Wärmeleitfähigkeit von Metallen

Der Metallstab wird heißer. Nur nicht sehr viel für eine große Rute.

Die Energie fließt von Ihren Fingern zum Metall, bis die Temperatur des Metalls die Temperatur Ihrer Finger erreicht. Bei einem großen Metallgegenstand wird dies aus praktischen Gründen niemals passieren. Bei einem kleinen Objekt passiert es jedoch. Wenn Sie einen Cent aufheben, fühlt er sich zunächst kühl an, nach ein oder zwei Minuten fühlt er sich nicht mehr kühl an.

Beachten Sie, dass es ungefähr eine Minute dauert, um einen Cent so weit aufzuheizen, dass er sich nicht mehr kühl anfühlt. Bei großen Objekten würde es eine sehr, sehr lange Zeit dauern, während der das Metall Energie an die Luft verliert ... also hört es möglicherweise nie auf, sich kühl anzufühlen.

Wenn sich etwas kalt anfühlt , ist es nicht die Temperatur, die es kalt anfühlt, sondern die Wärmeübertragungsrate (Wärmefluss) von Ihrem Körper zum Objekt.

Bedenken Sie, dass die Wärmeleitung dem Fourier-Gesetz folgt .$\dot{q} = -k A \Delta T$

Wir können diese Gleichung für unsere Zwecke vereinfachen, indem wir eines der Objekte als unseren Körper mit Körpertemperatur 37 annehmen$^\circ$C, und das andere Prüfobjekt immer die gleiche Kontaktfläche haben. Wir können daraus schließen, dass der Wärmefluss von der Wärmeleitfähigkeit des Objekts, die eine Eigenschaft des Materials ist, aus dem es besteht, und seiner Temperatur abhängt.

$$\dot{q}\sim k~(T - 37)$$

Spielen wir ein bisschen damit herum.

Fall 1: Berühren des gleichen Objekts bei unterschiedlichen Temperaturen
In diesem Fall$T$variiert.$k$bleibt konstant. Das gibt uns$\dot{q}\sim(T - 37)$, weshalb sich ein Cent bei 0 ° C kälter anfühlt als ein Cent bei 30 ° C

Fall 2: Berühren eines Groschens und einer Tonmünze bei gleicher Temperatur
In diesem Fall$T$ist dasselbe, und die Gleichung reduziert sich auf$\dot{q} \sim k$. Wir wissen, dass die Leitfähigkeit einer Tonmünze geringer ist als die Leitfähigkeit einer Metallmünze. Deshalb spüren wir, dass die Metallmünze schneller Wärme von unserem Finger entfernt, und daher fühlt es sich kälter an.

Wenn Sie also aus der Perspektive der Münze schauen, gewinnt diese schneller an Wärme und erreicht somit schneller Ihre Körpertemperatur. Die Tonmünze braucht länger, um die gleiche Temperatur zu erreichen.

Da die Temperaturdifferenz der treibende Parameter für die Leitung ist, erreichen beide mit genügend Zeit die gleiche Temperatur.

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Nun zu etwas komplizierterer Mathematik.

Die Fourier-Gleichung kann umgeschrieben werden als

$$\begin{align} \dot{q} &= -k A \Delta T = \frac{\text{d}q}{\text{d}t} \\ \therefore \frac{\text{d}q}{\text{d}t} &= -k A (T - T_{res}) \\ \text{d}q &= m C \text{d}T \\ \therefore m C \frac{\text{d}T}{\text{d}t} &= -k A (T - T_{res}) \\ \therefore \frac{\text{d} T}{T - T_{res}} &= -\frac{k A}{m C} \text{d} t \\ \therefore \int_{T_{init}}^{T}\frac{\text{d} T}{T - T_{res}} &= \int_0^t-\frac{k A}{m C} \text{d} t \\ \therefore \ln(\frac{T - T_{ref}}{T_{init} - T_{ref}}) &= -\frac{k A}{m C} t \\ \therefore \frac{\Delta T}{\Delta T_{init}} &= \exp(-\frac{k A}{m C} t) \\ \therefore \frac{\Delta T}{\Delta T_{init}} &= \exp(-\phi t) \\ \therefore \dot{q} &= -k A \exp(-\phi t) \Delta T_{init} \end{align}$$

