Warum entsteht beim kapillaren Aufstieg am oberen Ende des Rohres zwischen Innen- und Außenfläche ein Druckunterschied von hρghρgh\rho g?

Question

Warum entsteht beim kapillaren Aufstieg am oberen Ende des Rohres zwischen Innen- und Außenfläche ein Druckunterschied von hρghρgh\rho g?

Physik
Druck
Fluid-Statik
Kapillarwirkung

Versuchen Sie es mit der Freiheit

Eine Glaskapillare hat die Form eines Kegelstumpfes mit einem Spitzenwinkel Alpha, so dass ihre beiden Enden Querschnitte mit unterschiedlichen Radien haben. Wenn es senkrecht in Wasser getaucht wird, steigt Wasser bis zu einer Höhe h , wo der Querschnittsradius b ist. Wenn die Oberflächenspannung von Wasser S ist, seine Dichte $\rho$ , und sein Kontaktwinkel mit Glas ist $\theta$ , der Wert von $h$ wird sein..?

Quelle

In der allerersten Zeile der Lösung des Problems wird davon ausgegangen $P_0 -P_1 = \rho gh$

Wo $P_0$ ist der Druck gerade draußen und $P_1$ ist der Innendruck

Aber ich verstehe es nicht, $\rho g h$ Ist der Druckunterschied zwischen dem obersten Punkt des offenen Bechers und dem untersten Punkt, in dessen Nähe die Kanten zusammenlaufen, wie ergibt sich auch der Druckunterschied zwischen direkt außerhalb und innerhalb der zur Atmosphäre offenen Wasseroberfläche?

Johannes Jäger

Würden Sie bitte die letzte Zeile im oberen Abschnitt Ihrer Frage bearbeiten und beenden. Überprüfen Sie vielleicht auch die Positionen der Orte, an denen

P_{0}

$P_0$ Und

P_{1}

$P_1$ Sind...

Versuchen Sie es mit der Freiheit

Entschuldigung, ich wusste nicht, was ich dachte, als ich den Titel schrieb. Ich bin etwas zu schnell gefahren. Ich habe es jetzt korrigiert, danke, dass Sie meine Frage sorgfältig geprüft haben. Hmm, ich verstehe nicht ganz, was Sie mit der Position von sagen wollen

P_{0}

$P_0$ Und

P_{1}

$P_1$

Johannes Jäger

Nun, es ist wahrscheinlich die gleiche Verwirrung, die Sie haben, aber es schien seltsam, dass sie dort platziert wurden, wo sie waren. Die Änderung, auf die verwiesen wurde, war "der Wert von * wird sein", bitte fügen Sie etwas anstelle von * ein

Antworten (2)

Warum entsteht beim kapillaren Aufstieg am oberen Ende des Rohres zwischen Innen- und Außenfläche ein Druckunterschied von hρghρgh\rho g?

Würden Sie bitte die letzte Zeile im oberen Abschnitt Ihrer Frage bearbeiten und beenden. Überprüfen Sie vielleicht auch die Positionen der Orte, an denen $P_0$ Und $P_1$ Sind...
Entschuldigung, ich wusste nicht, was ich dachte, als ich den Titel schrieb. Ich bin etwas zu schnell gefahren. Ich habe es jetzt korrigiert, danke, dass Sie meine Frage sorgfältig geprüft haben. Hmm, ich verstehe nicht ganz, was Sie mit der Position von sagen wollen $P_0$ Und $P_1$
Nun, es ist wahrscheinlich die gleiche Verwirrung, die Sie haben, aber es schien seltsam, dass sie dort platziert wurden, wo sie waren. Die Änderung, auf die verwiesen wurde, war "der Wert von * wird sein", bitte fügen Sie etwas anstelle von * ein

Philipp Holz · Answer 1

Philipp Holz

Neben dem Druck in der Luft direkt über dem Meniskus, $P_\text 0$ ist auch der Druck an der Wasseroberfläche in der Schüssel (unter Vernachlässigung von Druckänderungen in der Luft über der Höhe $h$ ). Die von Ihnen zitierte Gleichung gibt also einfach die hydrostatische Druckdifferenz in der Flüssigkeitssäule an – und das ist die gleiche wie die Druckdifferenz über dem Meniskus!

Versuchen Sie es mit der Freiheit

Hmm, ich bin mir nicht sicher, ob ich das verstehe, wie wollen wir den Druckunterschied zwischen rechts außen und rechts innen bekommen. Warum brauchen wir ihn bis zum Boden der Röhre?

Philipp Holz

Ich fürchte, ich kann Ihren Kommentar nicht verstehen. Ich habe meine Antwort ergänzt, in der Hoffnung, dass es Ihnen jetzt klar ist.

Versuchen Sie es mit der Freiheit

Hallo, es hilft ein bisschen, aber was ich nicht verstehe, ist, warum die Druckdifferenz über dem Meniskus dieselbe ist wie die hydrostatische Druckdifferenz über der Flüssigkeitssäule. Ich verstehe die Situation, aber nicht, warum die Situation so ist, wie sie ist.

