Verwechslung mit Ableitung von fiktiven Kräften

Ich persönlich finde die Beschreibungen auf Wikipedia ziemlich verwirrend, also schreibe ich eine in sich geschlossene Herleitung in meinen eigenen Worten; hoffentlich hilft das. Hinweis: Ich werde durchgehend die Einstein-Summennotation verwenden.

Um zu verstehen, was wirklich bei der Herleitung vor sich geht, werde ich versuchen, die reine Mathematik von der Physik zu trennen. Insbesondere werde ich ein rein mathematisches Ergebnis herleiten und dieses Ergebnis dann am Ende interpretieren.

Etwas reine Mathematik

Lassen$\{\mathbf e_i\}$bezeichnen die standardmäßig bestellte Basis auf$\mathbb R^3$. Nämlich$\mathbf e_1 = (1,0,0)$usw. Für jede reelle Zahl$t$, lassen$\{\mathbf u_i(t)\}$bezeichnen eine Orthonormalbasis auf$\mathbb R^3$, möglicherweise zu jedem Zeitpunkt anders als der Standard$t$, generiert durch eine Rotationsfamilie mit einem Parameter (Elemente von$\mathrm{SO}(3)$)$B(t)$;

$$\mathbf u_i(t) = B(t)\mathbf e_i.$$ Beachten Sie, dass jede Vektorfunktion $\mathbf w(t)$kann in beiden Basis geschrieben werden, nämlich gibt es reelle Funktionen $w^i(t)$Und $w^i_B(t)$wofür $$\mathbf w(t) = w^i(t)\mathbf e_i = w^i_B(t)\mathbf u_i(t)$$ Der Einfachheit halber definieren wir für jede solche Vektorfunktion $$\mathbf w_B(t) = w^i_B(t)\mathbf e_i$$ und mit dieser Notation haben wir insbesondere das $$\mathbf w(t) = B(t)\mathbf w_B(t)$$ Lassen Sie nun beliebige Vektorfunktionen $\mathbf r(t), \mathbf X(t)$gegeben sein und eine Vektorfunktion definieren $\mathbf x(t)$von $$\mathbf x(t) = \mathbf X(t) +\mathbf r(t)$$ Wir lassen einen Überpunkt die Ableitung einer beliebigen Funktion in Bezug auf ihr Argument bezeichnen, und wir bemerken, dass wir jede Vektorfunktion, die hier erscheint, in einer der beiden oben definierten Basen schreiben können. Lass uns schreiben $\mathbf r(t)$im $\mathbf u_i$Basis; $$\mathbf x(t) = \mathbf X(t) + r_B^i(t)\mathbf u_i(t)$$ dann haben wir $$\dot{\mathbf x}(t) = \dot{\mathbf X}(t) + \dot r^i_B(t)\mathbf u_i(t) + r^i_B(t)\dot{\mathbf u}_i(t)$$ Und $$\ddot{\mathbf x}(t) = \ddot{\mathbf X}(t) + \ddot r^i_B(t)\mathbf u_i(t) + 2\dot r^i_B(t)\dot{\mathbf u}_i(t) + r^i_B(t)\ddot{\mathbf u}_i(t)$$ Bevor wir uns nun mit physikalischen Interpretationen befassen, finde ich es nützlich, diese Gleichung in Bezug auf die Familie der Rotationen mit einem Parameter zu fassen $B(t)$.
$$\ddot{\mathbf x}(t) = \ddot{\mathbf X}(t) + B(t)(\ddot r^i_B(t)\mathbf e_i) + 2\dot B(t)(\dot r^i_B(t)\mathbf e_i) + \ddot B(t)(r^i_B(t)\mathbf e_i)$$ Wie bei der obigen Notation für einen allgemeinen Vektor $\mathbf w$, wir definieren $$\mathbf r_B(t) = r^i_B(t)\mathbf e_i, \qquad \dot{\mathbf r}_B(t) = \dot r^i_B(t)\mathbf e_i, \qquad \ddot{\mathbf r}_B(t) = \ddot r^i_B(t)\mathbf e_i$$ Dann können wir die abgeleitete Gleichung schreiben als $$\ddot{\mathbf x}(t) = \ddot{\mathbf X}(t) + B(t)\ddot{\mathbf r}_B(t) + 2\dot B(t)\dot{\mathbf r}_B(t) + \ddot B(t)\mathbf r_B(t)$$ Beachten Sie, dass wir diese Gleichung unter Verwendung der Orthogonalität von neu anordnen können $B$wie folgt (ich lasse ab hier das Zeitargument der Kürze halber weg). $$\begin{align} \ddot {\mathbf r}_B = B^t\ddot{\mathbf x} - B^t\ddot{\mathbf X} - 2B^t\dot B\dot{\mathbf r}_B - B^t\ddot B\mathbf r_B \end{align}$$ Jetzt definieren $$\begin{align} \Omega_B = B^t\dot B \end{align}$$ dann ist es nicht schwer, das zu überprüfen $$\begin{align} B^t\ddot B = \Omega_B^2 + \dot \Omega_B \end{align}$$ damit wir bekommen $$\begin{align} \ddot {\mathbf r}_B = B^t\ddot{\mathbf x} - B^t\ddot{\mathbf X} - 2\Omega_B\dot{\mathbf r}_B - \Omega_B^2\mathbf r_B - \dot \Omega_B \mathbf r_B \end{align}$$ Seit $B$ist orthogonal, $\Omega_B$ist eine schiefsymmetrische Matrix, also gibt es einen Vektor $\mathbf\Omega_B$so dass für jeden Vektor $\mathbf w$, wir haben $$\begin{align} \Omega_B \mathbf w = \mathbf\Omega_B\times\mathbf w \end{align}$$ und folglich $$\begin{align} \Omega_B^2\mathbf w = \mathbf\Omega_B\times(\mathbf\Omega_B\times\mathbf w), \qquad \dot\Omega_B \mathbf w = \dot{\mathbf\Omega}_B\times\mathbf w \end{align}$$ also bekommen wir endlich $$\begin{align} \boxed{\ddot {\mathbf r}_B = B^t\ddot{\mathbf x} - B^t\ddot{\mathbf X} - 2\mathbf\Omega_B\times\dot{\mathbf r}_B - \mathbf\Omega_B\times(\mathbf\Omega_B\times\mathbf r_B) - \dot{\mathbf \Omega}_B\times \mathbf r_B} \end{align}$$