Wie Sie auf diesem Bild sehen können, fällt die Temperaturdifferenz viel schneller, wenn$\phi$ist größer, dh$k A / m C$ist größer. Wenn Masse und Kontaktfläche beider Vergleichsobjekte identisch sind, bedeutet dies, dass die größer ist$k / C$, desto schneller erreicht das Objekt das Gleichgewicht mit dem Wärmereservoir. Hier ist das gleiche Diagramm, das jedoch die Temperatur der Münze anfänglich bei 0 ° C mit der Zeit zeigt, wenn sie ein Wärmereservoir bei 37 ° C berührt.

Dieses nächste Bild zeigt den Wärmestrom aufgetragen gegen die Zeit. Wie Sie sehen können, eine kleinere$k$ergibt einen geringeren Wärmefluss, der jedoch über einen längeren Zeitraum aufrechterhalten wird.

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Anmerkungen:

$C$ist die spezifische Wärme des Materials, aus dem die Münze besteht.$k$ist seine Wärmeleitfähigkeit.$m$ist die Masse und$A$ist die Kontaktfläche zwischen dem Objekt und dem Hörreservoir.

Ich würde sagen, dass das Lehrbuch hier einige ziemlich vage Begriffe verwendet, obwohl ich mir vorstelle, dass dies einfach dazu dient, Ihnen das Verständnis zu erleichtern. Unterschiedliche Materialien haben unterschiedliche spezifische Wärmekapazitäten, eine Eigenschaft, die angibt, wie viel Wärme erforderlich ist, um die Temperatur des Materials um 1 Grad Celsius pro Gramm des Materials zu erhöhen. Zum Beispiel beträgt die spezifische Wärme von Wasser 1 Kalorie pro Gramm pro Grad Celsius (oder äquivalent 4,184 Joule pro Gramm pro Grad Celsius – ich verwende hier nur Kalorien, weil ich in meiner Erklärung einfache Zahlen verwenden kann). Das bedeutet, dass Sie, wenn Sie Wärme im Wert von 50 Kalorien zugeführt haben, die Temperatur von 1 Gramm Wasser von 25 auf 75 ° C (eine Änderung von 50 ° C) oder die Temperatur von 50 Gramm Wasser von 25 auf 75 ° C erhöhen könnten 26 C oder jede andere Änderung, bei der die Masse mal der Temperaturänderung 50 beträgt. Metalle haben im Allgemeinen sehr niedrige spezifische Wärmewerte, während isolierendere Substanzen wie Wasser und Holz höhere spezifische Wärmewerte haben.

Etwas "fühlt sich kälter an" zu sagen, ist ziemlich vage. Ich würde argumentieren, dass sie in dem Moment, in dem Sie Metall oder Holz berühren, wahrscheinlich dasselbe für Sie "fühlen". Wenn Sie jedoch beispielsweise 50 Gramm Holz und 50 Gramm Metall festhalten, wird das Metall viel weniger Zeit brauchen, um Körpertemperatur zu erreichen. Unter der Annahme, dass Ihr Körper Wärme an beide mit der gleichen Rate abgibt, ist weniger Energie erforderlich, um die Temperatur des Metalls (mit niedriger spezifischer Wärme) mit einer äquivalenten Holzmasse (mit hoher spezifischer Wärme) zu erhöhen. Sie können leicht eine Tabelle mit spezifischen Wärmen für einige gängige Materialien finden, indem Sie einfach im Internet suchen.

Ich hoffe das hilft!