Philipp Holz

Druck über dem Meniskus – Druck knapp unter dem Meniskus =

p_{0} - p_{1}

$p_0 - p_1$ . Druck am Boden der Säule – Druck direkt unter dem Meniskus =

p_{0} - p_{1}

$p_0 - p_1$ =

h ρ g

$h\rho g$ . Also Druck über Meniskus – Druck knapp unter Meniskus =

p_{0} - p_{1}

$p_0 - p_1$ =

h ρ g

$h\rho g$ . Wenn Sie immer noch nicht verstehen, lesen Sie den ersten Satz meiner Antwort noch einmal und denken Sie darüber nach!

Philipp Holz

Vielleicht müssen Sie die Dinge im Zusammenhang sehen. Mit der Notation in Ihrem zweiten Diagramm sagt Ihnen die Standard-Oberflächenspannungstheorie das

P_{0} = P_{1} + \frac{2 T}{R}

$p_0=p_1 + \frac{2T}{R}$ in welchem

R = b \sec (θ + \frac{1}{2} α)

$R=b\sec(\theta +\frac 12 \alpha)$ . Daher ist der Druck in der Flüssigkeit auf Höhe der Flüssigkeitsoberfläche in der Schüssel

P_{1} + H ρ G = P_{0} - \frac{2 T}{R} + H ρ G .

$p_1 + h\rho g\ \ \ =\ \ \ \ p_0 - \frac{2T}{R}+ h\rho g.$ Aber – und hier ist der Schritt, den Sie meiner Meinung nach vermisst haben – der Druck in der Flüssigkeit auf Höhe der Flüssigkeitsoberfläche in der Schüssel ist es auch

p_{0}

$p_0$ (Luftdruck). So...

P_{0} - \frac{2 T}{R} + H ρ G = P_{0} .

$p_0 - \frac{2T}{R}+ h\rho g=p_0.$

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Ich verstehe, was Sie jetzt gesagt haben (den mathematischen Teil). Das Ergebnis fühlt sich aber wirklich unglaublich an...

Philipp Holz

"Das Ergebnis fühlt sich aber wirklich unglaublich an... " Aber Wasser steigt wirklich ein Kapillarrohr hoch! Und der Höhenanstieg stimmt mit der gerade hergeleiteten Gleichung überein!

Johannes Jäger · Answer 2

Hier gibt es eine Formel

https://thefactfactor.com/facts/pure_science/physics/numerical-problems-on-capillary-action/5329/

Das ergibt die Höhe der Kapillarsäule

\begin{matrix} (1) & H = \frac{2 T \cos θ}{R ρ G} \end{matrix}

$h = \frac{2T\cos\theta}{r \rho g}\tag1$

Die Oberflächenspannung muss das Gewicht der Kapillarsäule tragen, da kommt der Druckunterschied ins Spiel $h \rho g \times \pi a^2$ Wo $a$ ist der Radius unten.

Dies ist nur eine Idee, aber vielleicht stammt Formel 1) aus dieser Ableitung und setzt die Aufwärts- und Abwärtskräfte gleich

\begin{matrix} (2) & π R^{2} H ρ G = T C Ö S θ 2 π R \end{matrix}

$\pi r^2 h \rho g = Tcos \theta 2 \pi r \tag 2$

wo links $r$ wird später durch ersetzt $a$ und das Recht $r$ Ersetzt mit $b$ , Obwohl $a$ möglicherweise in Bezug auf gefunden werden müssen $h$ Und $\theta$ ...viel Glück.

PS Denken Sie, Ihre Frage war im Internet, hier ( https://www.concepts-of-physics.com/mechanics/capillary-rise.php ), immer noch am besten zu verstehen, indem Sie Aufwärtskräfte mit Abwärtskräften gleichsetzen (ihre Druckmethode wirkt verwirrend).

Sie müssen sich auch ändern $\theta$ , (wie es der Winkel zur Vertikalen sein sollte), zu $\theta + \frac{\alpha}{2}$ , dann wird die Antwort übereinstimmen, wenn die erste $r$ bleibt als $b$ (Obwohl $a$ scheint besser, da die Seiten des Glases das Gewicht des zusätzlichen Bereichs tragen), aber auf diese Weise erhalten Sie zumindest eine Übereinstimmung mit der gegebenen Antwort.

Hallo John, die Seite scheint für meine Studien hilfreich zu sein, aber meine Frage bezog sich darauf, wie die Gleichheit der Kräfte erreicht wurde. Warum ist die Oberflächenspannungskraft genau gleich dem Gewicht der gesamten Säule?
Die Flüssigkeitssäule hat ein Gewicht, das gestützt werden muss, das von der Aufwärtskraft der Oberflächenspannung herrührt, siehe oberes Diagramm vonconcepts-of-physics.com/mechanics/capillary-rise.php

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