Ändert die Amplitudenmodulation die Frequenz eines Photons oder die Anzahl der Photonen?

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass die Polarisation so ausgerichtet ist, dass die skalare Behandlung des elektrischen Feldes gerechtfertigt ist. Außerdem beschränken wir die Diskussion auf eine feste Koordinate$x=0$um die Wellenvektorabhängigkeit fallen zu lassen.

Klassische Beschreibung

Betrachten wir ein klassisches elektrisches Feld

$$E(t)=A(t)\cos\omega_c t \tag{1}$$

mit Kreisträgerfrequenz$\omega_c$wo wir die Feldamplitude mit modulieren

$$A(t)=A_0\cos\omega_m t \tag{2}$$

Wo$\omega_m$die Winkelmodulationsfrequenz ist. Zur Veranschaulichung nehmen wir an$\omega_m\ll\omega_c$, Zum Beispiel,$\omega_c$könnte in der optischen während sein$\omega_m$könnte im Niederfrequenzbereich liegen.

In diesem Bild können wir uns die elektrische Welle vorstellen, die sich mit Frequenz ausbreitet$\omega_c$während seine Amplitude langsam mitschwingt$\omega_m$.

Trotzdem können wir auch Gl. (1) mit Gl. (2) und schreiben

$$E(t) = A_0\cos\omega_m t\cos\omega_c t = \frac{1}{2}A_0\bigl(\cos\omega_+t+\cos\omega_-t\bigr) \tag{3}$$

wo wir definieren$\omega_\pm=\omega_c\pm\omega_m$.

In diesem Bild haben wir eigentlich zwei Wellen, eine davon schwingt schnell mit$\omega_+$und eine schwingt langsam mit$\omega_-$.

So weit, ist es gut. Obwohl Gl. (1) und Gl. (3) einen anderen Standpunkt vorschlagen, beide sind gleichwertig und sollten dieselben (klassischen) Vorhersagen liefern.

Quantenbeschreibung

Nun wenden wir uns der Quantenbeschreibung zu, wo wir den elektrischen Feldoperator definieren

$$\hat{E} = i\sum_i\omega_i\left\{\hat{a}_ie^{-i\omega_it}-\text{c.c}\right\} \tag{4}$$

mit$\text{c.c.}$bezieht sich auf den komplex konjugierten Begriff und wo$\hat{a}_i$ist der Vernichtungsoperator des Modus$i$die die kanonische Kommutierungsrelation erfüllt

$$\left[\hat{a}_i,\hat{a}_j^\dagger\right]=\delta_{ij} \tag{5}.$$

Wir nehmen einen kohärenten Zustand mit zwei Moden an$\vert\alpha_1,\alpha_2\rangle$mit$\alpha_i\in\mathbb{C}$und berechnen Sie den Erwartungswert des elektrischen Feldoperators für diesen Zustand

$$\begin{aligned} \langle\alpha_1,\alpha_2\vert\hat{E}\vert\alpha_1,\alpha_2\rangle &= i\omega_1\left(\alpha_1e^{-i\omega_1t}-\text{c.c.}\right)+ i\omega_2\left(\alpha_2e^{-i\omega_2t}-\text{c.c.}\right)\\ &= -2\omega_1\operatorname{Im}\left\{\alpha_1e^{-i\omega_1t}\right\}+ -2\omega_2\operatorname{Im}\left\{\alpha_2e^{-i\omega_2t}\right\} \end{aligned}\tag{6}.$$

Mit der Wahl$\omega_1=\omega_+$Und$\omega_2=\omega_-$ebenso gut wie$\alpha_i=-iA_0/(4\omega_i)$(bis auf einige einheitenerhaltende Faktoren) können wir unser klassisches Ergebnis aus Gl. (4).

Andererseits sollten wir auch Gl. (1) durch Geltendmachen eines kohärenten Einmodenzustands$\vert\alpha(t)\rangle$mit$\alpha(t)\propto A_0\cos(\omega_mt)/\omega$.

Diesmal könnten wir uns jedoch ein Experiment vorstellen, das zwischen diesen beiden Zuständen unterscheidet!

Rekapitulieren Sie, dass der photoelektrische Effekt die Elektronenemission durch ein Photon beschreibt, das auf ein Metall trifft. Die Photonenenergie$\hbar\omega$muss größer sein als das Arbeitspotential$W$die das Elektron an das Metall bindet. Überraschenderweise ist der photoelektrische Effekt (unter Vernachlässigung der Mehrphotonenabsorption) intensitätsunabhängig.

Nehmen wir an, dass wir im Besitz eines Metamaterials sind, auf das das Arbeitspotential zugeschnitten ist$\hbar\omega_c$. In diesem Fall konnten wir aufgrund der Amplitude zwischen dem kohärenten Zustand mit einer und zwei Moden unterscheiden$\vert\alpha\vert$des kohärenten Zustands$\vert\alpha\rangle$legt den Mittelwert der (Poissonschen) Photonenstatistik fest, aber die Energie, die bestimmt, ob eine Elektronenemission auftritt, ist durch die Modenfrequenz gegeben.

Erinnern wir uns daran, wie wir Gl. (3) von Moden in einem engen Hohlraum ist dies auch sinnvoll.

Ist die Schlussfolgerung richtig, dass die Amplitudenmodulation eines optischen Lasersignals die Energie der beteiligten Photonen verschiebt?