Verstehen der Ursache von Seitenbändern bei der Amplitudenmodulation

Lassen Sie Ihr Trägersignal sein$A_0 \cdot \cos(\omega_c t)$mit Amplitude$A_0$und Trägerfrequenz$\omega_c$. Lass dein Signal eine einfache Welle sein,$\phi(t) = A_s \cdot \cos(\omega_s t)$.

Dann wird das modulierte Signal

Darüber hinaus wird, wie von George in den Kommentaren hervorgehoben, auch der Träger übertragen.

Verwenden der trigonometrischen Identität$\cos(u) \cdot \cos(v) = \frac{1}{2} [\cos(u-v) + \cos(u+v)]$, erhalten Sie das letzte Signal:

Nun, in Wirklichkeit ist Ihr Signal kein einfacher Kosinus, aber Sie könnten eine Fourier-Zerlegung des Signals durchführen und jede Frequenz unabhängig behandeln. Die beiden Frequenzen werden dann verschmiert und Sie erhalten die beiden Seitenbänder.

ein Pfad einer Wellenfunktion, der unabhängig von der "Lautstärke" genau alle 1 / f-Schritte einen Gipfel oder ein Tal berührt

Das ist erstmal nicht richtig. Eine Spitze oder ein Tal in einem Signal$U(t)$ist definiert durch$\frac{\partial U}{\partial t}|_{t_{\mathrm{peak}}}=0$. Wenn$U$ist jetzt ein Produkt eines Spediteurs$U_{\mathrm{c}}(t)$und einige Modulatoren$M(t)$,

Hier,$U_{\mathrm{c}}$selbst wird sicherlich nicht in einer Spitze Null sein, also z$U$gleichzeitig einen Höhepunkt haben$U_{\mathrm{c}}$hatte, die Zeitableitung von$M$muss Null sein - mit anderen Worten, Sie brauchen eine konstante Amplitude!

Trotzdem war Ihre Überlegung ganz richtig: Die Frequenz des Trägers in einem rein amplitudenmodulierten Signal lässt sich immer exakt messen, denn zwar werden die Spitzen und Einbrüche durch die Modulation verschoben, die Nullstellen aber nicht ! Vorausgesetzt, Ihr Trägersignal ist immer positiv und Ihr Träger ist eine einfache Sinuswelle (oder eine andere einfache Welle), können Sie einfach die Nullen zählen$U(t)$über eine lange Zeit$T\gg\tfrac1f$, teile die Zahl durch$2\cdot T$(zwei Nullen pro Periode) und erhalten immer genau die Frequenz von$U_{\mathrm{c}}$. _{(Als Nebenbemerkung: Sie können dies tatsächlich für beliebige Modulatoren tun, aber es ist im Allgemeinen komplizierter.)}

Das Problem ist: In realen Anwendungen müssen Sie hauptsächlich all diese Modulations-/Demodulationsprobleme durchlaufen, damit Sie mehrere Signale gleichzeitig übertragen können, ohne dass eines den anderen im Weg steht. Das heißt, man kann eigentlich gar keine Nulldurchgänge mehr messen, weil man nicht weiß wo$0$ist! Sie müssen unser spezifisches Signal zuerst herausfiltern, aber genau diese Filterung funktioniert nur dann einwandfrei, wenn$M$ist konstant. Wenn dies nicht der Fall ist und Sie versuchen, Ihre Trägerfrequenz zu eng herauszufiltern, werden Sie alle übermittelten Informationen wegfiltern$M$zu. Um dies zu vermeiden, müssen Sie Ihre mehreren Trägerfrequenzen weit genug voneinander entfernt platzieren, damit Sie einen toleranteren Filter verwenden können, und der erforderliche Abstand ist nur die Breite der Seitenbänder.

Eine Welle mit Amplitudenmodulation kann mit einem Träger beschrieben werden$A_0 cos(\omega_c t)$und ein Modulationsfaktor$\left [1+a_s cos(\omega_a t)\right ], |a_s| <1, \omega_s <<\omega_c$:

$A(t)=A_0 cos(\omega_c t)\cdot \left [1+a_s cos(\omega_s t) \right ]=A_0 cos(\omega_c t)+A_0a_s cos(\omega_c t)cos(\omega_s t)$

Der erste Term ist eine Trägerfrequenz und der letzte Term ist eine Überlagerung von zwei leicht unterschiedlichen Frequenzen ($cos[(\omega_c-\omega_s)t]+cos[(\omega_c-\omega_s)t]$), wie von Lagerbaer erklärt wurde. Somit hat man im Gesamtsignal drei Frequenzen – einen Träger und zwei Seitenbänder.

Sie haben Recht, dass das modulierte Signal alle 1/f eine Spitze und alle 1/f ein Tal berührt. Aber wenn Sie sich die Wellenform eines Trägers ansehen, der durch eine reine Sinuswelle mit viel niedrigerer Frequenz amplitudenmoduliert wird, ist es intuitiv, dass es eine andere Frequenzkomponente gibt. (Das ist der „fühlende“ Teil.) Die Mathematik in anderen Beiträgen zeigt Ihnen, was diese Frequenzbeziehungen sind.

Ich möchte hinzufügen, dass kommerzielle AM-Stationen keine Signale haben, die diesen Beispielen entsprechen: Die Beispiele haben andere Nulldurchgänge als die, die vom Träger erwartet würden (z. B. immer dann, wenn der Kosinusterm im modulierenden Signal = 0 ist). Kommerzielle AM-Sender lassen nicht zu, dass ihre Träger auf eine Amplitude von Null heruntermoduliert werden.