Warum gibt es für ein Photon keine Wellenfunktion, während sie für ein Elektron existiert?

Zu sagen, dass ein Photon keine Wellenfunktion hat, kann irreführend sein. Eine genauere Art zu sagen ist, dass ein Photon keine strikt beobachtbare Position hat . Ein Photon kann nicht genau in irgendeiner endlichen Region des Weltraums lokalisiert werden. Es kann ungefähr lokalisiert werden, so dass es für alle praktischen Zwecke genauso gut auf eine endliche Region beschränkt werden könnte; aber die Sprache "hat keine Wellenfunktion" bezieht sich auf die Nichtexistenz einer streng beobachtbaren Position.

Ein Elektron hat auch keine streng beobachtbare Position, außer in streng nicht-relativistischen Modellen.

In der relativistischen Quantenfeldtheorie hat nichts eine streng beobachtbare Position. Dies ist eine Folge eines allgemeinen Satzes, der Reeh-Schlieder-Satz genannt wird . Der Beweis dieses Theorems ist nicht trivial, aber in [1] gut erklärt.

Die relativistische Quantenfeldtheorie hat keine strikten Observablen für die Position einzelner Teilchen, aber sie hat andere Arten von streng lokalisierten Observablen, wie beispielsweise Observablen, die der Größe und Richtung der elektrischen und magnetischen Felder innerhalb einer beliebig kleinen Region des Raums entsprechen. Diese Observablen bewahren jedoch nicht die Anzahl der Teilchen. Streng lokalisierte Observable verwandeln zwangsläufig Ein-Teilchen-Zustände in Zustände mit einer unbestimmten Anzahl von Teilchen. (Tatsächlich ist „Teilchen“ in der relativistischen Quantenfeldtheorie, auch wenn man die Frage der Lokalisierung außer Acht lässt, nicht einfach zu definieren, aber darauf gehe ich hier nicht ein.)

Zum Beispiel hat die relativistische Quantenelektrodynamik (QED) Observablen, die den Amplituden der elektrischen und magnetischen Felder entsprechen. Diese Feldoperatoren können lokalisiert werden. Die Teilchenerzeugungs-/-vernichtungsoperatoren können in Bezug auf die Feldoperatoren ausgedrückt werden und umgekehrt, aber die Beziehung ist nicht lokal .

Technisch gesehen besagt das Reeh-Schlieder-Theorem, dass eine relativistische Quantenfeldtheorie keinen streng lokalisierten Operator haben kann, der den Vakuumzustand vernichtet. Daher kann es keinen streng lokalisierten Operator geben, der die Anzahl der Partikel zählt. (Der Vakuumzustand hat null Teilchen, also würde ein streng lokalisierter Teilchenzähloperator den Vakuumzustand vernichten, was nach dem Reeh-Schlieder-Theorem unmöglich ist.)

Streng nichtrelativistische Modelle sind von diesem Theorem ausgenommen. Um zu erklären, was „streng nicht-relativistisch“ bedeutet, betrachten Sie die relativistische Beziehung zwischen Energie$E$und Schwung$p$, nämlich$E=\sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2}$, Wo$m$ist die Masse eines einzelnen Teilchens. Wenn$p\ll mc$, dann können wir die Näherung verwenden$E\approx mc^2+p^2/2m$. Ein nicht-relativistisches Modell ist eines, das diese ungefähre Beziehung so behandelt, als ob sie exakt wäre . Die bekannteste Einzelteilchen-Schrödinger-Gleichung ist ein solches Modell. Ein solches Modell hat einen strengen Positionsoperator, und einzelne Teilchen können in einem solchen Modell streng in einem endlichen Bereich des Raums lokalisiert werden.

Da Photonen Massen sind ($m=0$), können wir kein nicht-relativistisches Modell für Photonen verwenden. Wir können ein hybrides Modell verwenden, wie z. B. die nicht-relativistische QED (genannt NRQED), die Photonen enthält, aber Elektronen nicht-relativistisch behandelt. Aber selbst in diesem Hybridmodell können Photonen immer noch nicht genau in einer endlichen Region des Weltraums lokalisiert werden. Grob gesagt sind die Photonen immer noch relativistisch, obwohl die Elektronen es nicht sind. In NRQED können wir (und tun) eine Einzelelektronenposition beobachtbar haben, aber wir haben immer noch keine Einzelphotonenposition beobachtbar.

"Wellenfunktion" ist ein allgemeineres Konzept, das auch dann noch gilt, wenn keine strengen Positionsobservablen existieren. Die in der relativistischen Quantenfeldtheorie verwendete Art von "Wellenfunktion" unterscheidet sich stark von der Einzelteilchen-Wellenfunktion$\psi(x,y,z)$aus der streng nichtrelativistischen Quantenmechanik bekannt. Im relativistischen Fall ist die Wellenfunktion keine Funktion von$x,y,z$. Stattdessen ist es eine Funktion abstrakterer Variablen und vieler davon (nominell unendlich viele) und es beschreibt den Zustand des gesamten Systems , das im Allgemeinen nicht einmal eine genau definierte Anzahl von Partikeln hat. Menschen verwenden diese Art von Wellenfunktion nicht sehr oft, weil sie sehr schwierig ist, aber hin und wieder wird sie verwendet. Zum Beispiel verwendete Feynman diese Art von "Wellenfunktion" in [2], um eine relativistische Quantenfeldtheorie namens Yang-Mills-Theorie zu untersuchen, die eine vereinfachte Version der Quantenchromodynamik ist, die Gluonen, aber keine Quarks hat.

In diesem verallgemeinerten Sinne kann ein einzelnes Photon eine Wellenfunktion haben.

Im nicht-relativistischen Fall ist die$x,y,z$In$\psi(x,y,z)$entsprechen den Komponenten der Positionsobservablen des Teilchens. Wenn Physiker sagen, dass ein Photon keine Wellenfunktion hat, meinen sie, dass es keine Wellenfunktion hat, die eine Funktion der Eigenwerte von Positionsobservablen ist, und das liegt daran, dass es keine strengen Positionsobservablen hat.

Siehe auch diese sehr ähnlichen Fragen:

Können wir eine Wellenfunktion eines Photons wie eine Wellenfunktion eines Elektrons definieren?

Wellenfunktion eines Photons?

EM-Wellenfunktion und Photonenwellenfunktion

Verweise:

[1] Witten, „Anmerkungen zu einigen Verschränkungseigenschaften der Quantenfeldtheorie“, http://arxiv.org/abs/1803.04993

[2] Feynman (1981), „Das qualitative Verhalten der Yang-Mills-Theorie in 2 + 1 Dimensionen“, Nuclear Physics B 188: 479-512, https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321381900055

Hier ist die Wellenfunktion des Photons, die eine Lösung einer quantisierten Maxwell-Gleichung ist:

In der Quantenfeldtheorie ist es notwendig, eine ebene Wellenfunktionslösung für die Felder zu haben, auf denen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wirken.

Dieser Blogbeitrag beschreibt, wie die klassischen Felder aus den Quantenfeldern der QFT hervorgehen.