, indem man die Substitution erzwingt X = u 2 , dann erweitern Li 2 ( u 2 ) als Maclaurin-Reihe und wandeln das Ganze in eine Kombination von Euler-Summen um, hoffentlich mit geringem Gewicht. In der Tat

∫ 0 1 Li 2 ( X ) 1 + X = 2 ∫ 0 1 u 1 + u Li 2 ( u 2 ) D u = 4 ∫ 0 1 [ 1 − 1 1 + u ] ⋅ [ Li 2 ( u ) + Li 2 ( − u ) ] D u
Wo
∫ 0 1 Li 2 ( u 2 ) D u = − 4 + π 2 6 + 4 Protokoll ⁡ ( 2 )
ist unkompliziert und
∫ 0 1 Li 2 ( u ) 1 + u D u = π 2 6 Protokoll ⁡ ( 2 ) − 5 8 ζ ( 3 ) , ∫ 0 1 Li 2 ( − u ) 1 + u D u = − π 2 12 Protokoll ⁡ ( 2 ) + 1 4 ζ ( 3 )
wurden bereits auf MSE nachgewiesen. Die beteiligten Techniken sind nur die partielle Integration und die funktionalen Beziehungen für die Dilogarithmusfunktion (eine Funktion mit dem Sinn für Humor , nach D.Zagier).

Vielen Dank, meins war nur eine Neugier, das waren meine Gedanken. Und jetzt sehe ich, dass eine so einfache Erklärung angegeben werden kann, auch wenn das entsprechende unbestimmte Integral kompliziert erscheint. Also ja, diese Art von Integralen hat Sinn für Humor.
Somit ist es möglich, durch Ihre Bemerkungen (Änderung von Variablen, Li 2 ⁡ ( u 2 ) = Li 2 ⁡ ( u ) + Li 2 ⁡ ( − u ) ) und bemerkenswerte bestimmte Integrale), aber ich werde abwarten, ob es Benutzer gibt, die mir weitere Bemerkungen über das entsprechende unbestimmte Integral geben. Vielen Dank!!!
Das unbestimmte Integral ∫Li2(x)1+x√dx∫Li2⁡(x)1+xdx\int\frac{\operatorname{Li}_2(x)}{1+\sqrt{x}}\,dx: Was ist die Strategie, um ein solches unbestimmtes Integral zu erhalten?
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