Was das alles physikalisch bedeutet.

Lassen Sie einen Physiker namens Alice einen Satz kartesischer Achsen in einem Inertialsystem aufstellen, und lassen Sie Bob kartesische Achsen in einem Nicht-Inertialsystem aufstellen. Die Tripel

$$\begin{align} \mathbf x(t) &= (x^1(t) ,x^2(t), x^3(t)) \\ \mathbf X(t) &= (X^1(t), X^2(t), X^3(t)) \\ \mathbf r(t) &= (r^1(t), r^2(t), r^3(t)) \end{align}$$ stellen die reellen Zahlen dar, die Alice für die Position eines Teilchens messen würde, die Position des Ursprungs von Bobs Koordinaten bzw. die Differenz zwischen diesen beiden. Das Dreifache $$\mathbf r_B(t) = (r^1_B(t), r^2_B(t), r^3_B(t))$$ stellt die reellen Zahlen dar, die Bob für die Position desselben Teilchens messen würde. Vor allem die Dreier $$\begin{align} \dot{\mathbf r}_B(t) &= (\dot r^1_B(t), \dot r^2_B(t),\dot r^3_B(t)) \\ \ddot{\mathbf r}_B(t) &= (\ddot r^1_B(t), \ddot r^2_B(t), \ddot r^3_B(t)) \end{align}$$ stellen die reellen Zahlen dar, die Bob messen würde, die die Komponenten der Geschwindigkeit und Beschleunigung des Teilchens ergeben.

Lassen Sie uns vor diesem Hintergrund die umrandete Gleichung interpretieren. Links ist die von Bob gemessene Beschleunigung des Teilchens. Rechts ist der erste Term nur die Beschleunigung$\ddot{\mathbf x}$des Teilchens, gemessen von Alice mit einer zusätzlichen Drehung$B^t$um den Unterschied in der Ausrichtung der Achsen der beiden Rahmen zu berücksichtigen. Der zweite Term ist die Beschleunigung$\ddot{\mathbf X}$des Ursprungs von Bobs Rahmen, gemessen von Alice mit einer zusätzlichen Drehung$B^t$um die unterschiedliche Ausrichtung der Achsen der beiden Rahmen zu berücksichtigen. Der dritte Term ist der bekannte Ausdruck für die Coriolis-Beschleunigung , der vierte Term die Zentrifugalbeschleunigung und der letzte Term die Euler-Beschleunigung . Insbesondere das Durchmultiplizieren mit der Masse$m$des Teilchens gibt jeder der Ausdrücke auf der rechten Seite den Standardausdruck für jede der verschiedenen entsprechenden fiktiven Kräfte an.

$$\begin{align} m\ddot {\mathbf r}_B = B^t(m\ddot{\mathbf x}) - B^t(m\ddot{\mathbf X}) \underbrace{- 2m\mathbf\Omega_B\times\dot{\mathbf r}_B}_{\text{Coriolis}} \,\, \underbrace{- m\mathbf\Omega_B\times(\mathbf\Omega_B\times\mathbf r_B)}_{\text{centrifugal}} \,\, \underbrace{- m\dot{\mathbf \Omega}_B\times \mathbf r_B}_{\text{Euler}} \end{align}$$

Der Vektor$\mathbf \Omega_B$- Wichtige Subtilität.

Beachten Sie, dass ich den Vektor definiert habe$\mathbf\Omega_B$über die schiefsymmetrische Matrix$\Omega_B = B^t\dot B$. Insbesondere,$\mathbf\Omega_B$ist der eindeutige Vektor, für den

$$\Omega_B \mathbf w = \mathbf\Omega_B\times\mathbf w$$ Beachten Sie jedoch auf Wikipedia den analogen Vektor, den ich nennen werde $\mathbf \Omega_\mathrm{wiki}$ist als der Vektor definiert, für den $$\dot{\mathbf u}_i = \mathbf\Omega_\mathrm{wiki}\times\mathbf u.$$ Aber beachte das da $\mathbf u_i = B\mathbf e_i$, wir haben $$\dot{\mathbf u}_i = \dot B \mathbf e_i = \dot B B^tB\mathbf e_i = \dot B B^t \mathbf u$$ also wenn wir definieren $\Omega_\mathrm{wiki} = \dot B B^t$, dann sehen wir das Wikipedia $\mathbf\Omega_\mathrm{wiki}$ist genau das wofür $$\Omega_\mathrm{wiki}\mathbf w = \mathbf\Omega_\mathrm{wiki}\times \mathbf w$$ Insbesondere meine $\Omega_B$und Wikipedias $\Omega_\mathrm{wiki}$durch Ähnlichkeitstransformation verwandt sind; $$\Omega_B = B^t\Omega_\mathrm{wiki} B$$ woraus folgt, wie Sie zeigen können, dass $$\mathbf\Omega_\mathrm{wiki} = B\mathbf\Omega_B$$ In der Tat, in der Wikipedia-Konvention, $\mathbf\Omega_\mathrm{wiki}$stellt die Winkelgeschwindigkeitskomponenten in der nicht rotierenden Basis dar, während in meiner Konvention $\mathbf\Omega_B$stellt die Winkelgeschwindigkeitskomponenten in der rotierenden Basis dar, weshalb ich zunächst einen Index eingefügt habe $B$als ich es definiert habe.

Ich hoffe, das war besser als Wikipedia. Ich denke, das ist alles ziemlich klar in meinem eigenen Kopf, lassen Sie mich wissen, ob meine Formulierung und Notation klar waren. Wenn nicht, werde ich versuchen, zur Verdeutlichung zu bearbeiten.

Beachten Sie, dass Sie die Notation geändert und invertiert haben$A$Und$B$. Für mich, wie für Wikipedia,$B$die Nichtträgheitsrahmengrößen darstellen.

Ich denke, Ihre Verwirrung ist das$\hat{u}^{i}$stellt einen Einheitsvektor des Nicht-Trägheitsrahmens dar, sie sind im Rahmen zeitabhängig$A$da sie für Beobachter einziehen$A$, und bewegen Sie sich mit dem Nicht-Trägheitsrahmen$B$. Ein Beobachter drin$B$wird das nicht sehen$\hat{u}^{i}$bewegt sich aber. Dies geht aus der ersten Gleichung auf der von Ihnen zitierten Wikipedia-Seite sowie aus der dortigen Abbildung hervor.

So,

$$\mathbf{x}_{B} = x_{i}\hat{u}^{i}$$

ist die Position des Teilchens im Nicht-Trägheitssystem$B$. Wie üblich wird die Geschwindigkeit durch definiert

$$\mathbf{v}_{B} = \dot{x}_{i}\hat{u}^{i}$$

und das gleiche für die beschleunigung. Diese Definitionen sind wahr$in$der Rahmen$B$.

Aber für den Beobachter in$A$, beide$x_{i}$ $and$Die$\hat{u}^{i}$wird sich in der Zeit bewegen, also die vollständigere Beziehung, die Wikipedia gibt.